§ 9. Линии 2-го порядка

9.1. Эллипс

1. Возьмем на плоскости две точки

Опр.Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами,

есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.

2. Составим уравнение эллипса.

Выберем систему координат

Пусть точка

принадлежит эллипсу

(3)

Преобразуем уравнение (1), возводя в квадрат обе части:

(4)

Мы показали, что координаты точек эллипса удовлетворяют уравнению (4). Но при переходе от (3) к (4) мы дважды возводили уравнение в квадрат, при этом могли появиться лишние корни. Убедимся, что точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (4), принадлежат эллипсу, то есть

=

Аналогично:

Так как тоИз (2)поэтому

Значит,

(5)

Уравнение (4) называется каноническим уравнением эллипса.

Формулы (3) дают фокальные радиусы эллипса

3.Исследование формы эллипса.

ЕслитоТо есть у эллипса есть две оси симметрииицентр симметрииТочки пересечения эллипса с осями координат называются еговершинами. Пользуясь симметрией эллипса, рассмотрим его форму в 1 четверти.

При росте от 0 доубывает отдо 0.

Продолжим чертеж симметрично в другие четверти.

Как видно, эллипс – линия ограниченная, расположенная в прямоугольнике Вершиныцентр эллипса.

Заметим, что фокусы эллипса всегда принадлежат большей оси.

Пример.

4. Эксцентриситет эллипса.

Опр.Эксцентриситет

При фокусы совпадают:эллипс является окружностью. Найдем:

Как видно, чем меньше тем дробьближе к 1, то есть эллипс становится шире. Чем большетем больше эллипс вытянут вдоль оси

5. Параметрические уравнения эллипса.

Пусть задан эллипс

Построим две

окружности

Произвольный луч под углом к оси

пересекает их в точках Построим точкуОчевидны равенства:

(6)

Подставив (6)в уравнение эллипса, получим верное равенство, следовательно, точка принадлежит эллипсу. Уравнения (6) называютсяпараметрическими уравнениями эллипса.

Замечание. Можно доказать обратное утверждение: если точка принадлежит эллипсу, то найдется значение параметра такое, что выполняются соотношения (6).

Отсюда ясен способ построения эллипса.

6. Директрисы эллипса.

Опр.Директрисами эллипса называются прямые, параллельные малой оси и отстоящие от неё на расстояние

Очевидны уравнения директрис:

Найдем отношение расстояний точки эллипса до фокуса и до соответствующей директрисы. Расстояния до фокусов дают формулы (5):

Расстояния до директрис:Отсюда:

Свойство директрис эллипса: эллипс есть множество точек, отношение расстояний от каждой из которых до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы постоянно и равно эксцентриситету.

Задача. Составьте уравнение эллипса, если расстояние между директрисами а между фокусами

9.2. Гипербола

1.Опр. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

2. Составим уравнение гиперболы.

В системе координат (7)

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим после упрощения:

(8)

Это каноническое уравнение гиперболы.

Итак, если точка принадлежит гиперболе, то её координаты удовлетворяют уравнению (8). Можно показать и обратное: если координаты точки удовлетворяют уравнению (8), то точка принадлежит гиперболе.

3. Исследование формы гиперболы.

Из уравнения (8) видно, что гипербола симметрична относительно осей координат. Пользуясь симметрией, исследуем форму гиперболы в 1 четверти системы координат.

Из (8)

В полосе точек гиперболы нет. Далее с ростомвеличинанеограниченно растет. Приэтовершина гиперболы.

Пользуясь симметрией, можно достроить

гиперболу. Ось фокальная

(действительная) ось, мнимая ось, её

гипербола не пересекает.

Как ведет себя ветвь гиперболы при неограниченном возрастании

Рассмотрим прямую Убедимся, что уходя в бесконечность, точкана гиперболе неограниченно приближается к этой прямой, то естьтем более),

гипербола.

.

Если при удалении точки по кривой в бесконечность её расстояние от некоторой прямой стремится к 0, то эта прямая называется

асимптотой кривой.

Учитывая симметрию, приходим к выводу, что гипербола имеет две асимптоты:

Построение гиперболы:

действительная полуось, мнимая полуось.

2. Эксцентриситет и директрисы гиперболы.

Директрисы располагаются ближе к оси чем вершины гиперболы, а фокусы дальше.

Как и у эллипса, отношение расстояния от точки гиперболы до фокуса к её расстоянию до соответствующей директрисы равно

Значит, чем меньше , тем меньше отношениетем больше гипербола вытягивается вдоль действительной оси.

3. Равносторонняя и сопряженные гиперболы.

Если тоэто равносторонняя гипербола.

Гиперболы называютсясопряженными. Фокусы первой гиперболы лежат на оси мнимая ось для неёАсимптоты этих гипербол совпадают.

Задача. Составьте каноническое уравнение гиперболы, угол между асимптотами которой , и она проходит через точку

Сделайте чертёж.