Рациональные дроби (Степанов)
.docРациональные дроби
Под целой рациональной функцией подразумевается многочлен п-й степени
f(x) = a0x n + a1x n – 1+ a2x n – 2 ++ an, (1)
где а0 0 и п 0.
Дробно-рациональная функция или рациональная дробь – это частное двух целых рациональных функций . Будем рассматривать рациональные дроби с действительными коэффициентами.
Рациональная дробь называется несократимой, если её числитель взаимно прост со знаменателем.
Теорема. Всякая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, определяемой однозначно с точностью до множителя нулевой степени, общего для числителя и знаменателя.
Доказательство. Всякую рациональную дробь можно сократить на наибольший делитель её числителя и знаменателя, после чего будет получена равная ей несократимая дробь. Если равны друг другу несократимые дроби и , то есть
, (2)
то из взаимной простоты f(x) и g(x) следует, что (х) делится на f(x), а из взаимной простоты g(x) и (х) следует, что f(x) делится на (х). Отсюда f(x) = с(х), а тогда из (2) следует g(x) = с(х).
Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. Будем считать, что многочлен степени 0 является правильной дробью.
Теорема. Всякая рациональная дробь представима притом единственным способом, в виде суммы многочлена и правильной дроби.
Пусть дана рациональная дробь f(x)/g(x). Если, деля числитель на знаменатель, получим равенство
f(x) = q(x) g(x) + r(x),
где степень r(x) меньше степени g(x), то очевидно,
Если также справедливо равенство
,
где степень (х) меньше степени (х), то справедливо равенство
Так как слева стоит многочлен, а справа – правильная дробь, то обязательно q(x) = q1(x) и
Из изложенного ранее следует, что среди многочленов с действительными коэффициентами и со старшим коэффициентом 1, неразложимыми на множители меньшей степени, или неприводимыми, являются лишь линейные многочлены вида х – а и квадратные многочлены вида
(конечно, здесь – комплексно сопряженные числа)
Правильная рациональная дробь f(x)/g(x) называется простейшей, если её знаменатель g(x) является степенью неприводимого многочлена р(х),
g(x) = рk(х), k 1, а степень числителя f(x) меньше степени р(х).
Основная теорема о рациональных дробях. Всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей.
Рассмотрим сначала правильную рациональную дробь , где многочлены g(x) и h(х) взаимно просты. Тогда существуют многочлены u1(х) и v1(x), такие что
g(x) u1(х) + h(х) v1(x) = 1
Отсюда
g(x)[u1(х) f(x)] + h(х)[v1(x) f(x)] = f(x) (3)
Пусть остаток от деления произведения u1(х) f(x) на h(х) равен u(х), степень которого меньше степени h(х). Тогда равенство (3) можно переписать в виде
g(x) u(х) + h(х) v(x) = f(x), (4)
где многочлен v(x) легко определяется. Так как степень произведения g(x) u(х) меньше степени произведения g(x) h(х), и степень f(x) меньше степени произведения g(x) h(х) по условию теоремы, то и произведение h(х) v(x) имеет степень, меньшую, чем g(x) h(х). Поэтому степень v(x) меньше степени g(x). Из (3) следует равенство
,
в правой части которого стоит сумма правильных дробей.
Если хотя бы одни из знаменателей g(x) или h(х) разлагается в произведение взаимно простых множителей, то можно провести дальнейшее разложение. Отсюда следует, что всякая правильная дробь разлагается в сумму нескольких правильных дробей, каждая из которых имеет знаменателем степень некоторого неприводимого многочлена. Если дана правильная дробь f(x)/ g(x), знаменатель которой разлагается на неприводимые множители
(конечно, всегда можно считать, что старший коэффициент знаменателя рациональной дроби равен единице), причём pi(х) pj(x) при i j, то
Все слагаемые в правой части этого равенства являются правильными дробями.
Рассмотрим правильную дробь вида u(х)/рk(x), где р(х) – неприводимый многочлен. Разделим u(х) на рj(x), где j – наибольшее натуральное число из тех, при которых можно осуществлять деление u(х) на рj(x) (j k – 1). Отметим, что при степени многочлена и(x) равной т, если р(x) = х – а, то j = т. Если же р(x) = х2 + рх + q (p2 – 4q < 0), то при т чётном j = т/2, а при т нечётном j = (т 1)/2.
Полученный остаток разделим на рj1(x) и т. д. В результате придём к равенствам
При этом степень u(х) по условию меньше степени рk(x), а степень каждого из остатков ui(х) i = 1,2,,j + 1 меньше степени соответствующего делителя рj–i+1(x), то степени всех частных s1(x), s2(x),…, sj+1(x) будут строго меньше степени многочлена р(х).
.
Отсюда получается искомое представление рациональной дроби u(х)/рk(x) в виде суммы простейших дробей:
,
и основная теорема доказана.
Теорема единственности. Всякая правильная рациональная дробь обладает единственным разложением в сумму простейших дробей.
Пусть некоторая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей двумя способами. Вычитая одно из этих представлений из другого и приводя подобные члены, получим сумму простейших дробей, тождественно равную нулю. Пусть знаменатели простейших дробей, составляющих эту сумму, будут некоторыми степенями различных неприводимых многочленов р1(х), р2(х),, рs(х) и пусть наивысшая степень многочлена рi(х), i = 1,2,,s, являющегося одним из этих знаменателей, будет . Умножим обе части рассматриваемого равенства на произведение . Все слагаемые полученной суммы, кроме одного, превратятся при этом в многочлены. Слагаемое превратится в дробь . Знаменатель этой дроби не является делителем числителя, так как многочлен р1(x) неприводим, а все множители числителя с ним взаимно просты. Выполняя деление числителя на знаменатель с остатком , в результате получим, что равна нулю сумма многочлена и отличной от нуля правильной дроби, что невозможно.