12.6. Непрерывная случайная величина Программные вопросы

1. Плотность распределения вероятностей для непрерывной случайной величины. Кривая распределения.

2. Числовые характеристики непрерывной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение; их свойства и вероятностный смысл.

Решение типового примера

Задача 12.6. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения

.

Найти для неё 1) функцию плотности распределения вероятностей f(х); 2) коэффициент а; 2) вероятности попадания в интервалы (1,5; 2) и (0,5; 1,3); 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение. 1) Для непрерывной случайной величины по определению функции плотности вероятностей F’(х)=f(х). Следовательно,

.

2) Так как , тои, следовательно, а=1.

3) Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал находится по формуле: Р(α<Х<β) = F(β) – F(α). Так как а=1, то Р(1,5<X<2)= =F(2)-F(1,5)=(2-1)² – (1,5-1)² =1 – 0,5²=0,75, а Р(0,5<X<1,3)= F(1,3) – F(0,5) = =(1,3 – 1)² – 0 = 0,09.

4) Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х находится по формуле:

.

Так как вне интервала [1, 2] f(x)=0 и а=1, то М(Х)= =,

Так как дисперсия непрерывной случайной величины находится по формуле , то в нашем случае

.

Среднее квадратическое отклонение случайной величины

=.

Ответ: 1) 1; 2) 0,09; 3) М(Х) =,.

Задачи контрольной работы

12.6.1. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение в интервале (-1,0).

12.6.2. Случайная величина Х задана функцией распределения

Определить вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, больше 0,5, но менее 0,8.

12.6.3. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения:

Определить вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале:

а) (1,3; 1,5);

б) (1,2; 1,8).

12.6.4. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F(х). Найти функцию плотности распределения вероятностей f(х).

12.6.5. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F(х). Найти функцию плотности распределения вероятностей f(х).

12.6.6. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F(х). Найти функцию плотности распределения вероятностей f(х).

12.6.7. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F(х). Найти функцию плотности распределения вероятностей f(х).

12.6.8. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения:

Найти вероятность того, что Х примет значение в интервале .

12.6.9. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения:

Найти вероятность того, что значение случайной величины Х содержится в интервале (1,3).

12.6.10. Плотность распределения вероятностей задана формулой .

Найти коэффициент а и функцию распределения вероятностей случайной величины Х.

12.6.11.Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения:

Определить коэффициент а.

12.6.12. Случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей f(х). Найти интегральную функцию распределения F(х), если

2.6.13. Случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей f(х). Найти интегральную функцию распределения F(х), если

12.6.14. Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной дифференциальной функцией распределения f(х):

12.6.15. Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной дифференциальной функцией распределения f(х), если

12.6.16. Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной дифференциальной функцией распределения f(х):

12.6.17. Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной дифференциальной функцией распределения f(х):

12.6.18. Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной дифференциальной функцией распределения f(х):

12.6.19. Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной дифференциальной функцией распределения f(х):

12.6.20. Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной дифференциальной функцией распределения f(х):