- •2. Частные произв. И диф. Ф-ии 2-ух перем.
- •12. Интегралы с переменным верхним пределом.
- •33. Двойной интеграл. Основные понятия и определения.
- •34. Двойной интеграл и его геометрический и физический смыслы.
- •35. Основные свойства двойного интеграла.
- •45.Приложение кри-1 рода
- •46.Условия независимости кри-2 от пути интегрирования. Потенциал
- •47. Приложения кри II рода
- •48. Основные понятия теории поля. Потенциальные векторные поля. Циркуляция
- •49. Ротор и дивергенция векторного поля, их физ.Смысл и вычисление.
- •54. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Признаки сравнения.
- •59. Функциональные ряды. Основные понятия
- •60. Теорема Абеля
- •61. Свойства степенных рядов
- •62. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора.
- •63) Разложение некоторых элементарных ф-ций в ряде Маклорена
- •64) Применение рядов к приближенным вычислениям значений ф-ции, определённых интегралов
- •65) Приближенное решение ду
- •66) Дискретное вероятностное пространство
- •67) Классическое вероятностное пространство
- •68) Теоремы сложения, умножения вероятностей. Несовместные, независимые события
- •69) Формулы полной вероятности и Байеса. Примеры
- •70)Аксиоматическое построение теории вероятностей. Следствия из аксиом
- •Теорема Пуассона
- •Теоремы Муавра-Лапласа
- •84. Ковариация X* и h* называется коэффициентом корреляции случайных величин X и h (обозначается rxh).
12. Интегралы с переменным верхним пределом.
Работа переменной силы F, величина которой есть непрерывная ф-я F=F(x), действующей на отрезке [a;b], равна определённому интегралу от величины F(x) силы, взятому по отрезку [a;b].
Формула Ньютона-Лейбница.
Если ф-я y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x) —какая-либо её первообразная на [a;b] (F’(x)=f(x)), то имеет место формула
Замена переменной в ОИ.
Если: 1) ф-я x=φ(t) и её производная x’=φ’(t) непрерывна при t Є [α;β];
2) множеством значений ф-ии x=φ(t) при t Є [α;β] является отрезок [a;b];
3) φ(α)=α и φ(β)=b,то
Интегрир. по частям в ОИ.
Если ф-ии u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b], то имеет место формула:
Несобст. интегралы по бесконечному промежутку.
несобственный инт.1-го рода:
если указанного предела не существует или он бесконечен, то говорят, что он расходится.
несобственный инт. с 2-мя бесконечными пределами определяются формулой:
Несобственные интегралы от неограниченных ф-ций. Примеры
Пусть функция f(x) определена на полуинтервале (a, b], интегрируема по любому отрезку , и имеет бесконечный предел при
. Несобственным интегралом от f(x) по отрезку [a, b] называется предел
. Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится.
Вычисление площадей в декартовой.
или
Вычисление площадей в полярной системе.
Длина дуги кривой.
Длина дуги AB – предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наиб. звена её стремится к нулю.
Вычисление V тел по S поперечных сечений.
Вычисление V тел вращений.
Вычисление S пов. вращения.
Диф. уравнения 1-го порядка.
Это уравнения вида: F(x;y;y’)=0
Если уравнение можно записать относительно , то его записывают:
Если в этом уравнении ф-я f(x;y) и её частная производная непрерывны в некоторой обл.D, содержащей т. (x0;y0), то сущ. единственное решение y=φ(x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию.
Геометрический смысл теоремы состоит в том, что при выполнении её условий существует единственная интегральная кривая ДУ, проходящая через т. (x0;y0)
Диф. уравн. с раздел. переем.
Наиб. простым ДУ является уравн. вида:
P(x)∙dx+Q(y)∙dy=0
его общий интеграл:
Линейные диф. уравнения.
Уравнение наз. линейным, если его можно записать в виде: y’+p(x)∙y=g(x)
Для их решения используются 2 метода: Бернулли и Лагранжа.
Диф. уравн., допускающие понижение степени.
Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной( подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.
1 тип: y’’=f(x)
2 тип: y’’=f(x;y’)
3 тип: y’’=f(y;y’)
Диф. уравнения 2-го порядка.
Если ф-ии y1=y1(x) и y2=y2(x) являются частными решениями уравнения, то решением этого уравнения является также ф-я
y=c1y1(x)+c2y2(x)
Если диф-мые ф-ии y1(x) и y2(x) линейно зависимы на (a;b), то определитель Вронского на этом интервале тождественно = 0
Если ф-ии y1(x) и y2(x) – линейно независимые решения уравнения на (a;b), то определитель Вронского на этом интервале никогда не обращается в нуль.
Если 2 частных решения y1=y1(x) и y2=y2(x) ЛОДУ образуют на интервале (a;b) фундаментальную систему, то общим решением этого уравнения является ф-я y=c1y1+c2y2.
Линейные диф-е уравн. n-го порядка.
Частным случаем линейных однородных диф-ых уравн. являются ЛОДУ с постоянными коэф.
Пусть дано ЛОДУ 2-го порядка: y’’+p∙y’+q∙y=0
Для нахождения общего решения уравнения достаточно найти 2 его частных решения, образующих фундаментальную систему.
Будем искать частные решения уравнения в виде y=ekx. Диф-уя эту ф-ю 2 раза и подставляя выражения для ,в уравнеия, получим:k2∙ekx+p∙k∙ekx+q∙ekx=0
Получившееся ураснение наз. характеристическим ДУ.
Неоднородные линейные диф. уравнения 2-го порядка.
Общим решением y уравнения является сумма его произвольного частного решения y* и общего решения ŷ=c1y1+c2y2 соответствующего однородного уравнения
y=y*+ ŷ
Метод Лагранжа…
y=y*+ ŷ
Частное решение y*уравнения можно найти, если известно общее решение ŷ соответствующего однородного уравнения, методом вариации произвольных постоянных.
Система линейных диф. уравнений…
Системой ДУ наз. совокупность ДУ, каждое из которых содержит независимую переменную, искомые ф-ии и их производные. Решением системы наз. совокупность из n ф-ий y1, y2,…, yn, удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.
Если в системе все ф-ии
fi(x; y1; …, yn) непрерывны вместе со всеми своими частными производными по yi в некот. обл. D ((n+1)-мерного пространства), то в каждой т. M0(этой области сущ., и при том единственное, решениеy1=φ1(x), y2=φ2(x), …, yn=φn(x) системы, удовлетворяющее начальным условиям.