Физика Методичка 3067

Dx × DPx ³ h, Dy × DPy ³ h, Dz × DPz ³ h .

Существует также соотношение неопределенностей для энергии и времени:

DE × Dt ³ h ,

где DE – неопределенность энергии системы в момент ее измерения; Dt – неопределенность длительности процесса измерения; h – постоянная Планка.

3. Стационарное уравнение Шредингера имеет вид

Dy + 2m (E -U )y = 0 ,

H2

где Dy =	¶2y		+	¶2y		+	¶2y	оператор Лапласа; E –	полная энергия
	¶x			¶y			–
		2			2		¶z2

частицы; U – потенциальная энергия частицы. Решением стационарного (не зависящего от времени) уравнения Шредингера является волновая функция ψ , которая должна быть конечной, однозначной и непре-

рывной вместе со своими производными. Физический смысл имеет не сама волновая функция, а квадрат ее модуля – это плотность вероятности (вероятность обнаружить частицу в единичном объеме в окрестностях точки с координатами (x, y, z)):

y 2 = dW , dV

где dW − вероятность обнаружения частицы в бесконечно малом объеме dV . Поскольку частица где-то находится, то вероятность ее обнаружения во всем пространстве равна 1 – условие нормировки:

+∞

∫ y2 dV =1. −∞

21

4. Для частицы, находящейся в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной ℓ с бесконечно высокими стенками на энергетическом уровне с номером n, решение уравнения Шредингера имеет вид

ψ = 2 sin nπ x .
L	L

Энергия частицы в этом случае может принимать определенные дискретные значения

En =	n2	π2H2
			,
	2m L2
		0

n = 1, 2, 3… – главное квантовое число; m0 – масса частицы. ПРИМЕР. Электрон находится в одномерной потенциальной яме с

бесконечно высокими стенками на третьем энергетическом уровне. Ширина потенциальной ямы ℓ = 10–8 м. Определить вероятность нахождения электрона в правой трети ямы и частоту излучения при переходе электрона с третьего уровня на первый.

РЕШЕНИЕ. Вероятность обнаружения частицы в правой трети ямы определяется из квадрата модуля волновой функции:

L

W = ∫ Ψ(x) 2 dx .

2

L

3

Подставляя выражения для волновой функции для потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками, получим:

	L					3π					L 1 − cos 2			3π	x
			2						2								1
W = ∫					2						∫			L
				sin				x dx =								dx =		.
													2				3
	2		L			L			L		2
		L										L
3										3

Частота излучения при переходе с уровня m на уровень n (m > n), и

учитывая H = 2πh , будем иметь:

22

E

- E

p2H2

h

n =

m

n

=

(m2 - n2 ) =

(m2 - n2 ) .

h

2m0L2h

8m0L2

Подставляя значения, получим:

6, 63 ×10−34

12

n =

(9 -1) =

7, 29 ×10

Гц.

8

× 9,1×10

−31

×

10

−16

Элементы физики твердого тела

1. Вероятность обнаружения электрона с энергией Е при температуре T описывается функцией Ферми– Дирака:

fn (E) =		1			,
	E - E f
				+1
	exp
		kT

где E f – энергия Ферми (максимальная энергия, которую может иметь

электрон при Т = 0), причем все уровни ниже								E f		заняты, а выше –
свободны; k – постоянная Больцмана (k = 8,63 · 10–5									эВ/К).
2. Вероятность обнаружения дырки с энергией Е при температуре T
описывается функцией:
			f p (E) =1 - fn (E) =				1			.
						E f - E
						exp		+1
							kT
3. Количество электронов, имеющих энергию в интервале от Е1
до Е2:
					E2
					N = ∫ fn (E)g(E)dE ,
					E1
	1		2m 3 2
где g(E) =					E1 2 – плотность состояний.
	2p2
			H2

23

При Т = 0 К fn (E) = 1 , и тогда концентрация электронов в металле

	E f	1		2m		3 2	1		2m		3 2
	n = ∫					E1 2dE =					E f 3 2 .
		2π2		H2			3π2		H2
	0

Зависимость уровня Ферми в металле при Т = 0 К от концентрации электронов:

Ef = 2Hm2 (3π2n)23 .

4.Подвижностью электронов (дырок) называется средняя дрейфовая скорость носителей заряда под действием поля единичной напряженности:

μ= Vдр .

E

Подвижности электронов и дырок различны и приведены в табл. 2 (для T = 300 К).

Т а б л и ц а 2

Материал	μn , м2/В·с	μ р , м2/В·с	mn /m0	mр /m0	Eg, эВ	n 2 , м–-3
						i
Германий	0,38	0,18	0,56	0,37	0,74	7·1015
Кремний	0,15	0,05	1,08	0,59	1,16	2,1 ·1019

5. Концентрация электронов в зоне проводимости (n) и дырок в валентной зоне (р) определяется выражениями:

	E	f	− E
n = Nc exp			c	,
			kT

Ev − E f
p = Nv exp	kT

,

где Еc – энергия дна зоны проводимости, Ev – энергия потолка валентной зоны, Nc, Nv – эффективные плотности состояний.

24

		2πm kT 3 2		2πmpkT 3 2
	Nc = 2	n		, Nv = 2			.
		h2			h2

Эффективные массы электронов (mn) и дырок (mp) для кремния и германия приведены в табл. 2.

6. В собственном полупроводнике энергия Ферми определяется следующим образом:

	E f	=	Eg	+	kT	ln	N	v	,
			2		2		Nc

где Eg – ширина запрещенной зоны. Для кремния и германия значения Eg приведены в табл. 2. При температуре Т = 0 уровень Ферми в собственных полупроводниках лежит посередине запрещенной зоны.

Eс

Eg

Ef

Eν

7. Электропроводность собственных полупроводников ( σ ) зависит от температуры и ширины запрещенной зоны, поскольку для образования свободных носителей заряда в зоне проводимости они должны преодолеть запрещенную зону.

		E	g
σ = σ0 exp	−			.
		2kT

8. Введение в собственный полупроводник примеси приводит к возникновению в запрещенной зоне примесных уровней энергии, ко-

25

торые для донорного полупроводника располагаются вблизи дна зоны проводимости, а для акцепторного – вблизи потолка валентной зоны.

Eс

Ef

ED

Eν

Донорный полупроводник

Eс

EA

Ef

Eν

Акцепторный полупроводник

9. Удельная электропроводность для полупроводника n-типа (донорного) с концентрацией электронов n:

σn = enμn .

Удельная электропроводность для полупроводника р-типа (акцепторного) с концентрацией электронов р:

σ p = epμ p .

26

Удельная электропроводность для полупроводника, у которого присутствуют как донорная, так и акцепторная примесь,

σ = enμn + epμ p .

Удельная электропроводность для собственного полупроводника, у которого концентрации электронов и дырок равны n = p = ni :

σ= eni (μn + μ p ) .

10.Возникновение поперечной разности потенциалов в проводнике

стоком I, помещенном в магнитное поле B, называется эффектом Хол-

ла. Величина этой разности потенциалов UН = RН BI называется хол- d

ловской разностью потенциалов; d – толщина пластинки полупроводника в направлении приложения магнитного поля, а RН – постоянная Холла. Если в полупроводнике преобладают носители одного типа, то

R	=	1	или R	=	1	соответственно.
		en
Н			Н		ep

11. Концентрация электронов (n) в примесном полупроводнике связана с концентрацией дырок (р) через собственную концентрацию носителей (ni = рi):

np = ni2 = рi2 .

Значения собственных концентраций (ni = рi) при Т =300 К приведены в табл. 2.

ПРИМЕР. Найти положение уровня Ферми в собственном кремнии при Т = 300 К.

РЕШЕНИЕ. Положение уровня Ферми в собственных полупроводниках определяется соотношением:

E f

=

Eg

+

kT

ln

N

v

=

Eg

+

kT

ln

mp

.

2

2

Nc

2

2

mn

Будем считать, что ширина запрещенной зоны не меняется с температурой, все необходимые для расчета величины приведены в табл. 2.

27

	E f =	1,16		+	8, 63 ×10−5 ×300		0,59	= 0,57	эВ.
						ln
		2			2		1, 08

Таким образом, уровень Ферми находится на 0,57 эВ выше потолка валентной зоны, или на 0,01 эВ ниже середины запрещенной зоны.

ПРИМЕР. Во сколько раз возрастет электропроводность германиевого образца при нагревании его от Т1 = 300 К до Т2 = 350 К?

РЕШЕНИЕ. Температурная зависимость собственных полупроводников определяется шириной запрещенной зоны

Eg

s = s0 exp -

.

2kT

Отношение электропроводностей:

exp

-Eg

s

Eg

1

2kT

1

1

0,74

1

2

=

2

= exp

-

= exp

-

= 7,70 .

−5

s1

-Eg

2k

T

T

2 ×8, 63 ×10

300

350

exp

1

2

2kT1

Таким образом, электропроводность увеличилась в 7,7 раза.

Ядерная физика

Энергия связи ядер

Общее число протонов (Z) и нейтронов (N), называемое массовым числом, равно:

A = N + Z.

Ядра с одинаковым числом протонов, но различным числом нейтронов являются ядрами различных изотопов химического элемента X ZA .

Энергия связи – это энергия, которая необходима для полного расщепления ядра на отдельные частицы. Она равна той энергии, которая выделяется при образовании ядра из отдельных частиц

28

DEсв = Dm × c2,

где с – скорость света.

Точные измерения масс ядер показывают, что масса ядра Мяд всегда меньше суммы масс входящих в его состав протонов и нейтронов. Величину

Dm = Zmp + (A – Z) – Mяд

называют дефектом массы. Здесь mp – масса протона, mn – масса нейтрона.

Вместо массы ядра Мяд величину Dm можно выразить через атомную массу Мат:

Dm = ZmН + (A – Z) mn – Mат,

где mН – масса водородного атома.

При практическом вычислении Dm массы всех частиц и атомов выражаются в атомных единицах массы. В атомных единицах:

mН = 1,00814 а.е.м., mn = 1,00899 а.е.м., mp = 1,00759 а.е.м.,

1 а.е.м. = 1,6606×10–27 кг.

Одной атомной единице массы соответствует атомная единица энергии (а.е.э.):

1 а.е.э. = 931,1 МэВ.

При вычислении энергии связи DEсв в атомных единицах энергии используется формула:

DEсв = 0,00899А – 0,00085 Z – Dx, (а.е.э.),

где Dx = MАт – А.

Отношение энергии связи ядра к числу нуклонов А в ядре называется удельной энергией связи нуклонов в ядре:

dEсв= DEсв /A (МэВ/нуклон).

29

ПРИМЕР. Вычислить полную и удельную энергии связи нуклонов в ядре Li37 .

РЕШЕНИЕ.

Для лития А = 7, Z = 3, Dx = MLi – А = 7,01601 – 7 = 0,01601.

Тогда в атомных единицах энергии DEсв = 0,00899×7 – 0,00085 ×3 –

–0,01601 = 0,04437 ( а.е.э.).

Вэнергетических единицах: DEсв = 0,04437 × 931,1 МэВ = 41,31 МэВ. Удельная энергия связи dEсв= DEсв /A = 41,3129/7 = 5,92 (МэВ/нуклон).

Ядерные реакции

Ядерные реакции – изменение состава ядер в результате их взаимодействия.

Типичная реакция

X

A

+

Y

A

® Z

A

+

R

A

= X

A

(Y

A

, R

A

A

1

2

3

4

1

2

4 )Z

3 .

Z1

Z2

Z3

Z4

Z1

Z2

Z4

Z3

При ядерной реакции:

1) выполняются законы сохранения энергии, импульса, момента импульса.

Из закона сохранения энергии:

Q = (m	X	+ m	) - (m + m	R	) c2 .
		Y	Z

При Q > 0 – эндотермическая реакция, при Q < 0 – экзотермическая реакция;

2) суммарный электрический заряд частиц, вступающих в реакцию равен заряду частиц после реакции:

Z1 + Z2 = Z3 + Z4;

3) сохраняется число нуклонов

А1 + А2 = А3 + А4.

30