Вопрос 29. Характеристический корни линейного оператора.

Определение. (Ввиду теоремы о связи м-ду м-цами, задающими линейное преобразование в разных базисах)Лин. преобразование φ м. задаваться в разн. базисах различными м-цами, кот. явл. подобными, и все эти м-цы имеют один и тот же характер-ский многочлен. Этот многочлен наз. характер-ским многочленом линейного оператора, а его корни – характер-скими корнями лин. оператора. (например, транспонированная м-ца А^Т имеет одинак. с м-цей А характер-ский многочлен и характ. числа)

Теорема. Собственными значениями лин. оператора φ, действующего в лин. пространстве L над полем Р, являются характер-ские корни этого оператора, принадлежащие Р, и только они. (док-во в билете 32)

Определение. Говорят, что лин. оператор φ действительного лин. пространства L имеет простой спектр, если все его характеристические корни действительны и различны.(спектр лин.оператора φ - множ-во всех характ-их корней этого лин.оператора, в котором кажд. характ-ский корень повторяется столько раз, какова его кратность.)

ч2.Вопрос30. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Примеры. Свойства.

Пусть дано линейное пространство (ЛП) L над Р.

Опр: Вектор х не равный нулю Є L, называется собственным вектором линейного преобразования φ, если выполняется равенство: φ(х)= αх, где α элемент из поля Р.

Опр: Собственным называется вектор не равный нулю, который под действием линейного преобразования φ переходит в вектор ему пропорциональный. Коэффициент пропорциональности называется собственным значением ()

(a₁₁-)x₁ + a ₂₁ x₂ +…+ a_1n x_n=0

a₁₂x₁+(a₂₂ -x₂ +…+ a_2n x_n=0 (2)

a_m1x₁+ a_m2x₂ + …+(a_mm-x_n=0

Вывод: если а- собственный вектор, то его координаты удовлетворяют (2) и являются ненулевым решением (2).

1. Линейное пространство имеет собственные векторы  матрица (2) имеет ненулевые решения.

2. Линейные преобразования имеет столько собственных векторов сколько ненулевых решений имеет матрица (2)

3. Найти собственные векторы значит найти решение матрицы (2)

Система (2) – это матрица n – линейных уравнений с n неизвестными этой матрицы равена нулю, т.е.

(a₁₁-) a₂₁ a_1n

a₁₂ (a₂₂ - a_2n =0 (3)

a_m1 a_m2 (a_mm-

В левой части характеристический многочлен, поэтому уравнение (3) называют характеристическим уравнением, для данного преобразования собственные значения оказались характеристическими корнями.

Свойства собственных векторов.

1. Если а – собственный вектор соответственного собственного значения  и не= 0, (R) то а – собственный вектор отвечающий этому собственному значению.

φ(а)= φ(а)=а= (а)=>а- собственный вектор собственного значения 

2. Если a и b – собственные векторы соответствующие одному значению то их сумма тоже собственный вектор соответствующий тому же значению.

φ(а)=а, φ(b)=b

φ(а+b)=φ(а)+φ(b)=а+b=а+b)

Следствие: Множество всех собственных векторов соответствующие одному собственному значению есть линейное подпространство.

3. Множество всех собственных векторов со всеми возможными собственными значениями не обязано быть линейным подпространством.

ч2.Вопрос31. Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям.

Определение. Пусть L – ЛП над полем Р, вектор х<>0, xL, x наз. собственным вектором лин. оператора φ, если этим оператором он переводится в вектор λх, т.е. φ(х)= λх, где λР и называется собственным значением оператора φ.

Теорема. Собственные векторы b1,b2,…,bk линейного оператора φ, отвечающие различным собственным значениям λ1, λ2,…, λk, линейно независимы.

Доказательство. Док-ство проводим методом мат. индукции по колич-ву k собственных векторов. При k=1 утверждение теоремы очевидно, т.к. b1<>0. Допустим, что утверждение верно для c-тем из k-1 собственных векторов. Рассм. с-му b1,b2,…,bk и ее линейную комбинацию, равную нулю: φ₁b₁+ φ ₂b₂+…+ φ_kb_k =0 (1). Применим к обеим частям этого равенства лин. оператор φ и учтем, что все векторы для оператора собственные: λ₁φ₁b₁+ λ₂φ ₂b₂+…+ λ_kφ_kb_k =0 (2). Из рав-ва (2) вычтем рав-во (1), умноженное на λ_k: (λ₁-λ_k)φ₁b₁+ (λ₂-λ_k)φ ₂b₂+…+ (λ_k-1-λ_k)φ_k-1b_k-1=0 (3). Cогласно предположению мат.индукции векторы b₁,…,b_k-1 лин.независимы. Поэтому из рав-ва (3) вытекает, что все коэфф-ты в лев. части равны нулю, т.е. (λ_i-λ_k)φ_i=0 для i=1,2,…,k-1. Учитывая различия всех собственных значений λ_i делаем вывод, что φ₁₌ φ ₂=…= φ_k-1=0. Но тогда в рав-ве (1) м. опустить все слагаемые, кроме последнего, т.е. φ_kb_k =0. Поскольку все собственные векторы ненулевые, делаем вывод, что φ_k=0. → из рав-ва (1) следует, что все коэфф-ты лин. комбинации в левой части рав-ва равны нулю. Это означ., что векторы b1,b2,…,bk –ЛНЗ → мы доказали утверждение теоремы для k векторов в предположении, что оно верно для k-1 вектора. Согласно методу мат.индукции утверждение теоремы верно для люб. числа собственных векторов.■

ч2.Вопрос 32. Теорема о связи собственных значений линейного оператора и его характеристических корней.

Теорема. Собственными значениями лин. оператора φ, действующего в лин. пространстве L над полем Р, являются характер-ские корни этого оператора, принадлежащие Р, и только они.

Доказательство. Пусть преобразование φ имеет в базисе е1,е2,…,еn матрицу А==(_ij) и пусть вектор b=явл. собственным вектором преобраз-я φ→b φ=λb (1)(где λ-собственное значение оператора φ). b φ=[(1, 2,…, n)A]e (2). Рав-ва (1) и(2) приводят к с-ме равенств:₁₁₁+ ₂₂₁+…+_n_n1= λ ₁,

₁₁₂+ ₂₂₂+…+_n_n2= λ ₂, (3)

………..………………

₁_1n+ ₂_2n+…+_n_nn= λ n.

т.к.b<>0, то не все числа 1, 2,…, n равны нулю. Т.обр., ввиду (3), с-ма лин. однородных уравнений :(₁₁- λ )x₁+ ₂₁x₂+…+_n1x_n=0,

₁₂x₁+ (₂₂-λ)x₂+…+_n2x_n=0, (4)

………..………………

_1nx₁+ _2nx₂+…+(_nn-λ)x_n=0

обладаетненулевым решением→ее определитель=0,=0 (5)

Транспонируя, получаем |A- λ E|=0 (6), т.е.собств. значение λ на само деле оказалось характер-ским корнем м-цы А→и линейного преобразования (причем, действительным).

Обратно, пусть λ б. любым действительным характер-ским корнем преобразования φ и, следов-но, м-цы А. Тогда имеет место равенство (6), а поэтому и получающееся из него транспонированием равенство(5) → с-ма лин. однородных ур-ний (4) обладает ненулевым решением, притом действительным, т.к. все коэфф-ты этой с-мы действит-ны. Если это решение об. через (1, 2,…, n) (7), то имеют место рав-ва (3). Обозначим через b вектор пространства L, имеющий в базе е строку координат (7); ясно, что b<>0. Тогда справедливо рав-во (2), а из (3) и (2) следует (1). Вектор b оказался, т.обр., собственным вектором преобраз-я φ, относящимся к собственному значению λ.■

Замечание. Если бы мы рассматривали комплексное лин. простр-во, то б.бы доказана след теорема: Собственными значениями лин. оператора φ, действующего в лин. пространстве L над полем С, являются характер-ские корни этого оператора, принадлежащие С, и только они.

ч2.Вопрос33. Практическое нахождение собственных значений и собственных векторов линейного пространства.

Решение задач о собственном значении в общем виде: e1….en –базисы, А-матрица линейного пространства φ в е. φ(х)=х будет эквивалентна, А(х)=α(х)-в результате получается вектор размерностью n (Ах- αх=0) (А- αЕ)x=0 (вычитать число из матрицы нельзя) В данной матрице записана соответственная однородная система из n-уравнений от n – неизвестных, т.к собственные векторы не нулевые то нас интересует не нулевое решение полученной системы. Это возможно когда определитель матрици =0 |А- αЕ|=0 (т.Крамера) Расткрывая полученный многочлен степениn. У него ровно n корней, значит мы нашли ровно n-собственных значений.

α1, α2, αn- собственные значения. Если среди(α1, α2, αn)-найдутся элементы из поля Р тогда данное линейное преобразование имеете собственные значения и каждое из них имеет свои собственные векторы.

Для каждого αi прина Р составим систему (А- αiЕ)*x=0, она совместна и имеет не нулевое решение => можно построить фундаментальную систему решений(ФСР) векторы в неё входящие (и любые их линейные комбинации) будут соответствовать векторам соответственно αi , φх= αх.

Разным αi-соответствуют разные векторы.

Замечание : базисы из собственных векторов удается построить не всегда, это будет определенное количество корней из поля Р, Если не удается привести к данному виду то можно привести к нормальной форме Жордана.

ч2.Вопрос34. Линейный оператор простой структуры с простым спектром, его матрица. Приведение матрицы к диагональному виду. Каноническая форма матрицы. Теорема.

Опр. Спектр линейного преобразования φ конечно мерного линейного пространства L над P называют простым если все его характеристические корни различны и принадлежат P.

Теорема. Линейное преобразование с простым спектром n-мерного линейного пространства имеет n различных собственных значений φ тогда и только тогда задается в базе e1,e2,e3 ….en диагональной матрицей, если все её векторы этой базы являются собственными векторами преобразования φ.

Собственные векторы b1,b2 …bn –линейного преобразования φ относящиеся к различным собственным значениям, составляют линейно не зависимую систему. i=1,n

По Теореме Собственные векторы линейного преобразования φ относящиеся к различным собственным значениям линейно зависимы.

- линейная зависимость

умножим на

Следствие: всякое линейное преобразование с простым спектром может быть задано диагональной матрицей

(Теория из Тетради по практике)

Пусть дана квадрат ная матрица А порядка n если возможны из каких либо n- столбцов векторов матрицы А принадлежащих соответственно числам λ1, λ2, λn как из столбцов построить квадратную не вырожденную матрицу S порядка n то будет выполнятся соотношение (*)

λ-это диагональная матрица с собственными значениями при выполнений соотношений (*) что матрица А приводит матрицуS к диагональному виду -каноническое разложение матрицы А.

Следствие: всякое линейное преобразование с простым спектром может быть задано диагональной матрицей .

ч2.Вопрос35. Квадратичная форма, ей записи матрица, ранг. Квадратичная форма при линейном преобразовании неизвестных, её ранг.

Опр. Пусть задан набор неизвестных x1,x2..xn- неизвестные.

Формальная сумма вида гдепринадлежитP, i,j=1,n называется квадратичной формой от неизвестных x1,x2..xn

Замечание: Среди могут встречаться нулевые поэтому часть слагаемых может быть отсутствовать.

Пример: (квадратичная форма от 3 неизвестны)

Каждой квадратичной форме можно поставить в соответствии матрицу.

Матричная запись: Если

x=Qy- матричная запись,можно считать новыми переменными полученными из «x»

=>,

,

B-есть матрица квадратичной формы при др. наборе неизвестных.

Свойства матрицы.

1)r(A)=r, существует не вырожденная, |Q| не=0,

2) В формуле участвует транспонированная матрица

Опр. Две квадратичные формы r и g над одним и тем же набором неизвестных (х1,х2,хn) называются эквивалентными если существует не вырожденное преобразование неизвестных в g.

Свойство.

1) Рефлективность, каждая ква. Форма эквивалентна себе.

2)Симметричность f эквивалентна g и наоборот.

3)Транзитивность. f(экв)g<=>g(экв)t<=>f(экв)t

Ранг квадратичной формы.

Дана квадратичная форма вида , ранг её матрицы равенA=() называется рангом квадратичной формы.

Утв.При переходе к новому базису ранг кв. формы не меняется, или при новом преоброзовании неизвестных ранг кв. формы не меняется.

Док-во то, так как,

ч2.Вопрос36. Канонический вид квадратичной формы. Основная теорема о квадратичных формах.

Опр. Квадратичный вид -называется каноническим.

Замечание. Матрица канонической квадратичной формы будет диагональная

и по ней удобно находить ранг матрицы квадратичной формы (равен числу элементов)

Задача сводится найти не вырожденное преобразование переводящее заданную квадратичную форму к каноническому виду.

Теорема: Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду, доказательство проведем методом Лагранжа, его суть выделение полных квадратов.

Возможны 2 случая.

1)В квадратичной форме =0 меняю отi=1,n тогда квадратичную форма есть произведение разноименных неизвестных с не нулевым коэффициентом. Выполним преобразование неизвестных по правилу.все остальные без изменения.

2) Пусть для тогда

Выделим из первых n слагаемых полный квадрат.

= +Квадрат формы от переменных +g(x1,x2, xn) выполняем замену переменных и т.д. данное преобразование не выраженное.

Применим к квадратичной форме g место выделение полного квадрата. Не более чем за n-1 шаг мы получим канонический вид для квадратичной формы.

-канонический вид

Канонический вид зависит от выбора преобразования и определяется не однозначно, но при любом выборе преобразования число положительных и число отрицательных слагаемых не меняется.

ч2.Вопрос37.Нормальный вид действие над действительной и комплексной квадратичной формы. Теоремы.

Опр. Пусть квадратичная форма задана своим каноническим видом где все -число положительных,-число отрицательных. Величинуи-называют сигнатурой=число не равное 0 (ранг квад. формы)

выполняется в нашей системе по правилу. i=1,n нормальный вид квадратичной формы квадратичной формы с точностью до порядка следования слагаемых.(Комплексный вид) Кано. = бесконечность, Нормальный =1

ч2.Вопрос38. Закон инерции действительных квадратичных форм.

Теорема. Всякая квадратичная форма задана на конечном действительном линейном пространстве приводится с точность до обозначений к единственному нормальному виду.

Док-во.

Пусть в некотором базисе e1,e2,..en имеется действительный нормальный вид а в другом базисе f1,f2,..fn

надо доказать что k=l,

Докажем от противного l>k, рассмотрим следующую линейную оболочку ,dimH=l, dimS=(n-k), Рассмотрим dim(H+S)=l+(n-k)-dim(SH) 0, т.кl+(n-k)>0 то dim(SH)0

Существует единственный вектор подставляемт.к.потому в базисеf1,..fn-он имеет координаты. поэтому из=> Следует чтоk=l

Замечание: Число положительных в действительном нормальном виде называют положительным индексом инерции, число «-» отрицательным индексом инерции. А разность между 1 и 2 числом сигнатурой квадратичной формы. Они единственны для данной квадратичной формы.

ч2.Вопрос39. Положительная определенная квадратичная форма. Теорема. Критерии Сильвестра.

Квадратичная форма такая что при любом наборе неизвестных

>0 положительно определенная. <0 отрицательно определенная.

Для классификации квадратичной формы можно привести её к каноническому виду если в ней содержится только коэффициент при положительной квад. то положительно или отрицательно определена.

Теорема. Действительная квадратичная форма f(x;x) положительно определена тогда и только тогда когда её действительном нормальном виде нет квадратов. с(-1) и 0

Критерии Сильвестра.

Квадратичная форма будет положительно определена тогда и только тогда, когда все её миноры расположены на главной диагонали строго >0, или =0.

Если минор чередует свой знак начиная с «-» то кв форма отрицательно определена.

-транспонированная матрица, Равенство возможно приЛибо при |A|=0=|B|

Замечание: Признаки положительно отрицательных квадратичных формы. Для того что бы квадратичная форма была положительно или отрицательно определена необходимо и достаточно что бы она приводилась к каноническому(нормальному )виду состоящему из «n» членов с положительно или отрицательными коэффициентами.

ч2.Вопрос40. Евклидово пространство. Свойство. Примеры. Теорема о превращении линейного пространства в эвклидово. Унитарное пространство.

Опр. Пусть х - линейное пространство над полем R правило ставящее в соответствии действительные числа удовлетворяет свойству

1) (x,y)=(y,x)

2)(a+b,c)=(a,c)+(b,c)

3)(α,a,b)= α (a,b)

4)(a,a)>0 если а не равно 0

(a,a)>0 если а=0

-Эти правила называются скалярным произведением.

Линейное пространство в котором определено скалярное произведение векторов называется эвклидовым пространством(Е). Примеры:

1. То скалярное произведение которое было определено во множестве всех геометрических векторов

2. L –множество непрерывных функций на [a,b]

(f(x), φ(x))= f(x)*φ(x)dx

по свойству можно разбить на несколько слагаемых

=Получится матрица Грамма.

Полученная матрица: Квадратная, симметричная в относительно главной диагонали, является матрицой положительно определенной.

При переходе от Матрица Грамма меняется

Док-во: похожа на невырожденное линейное преобразование в квадратичной форме.

Теорема. Любое линейное пространство заданное над полем R можно превратить в Эвклидово если размерность пространства конечно.

Док-во

Пусть х- линейное пространство над полем R dimx=n, e1,e2,en-базисы.

Для любой n можно построить матрицу Грамма, В качестве примера можно выбрать единичную матрицу. Определим скалярное произведение векторов =1 еслиi=j, =0 если i не равно j, тогда

полученная формула дает нам скалярное произведение, Линейное пространство превратилось в Эвклидово.

Опр: Будем говорить что в линейном пространстве S над полем С введено скалярное произведение, еди для любой пары а,в единственным образом ставится комплексное число, причем выполняетс 2 и 3 аксиома скалярного произведения, а 1 заменяется.

1)

2) (α,a,b)= α (a,b)

3)(a+b,c)=(a,c)+(b,c)

Комплексное линейное пространство называется унитарным пространством, его теорема аналогична теореме Евклидово пространства

ч2.Вопрос41. Ортогональная система векторов, ортонормированный базис, его свойства.

Опр. Базис называется ортогональным если =0 прииеслиi=1

Для нахождения ортонормированных базисов применяем метод Грамма Шмита.

1) 2),(умножаем наb1

3) ,,(умножаем наb1,b2)

Теорема. Любой ортогональный не нулевой вектор а1,а2, аn линейно не зависимы.

Доказательство. Умножим обе части на вектор скалярно

,

=0 Значит все коэффициенты ,Система а1,а2, аn-линейно зависима.

Опр. Система векторов называется ортогональной если когда 2 вектора ортогональны (либо по парно ортогональны)

ч2.Вопрос42. Процесс ортогонализации.

Линейное преобразование Евклидового пространства называется ортогональным если оно сохраняет скалярное произведение векторов.

j: Еn –> En

j - ортогон. ó (a,b)=( j(a), j(b))

Свойства:

1. Если j - ортогонально, то оно сохраняет длину вектора и угол между ненулевыми векторами.

2. Если j - ортогональное преобразование и λ – действительное число, то λj - ортогональное преобразование.

3. Если j и кси ортогональны, то будет ли j + кси и j*кси - ортогонально.

4. Будет ли множество ортогональных преобразований пространства Еn алгеброй.

5. Ортогональное преобразование переводит ортогональные векторы в ортогональные

Следствия:

1. Ортогональное преобразование ортогональные базис переводит в ортогональный.

2. Ортогональное преобразование переводит ортонормированный базис в ортонормированный.

6. Пусть j - ортогональное преобразование и е₁, е₂, . . . , е_n (1) – ортогональный базис. А – матрица j в базисе (1)

а₁₁ а₁₂ . . . а_1n

А = a₂₁ a₂₂ . . . a_2n

a_n1 a_n2 . . . a_nn

Свойства:

j(e_i)=a_1ie₁+a_2ie₂+ . . . +a_nie_n

|e_i|=1 => |j(e_i)|=1 => |j(e_i)|=корень(a_1i²+a_2i²+ . . . +a_ni²)=1

a_1i²+a_2i²+ . . . +a_ni²=1

1. В матрице А сумма квадратов элементов любого столбца равна 1.

т.к. (e_i,e_j)=0 => (j(e_i), j(e_j))=0 => a_1ia_1j+a_2ia_2j+ . . . +a_nia_nj=0

2. В матрице сумма произведений соответствующих элементов в 2-х разных столбцах равна 0

Матрица, обладающая 1 и 2 свойствами, называется ортогональной.

Ортогональное преобразование в ортогональном базисе задается ортогональной матрицей.

Пусть зафиксирован е1,е2, . . . ,еn – ортонормированный базис и некоторая квадратная ортогональная матрица.

Рассмотрим то линейное преобразование, которое задаётся матрицей А.

|j(e_i)|=корень(a_1i²+ . . . +a_ni²)=1

(j(e_i), j(e_j))=a_1ia_1j+a_2ia_2j+ . . . +a_nia_nj=0 т.к. ортогональные векторы – л/н, то система образов j(e₁), j(e₂), . . . , j(e_n) – ортонормированный базис

Какие бы ни были a=(x₁, . . . , x_n), b=(y₁, . . . , y_n)

a*b=j(a)* j(b)

Любая ортогональная матрица задаёт ортогональное преобразование

Если А – ортогональная матрица, то |A| =±1.

ч2.Вопрос43. Теорема о существовании ортонормированного базиса.

Теорема: Всякое евклидово пространство обладает ортонормированными базисами.

Для доказательства достаточно взять любую ортогональную базу и нормировать все ее координаты. База останется при этом ортогональной так как при любых α и β из (а,b)= 0 следует

(αα, β β) = αβ(a,b)=0

База е1,е2,…,еn евклидова пространства Еn тогда и только тогда будет ортонормированной, если скалярное произведение любых двух векторов пространства равно сумме произведений соответственных координат этих векторов в указанной базе.

Если в n – мерном линейном пространстве Vn выбрана произвольная база, то Vn можно так задать скалярное умножение, что в полученном евклидовом пространстве выбранная база будет одной из ортонормированных баз.

ч2.Вопрос44. Сопряженные операторы.

Пусть заданно зафиксируем произведение векторатогда для любого вектора «х» можно поставить в соответствии скалярное произведение х->(x,a) и отображение можно рассматривать какв С можно показать что эта функция линейная.

f(a+b)=f(a)+f(b), f(αa)= αf(a), мы получим функцию, если заданна линейная функция из в С то всегда можно подобрать скалярное произведение Х а

Если а и в различные векторы из то функции будут различными, (х,а) (х,b)-различны

Предположим что утверждение не верное (х,а)=(х,b), добавим -(x,b), (x,a)+(-(x,b))=0, (x,a-b)=0

x-любой вектор из значит вектор (a-b)-ортогонален всему

a-b=0, a=b,

Если оператор φ линейный то модно ввести линейную функцию равную f(x)=( φ(x)y), где у – фиксированный вектор.

Проверим что для f(x)-выполняются аксиомы линейности

Подставим вместо х сумму f(x)=( φ(x),y)=(x,a), ,-называется сопряженным

Свойство сопряженных операторов

1. Сопряженный тождественный

2. Сопря - сопряженному сам φ,

3. 4)5) )

6) Связь линейных операторов (для любогосуществует)

7) Если базис e1…en выбрать произвольно то есть не ортогонально то матрица сопряжен оператора и исходного равенства

8) Что бы построить элемент сопряженный данному , собственные значения сопряженного оператора являются сопряженными компонентами числами.

9) Область значений сопряженного оператора есть линейное пространство ортогональное ядру оператора

ч2.Вопрос45. Нормальный оператор

Опр.: заданный в унитарном пространстве оператор А называется нормальным, если существует произведение АА* и А*А и выполняется равенство АА*=А*А => А - нормальный

Свойства.

1^о. Если оператор А задан своей матрицей в ортонормированном базисе, то выполняется матричное равенство.

2^о. Если α - собственное значение нормального оператора А, х- собственный вектор, соответствующий данному собственному значению, х- будет собст вектором для А* и будет соответствовать собств значением

3^о. Собственные векторы от разных собств значений нормального оператора ортогональны

4^о. В унитарном пространстве Un для любого нормального оператора существует базис из собств векторов, причем матрица линейного пространства в этом базисе будет ортогональная.

ч2.Вопрос46. Самосопряженный оператор.

Линейное преобразование j: Еn –> Еn называется симметрическим, если для любых а и в Î Еn выполняется (а, j(в))=( j(а),в)

Из предыдущего определения j=j*, А*=А, А^т=А

Есл А*=А, Ат=А

Еслразование в ортонормированном базисе задано симметрической матрицей называется симметрическим.

Теорема: Все характеристические корни симметрической матрицы есть действительные числа. Все собственные значения симметрического преобразования есть действительные числа

Для любого симметрического линейного преобразования существует

1. базис из собственных векторов

2. ортонормированный базис из собственных векторов.

Следствие: Любая симметрическая матрица подобна диагональной с действительными элементами по главной диагонали.

ч2.Вопрос49. Однородные координаты точек на плоскости.

Однородные координаты точки

Пусть М – произвольная точка плоскости с координатами х и у, вычисленными относительно заданной прямолинейной координатной системы. Однородными координатами этой точки называется любая тройка одновременно не равных нулю чисел х1, х2, х3, связанных с заданными числами х и у следующими соотношениями:

x1 / x3 = x, x2 / x3 = y (3.1)

При решении задач компьютерной графики однородные координаты обычно вводятся так: произвольной точке М (х, у) плоскости ставится в соответствие точка МЭ (х, у, 1) в пространстве.

Необходимо заметить, что произвольная точка на прямой, соединяющей начало координат, точку О (0, 0, 0), с точкой МЭ (х, у, 1),может быть задана тройкой чисел вида (hx, hy, h).

Будем считать, что h = 0. Вектор с координатами hx, hy, h является направляющим вектором прямой, соединяющей точки О (0, 0, 0) и МЭ (х, у, 1). Эта прямая пересекает плоскость z = 1 в точке (х, у, 1), которая однозначно определяет точку (х, у) координатной плоскости ху.

Тем самым между произвольной точкой с координатами (х, у) и множеством троек чисел вида (hx, hy, h), h = 0, устанавливается взаимно однозначное соответствие, позволяющее считать числа hx, hy, h новыми координатами этой точки.

Широко используемые в проективной геометрии однородные координаты позволяют эффективно описывать так называемые несобственные элементы (по существу, те, которыми проектная плоскость отличается от привычной евклидовой плоскости).

В проективной геометрии для однородных координат принято следующее обозначение:

х : у : 1 (3.2)

или, более общо,

х1 : х2 : х3 (3.3)

(здесь непременно требуется, чтобы числа х1, х2, х3 одновременно в нуль не обращались).

Применение однородных координат оказывается удобным уже при решении простейших задач.

Рассмотрим, например, вопросы, связанные с изменением масштаба. Если устройство отображения работает только с целыми числами (или если необходимо работать только с целыми числами), то для произвольного значения h (например, h = 1) точку с однородными координатами (0.5, 0.1, 2.5) представить нельзя. Однако при разумном выборе h можно добиться того, чтобы координаты этой точки были целыми числами. В частности, при h = 10 для рассматриваемого примера имеем (5, 1, 25).

ч2.Вопрос50. Проективная плоскость. Проективное пространство.

Проективное пространство, в первоначальном смысле — евклидово пространство, дополненное бесконечно удалёнными точками, прямыми и плоскостью, называемыми также несобственными элементами (см. Бесконечно удалённые элементы). При этом каждая прямая дополняется одной несобственной точкой, каждая плоскость — одной несобственной прямой, всё пространство — одной несобственной плоскостью; параллельные прямые дополняются общей несобственной точкой, непараллельные — разными; параллельные плоскости дополняются общей несобственной прямой, непараллельные — разными; несобственные точки, дополняющие всевозможные прямые данной плоскости, принадлежат несобственной прямой, дополняющей ту же плоскость; все несобственные точки и прямые принадлежат несобственной плоскости.

П. п. можно определить аналитически как совокупность классов пропорциональных четверок действительных чисел, не равных одновременно нулю. При этом классы интерпретируются либо как плоскости П. п., а числа называются однородными координатами плоскостей.

ч2.Вопрос47. Унитарный оператор

Оператор _{заданный в унитарном пространстве Un называется унитарным, если выполняется равенство}

_{(а,b)=( (a), (b))}

_{Это понятие аналогично преобразованию с сохранением длин}

_{Свойства:}

1^о. Множество унитарный операторов не пусто

пр.: тождественный оператор

2^о. Обратный к унитарному оператору будет унитарным

3^о. Если α - число, то следует ли то, что α _{- унитарные?}

4^о. Произведение 2-х унитарных операторов - унитарный оператор

5^о. Т.к. для унитарного оператора выполняется равенство (a,b)=( (a), (b)) =, то^*- тождественный

значит матрица А*А=Е

=> ^*₌^-1

_A*=A^-1

48