Теория вероятности Вариант 6
.docxВариант 6
1. В книжной лотерее разыгрывается n = 4 книги. Всего в урне имеется N = 50 билетов. Первый подошедший к урне вынимает билет.
Определить вероятность того, что билет окажется выигрышным.
Количество всех возможных вариантов вынуть билет N = 50,
Количество всех возможных вариантов вынуть выигрышный билет n = 4
Вероятность того, что первый вынутый билет окажется выигрышным Р = = = 0,08
2. В круг радиуса r = 7 брошена точка так, что ее любое расположение в круге равновозможно. Найти вероятность того, что она окажется внутри находящегося в круге квадрата со стороной а = 5.ч
Вероятность попадания в квадрат, вписанный в круг вычисляется по формуле: Р =
S(A) – площадь квадрата; S(A) = 52 = 25
А – попадание в квадрата;
S() - площадь круга; S() = r2 = 49
Р(А) = = = 0,162
3. Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих датчика. Вероятность того, что при возгорании датчик сработает, для первого и второго датчика соответственно равны р1 = 0,4 и р2 = 0,5. Найти вероятность того, что при пожаре сработает хотя бы один датчик и вероятность того, что при пожаре сработает ровно один датчик.
А – сработал первый датчик;
В – сработал второй датчик. По условию задачи Р(А) = 0,4; Р() = 0,6
Р(В) = 0,5; Р() = 0,5
Пусть С – событие состоящее в том, что сработал хотя бы один датчик
D- сработал ровно один датчик.
С = А + В + АВ. Так А, В независимы, то Р(С) = Р(А)Р() + Р(В)Р() + Р(А)Р(В) = 0,40,5 + 0,50,6 + 0,40,5 = 0,2 + 0,3 + 0,2 = 0,7
D = Р(А)Р() + Р(В)Р() = 0,40,5 + 0,60,5 = 0,5
4. В тире имеется 5 различных по точности боя винтовок. Вероятность попадания в мишень для данного стрелка соответственно равна 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 и Р = 0,55. Чему равна вероятность попадания в мишень, если стрелок делает один выстрел из случайно взятой винтовки. Попадание произошло. Чему равна вероятность того, что была выбрана первая винтовка.
Н1 – выбор первой винтовки.
Н2 – выбор второй винтовки
Н3 – выбор третьей винтовки
Н4 – выбор четвертой винтовки
Н5 – выбор пятой винтовки.
Р(Н1) = Р(Н2) = Р(Н3) = Р(Н4) = Р(Н5) = 1/5.
А- попадание стрелком в мишень.
Р(А/Н1) = 0,5
Р(А/Н2) = 0,55
Р(А/Н3) = 0,7
Р(А/Н4) = 0,75
Р(А/Н5) = 0,55
По формуле полной вероятности Р(А) = Р(Н1) Р(А/Н1) + Р(Н2) Р(А/Н2) + Р(Н3) Р(А/Н3) + Р(Н4) Р(А/Н4) +Р(Н5) Р(А/Н5) = 1/5(0,5 + 0,55 + 0,7 + 0,75 + 0,55) = 0,61.
Вероятность попадания стрелка из случайно взятой винтовки равна 0,61.
По формуле Байеса Р(Н1/А) = = = 0,164 – вероятность, что стрелок стрелял из первой винтовки, если он попал в мишень.
5. Вероятность того, что баскетболист попадет при броске в корзину равна р = 0,2. Определить вероятность, что сделав n = 7 бросков, он m = 4 раза попадет.
n = 7 - число бросков в корзину;
m = 4 – число попаданий в корзину из 7 бросков
р = 0,2; q = 1 – р = 1 – 0,2 = 0,8. Найти Р7(4)
Найдем Р7(4) по формуле Бернулли:
Р7(4) = р4q3 = (0,2)4(0,8)3 = 35 0,00160,512 = 0,0287
6. Вероятность появления бракованных деталей при их массовом производстве равна р = 0,001. Определить вероятность того, что в партии из N = 900 деталей будет:
ровно 3 бракованных;
не более 3-х.
Имеет место схема Бернулли. n = 900; m = 3; р = 0,001; q = 0,999.
Так как nр = 9000,001 = 0,9 10. Применяем формулу Пуассона: Р900(3) = = = таблица распределения Пуассона
= 0,0494
Р5000(m 3) = = (табл) = 0,98654
7. В жилом доме имеется n = 2500 ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. найти вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет заключено между m1 и m2.
n = 2500, m1 = 1225; m2 = 1250.
По интегральной формуле Муавра-Лапласа: Р(m1 x m2) = Ф(х2) – Ф(х1), где
х1 = = = - = - 1; х2 = = = 0;
Р(m1 x m2) = Р(3120 x 3280) = Ф(0) - Ф(-1) = 0,3413
8. Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час N = 420 вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: ровно два вызова; более двух.
11 = N = 420, t1 = 60 мин; t2 = 1 мин. а2 = = = 7.
По формуле Пуассона: Р420(2) = (табл.1) = 0,02234;
Р420(m > 2) = 1 – Р(m 2) = 1 – 0,02964 = 0,97036.
9. Случайная величина Х задана рядом распределения:
хi |
-1 |
0 |
1 |
pi |
0.35 |
0.3 |
0.35 |
P{Х < 0} = P{Х = -1} = 0,35, P{X > -1}= P{Х = 0} + P{Х = 1} = 0,3 + 0,35 = 0,65.
Р{-1 <X < 1} = 0,3.
МХ = -10,35 + 00,3 + 10,35 = 0.
DX = (-1)20,35 + 020,3 + 120,35 – МХ2 = 0,7
10. Построить таблицу распределения и найти МУ, DУ для случайной величины У=2Х+3.
уi |
1 |
3 |
5 |
pi |
0.35 |
0.3 |
0.35 |
МУ = 2МХ + 3 = 20 + 3 = 0
DУ = D(2Y + 3) = 4DY = 40.7 = 2,8