13. Формула Пуассона

Если число испытаний n достаточно велико, а вероятность появления события A в каждом испытании постоянна и равна p, причем p<0.1, то применение формулы Муавра-Лапласа становится невозможным. Теорема 1. Если вероятность p появления события A в каждом испытании стремится к нулю при неограниченном увеличении числа испытаний, причем произведение np сохраняет постоянное значение, т. е. np=a, то вероятность Pn(k) того, что в n независимых испытаниях событие A появится k раз удовлетворяет предельному равенству

(2).

Строго говоря, условие теоремы 2: р→∞ при n→∞, нарушает исходные предпосылки в схеме независимых испытаний Бернулли, в которой p=const. Однако, если вероятность p постоянна и достаточно мала, а число n испытаний велико, причем произведение a=np незначительно, то из предельного равенства (2) можно записать приближенную формулу Пуассона: . Пример 3. Завод отправил в торговую сеть 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0.002. Найти вероятность того, что при транспортировке будет повреждено три изделия. Решение: В данном случае формула Бернулли не применима, т. к. придется возводить 0. 002 в 500-ю степень. ;.

14. Наивероятнейшее число появления события

Наивероятнейшим числом k0 наступления события A в n независимых испытаниях называется число, вероятность которого, Pn(k0) по крайней мере не меньше вероятностей Pn(k) вычисленных для всех остальных k. Наивероятнейшее число k0 - наступления события A в n независимых испытаниях находится из неравенства

(1)

Т. к. , то обязательно найдется хотя бы одно целое число k0, удовлетворяющее неравенству (1). Если обе части неравенства (1) – дробные числа, то k0 - единственное целое число, расположенное между данными дробями. Если число np-q - целое, то наивероятнейших чисел будет два: k0 и k0+1. Если число np - целое, то наивероятнейшее число k0=np. Пример 1. В результате обследования были выделены семьи, имеющие по четыре ребенка. Считая вероятность появления мальчика в семье равной 0.515 найти наивероятнейшее число появления мальчиков в семье c четырьмя детьми. Решение: Т. к. n=4, p=0.515, q=0.485, то 1.575≤k₀≤2.575. Т. е. вероятнее всего, что мальчиков будет два. Проверим это. Найдем вероятности того, что мальчиков будет 0,1,3,4.

Следовательно, вероятнее всего появление двух мальчиков.

15. Понятие и виды случайных величин

О. 1. Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять любое заранее не известное значение из множества всевозможных значений. Пример 1. 1) Число мальчиков среди ста новорожденных детей есть случайная величина, которая может принимать значения от 0 до 100. 2) Расстояние, которое пролетит снаряд после выстрела, есть случайная величина значения, которой могут быть указаны интервалом (a,b). Обозначаются случайные величины прописными буквами X,Y,Z, а их возможные значения строчными x,y,z. Различают случайные величины двух видов: дискретные и непрерывные. О. 2. Дискретной (прерывной) называют случайную величину, возможные значения которой представляют собой множество изолированных фиксированных величин (ДСВ). Число возможных значений дискретной случайной величины может быть как конечным, так и бесконечным.

О. 3. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все возможные значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины является бесконечным. Пример 2. В примере 1: 1) дискретная величина; 2) непрерывная величина.