Landsberg-1985-T2

лельные прямые. На чертежах однородное поле также

представится рядом параллельных и равноотстоящих пря­

мых, проходящих тем гуще, чем сильнее изображаемое ими поле (рис. 35).

Отметим, что цепочки, образуемые крупинками в опыте

§ 13, имеют ту же форму, что и линии поля. Это естественно,

(1)

Рис. 35. Линии поля между разноименно заряженными пластинами. Напряженность поля; а) наименьшая - густота линий поля мини­

мальна; б) средняя - густота линий поля средняя; в) наибольшаягустота линий поля максимальна

так как каждая удлиненная крупинка располагается по

направлению напряженности поля в соответствующей точке.

Поэтому рис. 26 и 27 подобны картам линий электрического

поля между параллельными пластинами и возле двух за­

ряженных шаров. Используя тела различной формы, можно

с помощью таких опытов легко найти картины распределе­ ния линий электрического поля для различных полей.

§ 18. Основные особенности электрических карт. При по­

строении электрических карт нужно иметь в виду сле­

дующее.

1. Так как электрическое поле существует во всех точ­

ках пространства, то через любую	точку пространства
. всегда .можно провести линию поля.
2. При заданном распределении электрических зарядов
напряженность электрического поля	в любой точке будет

44

совершенно определенной как по модулю, так и по направ­

лению. Это значит, что через каждую точку поля можно

провести линию поля только вполне определенного направ­

ления, т. е. всего одну линию. Другими словами, линии

электрического поля не пересекаются.

3. Пересечение линий поля может иметь место только у точечного заряда (рис. 32): из положительного заряда ли­ нии исходят (начало линий поля), у отрицательного заряда линии сходятся (конец линий поля). Линии электрического поля нигде не обрываются, кроме как на зарядах; они направ­

лены от положительных зарядов к отрицательным и прохо­

дят сквозь диэлектрики.

4. Так как при равновесии зарядов электрическое поле внутри проводников отсутствует, то внутри проводников

нет линий электрического поля. Линии поля не проходят

внутрь проводников, но начинаются и кончаются на их по­

верхности. Так как началом и концом линии поля являют­

ся электрические заряды, то на поверхности проводника, откуда начинаются линии поля, располагаются положи­ тельные заряды, а на поверхностях, где кончаются линии

поля, лежат отрицательные заряды.

5. Линии электрического поля направлены neрnендику­ лярно к поверхности проводника. действительно, линии

поля указывают направление сил, действующих на заряд. Если бы они были наклонены к поверхности проводника, то на поверхности сила имела бы составляющую, направ­ ленную вдоль поверхности проводника. Под действием этой составляющей электрической силы происходило бы пере­

мещение зарядов вдоль поверхности. Равновесие зарядов

вОзможно лишь в том случае, когда линии поля направле­

ны перпендикулярно к поверхности проводника.

§ t 9. Применение метода линий поля к задачам электроста­ тики. Пользуясь изложенными правилами (§ 18), мы мо­ жем с помощью линий поля решать многочисленные задачи элеIпростатики. Проведем от каждого заряда такое число

линий, чтобы густота их выражала численно напряженность

поля (§ 17). TaI{ как с увеличением заряда напряженность по­ ля возрастает пропорционально заряду, то число линий, ис­ ходящих от заряда, должно быть также пропорционально

заряду; поэтому от равных зарядов мы проводим одно И то

же число линий поля. Но линии поля, начинаясь на поло­

жительных зарядах, оканчиваются на отрицательных. Та­

ким образом, у всех линий, начинающихся на IJОЛОЖИТель­ НЫХ зарядах, на концах будут отрицательные заряды, при-

45

чем общий отрицательный заряд будет равен обще~lУ поло­

жительному заряду. Это заключение вполне соответствует наблюдению (§ 5), что электризация всегда есть разделение

равных положительных и отрицательных заряДов.

Проследю! с пос.ющью картины линий поля явление ин­ дукции. I300бразим электрический заряд q, например поло­ жительный, помещенный внутрь замкнутой металлической

а)

Рис. 36. ЯвлеlJJ1Е' IШДУiЩJ1!I в за~IJШУТОЙ полости: а) на внутренней

поверхности индуuпруется заряд -q, на внешней		поверхности -	за·
рид q;	б) заряд q и "арпд -q, индуцированный на	внутренней поuерх­
насти,	неI1тра.1И3CJваны; !Ы внешней 11Оверхности	остался заряд	q

полости (рис. 36, а). На обращенной к заряду q поверхно­

сти полости индуцируется заряд противоположного знака;

а так как все линии поля, начинающиеся на заряде q, долж"

ны кончаться на внутреJ!ней поверхности полости (lIбо ли­

нии поля не проходят сквозь ПРО!30ДНИК), то ИНДУЦJlрован­

ный заряд -q должен ЧIIсленно равняться индуцирующему

заряду q. На внешнсii ЛО!3С[)хНОСТ/I металлической оболочки (частью которой НБ.1яеТС51 !! стержень элеКТРОСЕопа с ЛI1СТ­

ка~ш) распреД,еляетсп IЮЛОЖlпеnЫlы{r индуцированный 3й-' ряд, численно paBHblii отрнцйтельному, индуuированному на внутренней поперхности, И, Uiедов:пельно, равный вне­ сенному заряду q. Если ВIIесенный зарпд q привеСТlI в со­ прикосновение с внутреIшеii поверхностью полости, на ко­ торой индуцирован заряд -ч, то эти два равных по модуmо

46

11 противоположных по знаку заряда взаимно нейтрали­ зуются и на внешней поверхности полости останется заряд q (рис. 36, б).

Таким образом легко объясняется то, что при введении

заряда внутрь металлической полости мы полностью пере­ даем этот заряд оболочке. В то же время становятся понят­ ными опыты (§ 5), когда мы использовали полость, соедп­ ненную с электроскопо:\{, для того, чтобы проверить ра­

венство двух противоположных по знаку зарядов, образую­

щихся при трении.

+ 1

+

Т

+

+

+- +

+ +

+

+~~'zi}

а)

о)

Рис. 37. Явление ИНДУI<ДИИ в незамкнутой полости; а) часть линий ПО.'IЯ.

ИДУЩIIХ от заряда q, не попадает на внутреннюю поверхность; индуци­

рооанный fla ней заряд -q' меньше заряда q; на внешней поверхности

возникает заряд q; 6) полость настолько глубока и узка, что на внут­

ренней поверхности ее индуцируется заряд -q, а на внешней -- за-

ряд q

Если бы полость, в которую внесен заряд q, была не

вполне замкнута (рис. 37, а), то часть линий поля, исходя­

щих от заряда q, могла бы выйти через отверстие полости и

заJЮНЧИТЬСЯ на других телах. Таким образом, на внутрен­ ней поверхности полости кончались бы не все линии, исхо­ дящие от заряда q, т. е. индуцированный на этой поверхно-

47

сти отрицатe.nьныЙ заряд -q' был бы по модулю меньше q.

Такая незамкнутая полость не является вполне совер'шен­

ным прибором ДЛЯ опытов § 5. Но если отверстие полости

невe.nико и удалено от места расположения заряда q, то

практически все линии кончаются на внутренней поверх­

ности полости и ее можно рассматривать как замкнутую

(узкий и глубокий цилиндр, называемый цилиндром Фара­

дея, рис. 37, б).

? 19.1. Начертите линин электрического поля точечного отрица-

•тельного заряда и укажите их направление.

19.2.Чему равна напряженность поля внутри ра!>номерно заря­

женной сферы?

19.3.Чему равна напряженность поля в центре равномерно заря­ женного проволочного кольца, имеющего форму окружности?

19.4.Желая знать, находятся ли линии электропередачи ПОД

напряжением, иногда навешивают на ПРО80да легкие бумажные

флажки, которые при включении линии поворачиваются на неко­ торый угол. Почему это происходит?

19.5. Начертите картины линий электрического поля, возникаю­ щего в опытах, изображенных на рис. 36, в случае, если полость была предварительно заряжена положительно и в нее вносится: a~ положительный зарпд q; б) отрицательный заряд q.

§ 20. Работа при перемещении заряда в электрическом поле. На ВСЯКИЙ заряд, находящийся в электрическом поле, дей­

ствует сила, и поэтому при движении заряда в поле совер­

шается определенная работа. Эта работа зависит от напря­

женности поля в разных точках и от перемещения заряда.

Но если заряд описывает замкнутую кривую, т. е. возвра­ щается в исходное положение, то совершаемая при это,tt

работа равна нулю, как бы ни было сложно поле и по какой бы прихотливой кривой ни происходило движение

заряда.

Это важное свойство электрического поля нужно не­ сколько пояснить. Для этого рассмотрим сначала движе­ ние тела в поле силы тяжести. Работа, как мы знаем (см. том 1), равна произведению силы на перемещение и на коси­ нус угла между ними: A=Fs cos а:. Если этот угол острый (а:<900), то работа положительна, если же угол тупой (а:>900), то работа отрицательна. В первом случае мы получаем работу за счет действия силы Р, во втором­ затрачиваем работу на преодоление этой силы. Представим

себе. что в поле земного притяжения, т. е. в пространстве вблизи земной поверхности, где действует гравитационная

сила притяжения к Земле, перемещается какое-нибудь

тe.nо.

,

-1

1

Мы предполагаем, что при этом перемещении нет тре­

ния, так что тело не испытывает изменений состояния, ко­

торые могут сопровождаться изменениями его внутренней

энергии: тело не нагревается, не распадается на части, не

изменяет своего агрегатного состояния, не испытывает

пластической деформации и т. д. В таком случае всякое

перемещение тела в поле силы тяжести может сопровождать­

ся лишь изменением потенциальной и кинетической энер­

гии. Если тело опускается, то потенцИa.rIьная энергия сис­ темы Земля - тело уменьшается, а кинетическая энергия

тела соответственно увеличивается; наоборот, при подъеме тела происходит возрастание потенциальной энергии и

одновременно уменьшение кинетической энергии. При

этом полная .механическая энергия, т. е. сумма потенциаль­

ной и кинетической, остается постоянной (см. том 1).

Как бы ни был сложен путь тела в поле силы тяжести

(подъем и опускание по вертикальной, наклонной или кри­ волинейной траектории, передвижение по горизонтальному

направлению), но если в конце концов тело приходит Б

исходную точку, т. е. описывает замкнутый путь, то систе­

ма Земля - тело возвращается в исходное положение и

имеет ту же самую энергию, какой Она обладала до начала перемещения тела. Это означает, Что сумма положитель­ ных работ, совершенных силой тяжести при опускании те­ ла, равна по модулю сумме отрицательных работ, совер­ шенных силой тяжести на. участках пути, соответствую­ щих подъему тела. Поэтому алгебраическая сумма всех

работ, совершаемых СИЛОй тяжести на отдельных участках

пути, т. е. noлная работа на за/t/кнутом пути, равна нулю.

Из изложенного ясно, что наш вывод справедлив лишь

Б том случае, если Б процессе участвовала лишь сила тя­ жести и отсутствовала сила трения и всевозможные другие

силы, могущие вызвать указанные выше изменения внут­

ренней энергии. Таким образом, силы гравитационного

поля, в отличие от многих других сил, например сил тре­

ния, обладают свойством, которое мы можем сформули­ ровать так: работа, совершаемая гравитационными силами

при neре.мещенuu тела n.o за.мкнуто/ну пути, равна нулю.

Нетрудно видеть, что это свойство гравитационных сил

является выражением Закона сохранения (консервации)

полной механической энергии. В связи с этим силовые поля, которые обладают указанным свойствmл, называют

консер8атИ8НЬLJ}tИ.

Подобно гравитационному полю, электрическое поле,

создаваемое nОКОЯLЦимися электрическими iJарядами, также

49

является консервативНЫ)l. Когда n нем перемещается за­

ряд, то на тех участках ПУТII, где направление перемеще­

ШIЯ составляеТ С направле:шем Сl!ЛЫ ОСТРЫЙ угол (напрп­ мер, в точке а на рис. 38), работа, совершаемая силам!! поля, положительна. Напротив, там, где направление пе­

реl\!ещеН11Я составляет с направлением силы тупой угол (13 точке Ь), работа сил электрического поля отрицательна.

Когда

заряд,

пройдя

по

зюш­

нуто:ну пути, вернется в исход­

ную ТОIШУ, полна я

работа

элек­

ТР1!ческих сил на это:v! пути,

представляющая собой алгебраи­

ческую

CY,Y~1Y

ПОJIOЖIпельных

работ

на

одних участках

11 от­

рицательных на других, равна

нулю.

Строгое

математическое

доказа­

тельство КОJIсерваПIВНОСТИ электричес­

кого поля в общем СЛУIJае довольно

СЛОЖIЮ, J] МЫ ограННЧJJМСЯ поэтому до­

казатсльством этого

свойства

поля для

простеiiшсго случая -

поля,

создавае­

мого одним точсчным заРЯДШl.

Пусть в электрическом поле не­

подвижного точечного заряда q дру­

гой заряд qo движется вдоль произволь­

ной

замкнутой

кривоii

1-2-3-4-

5-6-1 (рис. 38) и

после обхода вдоль

!(ривой возвращается в исходную точ·

Рис. 38. К

докззате.%СТВУ

КУ 1. д,1Я

подсчета

совершаемой при

этом работы пропеде! МЫС,1енно ряд

независимосТИ

работы

сил

сфер

с !\снтром Н зарядс q,

KOTvpwe ра­

ЭJlеКТ]l ического поля от

фор·

зобьют Бесь путь заряда qo на малые от­

МЫ пути

резки, и рассмотри"~

два ОТ[Jезка [1 и [2'

лежащие мсжду ОДними 11

теми же сфе­

рами (между точками 2 и 3,5 и 6). Если отрезки 1] и 12 достаточно малы,

то можно считать, что сила, действующая на заряд 1/<\, во ВССХ точках

каждого из отрезков постоянна. Так как оба отрезка находятся на palJJlbJx расстояниях от заряда q, то, COrJIaCHO закону l\улона, силы IJзл{модеl!СТВИЯ зарядов на обоих отрезках одинаковы по модулю, но

ОТШlчаются направлением, образуя разные углы	(;(1 iJ (;(2 С	направ­
лением перемещеНlШ. Наконец, при. достаточноii	маЛОСТlI [1	и [2 эти

отрезки можно считать прямолинейными. Поэтому работа А 23, совер­ шасыал электрическими силами на пути 2-3, будет равна прОlJзведеНIIЮ

силы на пере~j(:щение и на косинус угла между шшравлениями силы

11 I!сремещения, т. е.

Точно так же работа А 5в, совершаеыая на пути 5-6, равна

50

Но cos 0(2=COS (1800-~)=-cos ~, так что A 50=-FI2 cos~. Кроме того,

ИЗ чертежа ВИДНО, что

11 cos 0(1 = 12 cos ~ =d,

где d - расстояние между сферами, заключающими отрезки /1 И [2'

Поэтому мы находим, что

А2з =- А5в,

Т. е. что алгебраическая сумма работ на отрезках 2-3 и 5-6 равна нулю.

Такой же результат мы получим и для любой другой пары со()тветствуlO­

щих отрезков пути, заключенных между другими сферами. Поэтому 11

полная работа при обходе по замкнутому контуру, равная сумме работ на отдельных отрезках, тоже будет равна иулю.

МЫ получили результат для случая электрического поля одного точечного заряда. Он оказывается справедливым для любого электроста­

тического поля, т. е. поля, созданного неподвижными зарядами, так

как no,Ie, создаваемое любым распределением заряда, ыожно свести к

полю совокупности точечных зарядов.

Итак, в электричеСКО./ft поле работа при перемеш,ении заряда по за.мкнуто.МУ контуру всегда рав/ю нулю *).

Так как работа на пути 1-2-3-4-5-6-1 равна нулю, то, следовательно, работа на пути 1-2-3-4 равна по мо­

дулю и ПРОТИВОПOJIOжна по ЗНaJ<У- работе на пути 4-5-6-1.

Но работа при перемещении заряда на пути 4-5-6-1

равна по модулю и противоположна по знаку работе при

перемещении того же заряда во встречном направлении,

т. е. по пути 1-6-5-4. Отсюда следует, что работа на пути 1-2-3-4 (рис. 38) имеет тот же модуль и знак, что

и работа на пути 1-6-5-4. Так как выбранный криволи­

нейный контур совершенно произволен, то полученный ре­

зультат можно выразить еще и так: работа, совершаемая электрическими силами при перемеш,ении заряда J..!ежду дву.,ия точками в электрическом поле, не зависит от формы

пути. Она определяется только положением начальной и

конечной точек пути.

?20.1. Укажите по возможности больше черт сходства и различия

•между ЭJlектрическим и гравитационным полями.

§21. Разность потенциалов (электрическое напряжение).

Выберем в электрическом поле, например Б поле между

положительно заряженной пластинкой и отрицательно

заряженным шариком, две какие-либо точки 1 и 2 (рис.

39) и перенесем положительный заряд q по произвольному пути 1-3-2 ИЗ точки 1 в точку 2. Мы уже знаем (§ 20), что работа, совершаемая электрическими силами при ДБИ-

*) Это утверждение справедливо только для электростатического

:толя, т. е. поля, создаваемого системой неподвижных зарядов. (Прuмеч.

ред.)

51

жении заряда, не зависит от формы пути, по которому пе­

ремещается заряд. Поэтому работа на пути 1-3-2 будет Такая же, как и на пути 1-4-2, и вообще на любом пути, проведенном между точками 1 и 2. Таl< как сила, действую­

щая на заряд q, пропорциональна этому заряду (§'14), то и работа на каждом отрезке пути, а следовательно, и пол­

ная работа А будут также пропорциональны q. Поэтому

для заданного поля отношение A!q для всех зарядов будет

иметь одно и то же знаЧение и, следовательно, может слу­

жить характеристикой поля. Эта величина играет важную

роль в физике и электротехнике; она получила название

разности электрических потенциалов или электрического

напряжения *) между точками 1 и 2. Таким образом,

разность rютенциаЛО6 (или электрическое напряжение)

.между точками 1 и 2 есть отношение работы, которую

совершают электрические силы при переJltещенuи заряда из точки 1 в mOILКY 2, к этому заряду.

Если обо~начить через U12 электрическую разность по­

тенциалов между точками 1 и 2, то работа, совершаемая

электрическими силами при переходе заряда q из точки 1 в точку 2, выразится формулой

A=qU12 •

(21.1)

И работа А, и заряд q в формуле (21.1) могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому раз­

ность	потенциалов иlZ	является	алгебраической величи-
"')	Следует ОСТfрсгаться	смешения	понптий напряженности по­

ЛЯ, т. е. СИЛЫ, действующей на единичный заряд, и напряжения между данными точками, равиого работе при перемещении единичного заряда

между ЭТИМИ точками.

52

ной. Она положительна, если силы поля совершают над

положительным зарядом при переходе его из точки 1 в

точку 2 положительную работу (или над отрицательным зарядом - отрицательную работу). Разность потенциа­

лов и12 отрицательна, если при переходе положительного

заряда из точки 1 в точку 2 силы поля совершают над ним

отрицательную работу (или над отрицательным зарядом -

положительную работу).

Из формулы (21.1) следует, что модуль и знак разности

потенциалов и12 совпадают с модулем и знаком работы,

совершаемой силами поля над единичным положительным

зарядом при перемещении его из точки 1 в точку 2. Оче­

видно, что

U 12 =-U21 •

(21.2)

В СИ единица разности потенциалов получила название

вольт (В). Согласно (21.1), один вольт есть такая разность nотеНЦUдлов (или такое напряжение) между двумя точками, при которой nеремещение между этими точками положи­ тельного заряда, равного одному кулону, сопровождается совершением над ним силами электрического поля работы, равной одному джоулю:

·1 В = 1 Дж/1 Кл.

Из определения разности потенциалов следует (рис. 39)

U12=UIЗ+UЗ2' UIЗ=U12-UЗ2=U12+Ui2з. (21.3)

Применяя эти соотношения, нужно внимательно следить

за знаками. Если, например, U1з =+ 10 В, а Uз2=-15 В,

то Ui2=-5B. Если Ui2=+5 В, а U2з=+7 В, то U1з=

= 12 В и т. П.

ИЗ сказанного выше ясно, что физический смысл имеет только разность потенциалов (или напряжение) между двумя какими-либо точками в электрическом поле, так как

работа по переносу заряда в поле определена только тогда, когда заданы и начало и конец этого пути переноса. Поэто­

МУ, когда мы говорим об электрическом напряжении, то

всегда имеем в виду две точки, между которыми существу­

ет это напряжение. Когда по некоторой небрежности речи

говорят о напряжении или потенциале в одной какой-либо

точке, тЬ всегда подразумевают разность потенциалов

J.tежду этой точкой и какой-то другой, выбранной заранее.

Иногда условно приписывают какой-либо точке поля, от которой отсчитывают разности потенциалов для всех

других точек, потенциал, равный нулю, а каждой другой

53