Модуль 1 Линейная алгебра

		1	0	1		II ( 2) I 2						1	0	1		2	2
2		2	2	0								0	2	2	2
		0	2		2							0	2	2		2	2
4		1	1		II 2 I 4			1	1			4 4		16 .
		2	2					0	4

Легко видеть, что для вычисления определителя 4-го порядка выполнили 8 умножений, 3 деления, 12 сложений. Заметим, что для вычисления определителя 4-го порядка по определению (2.1) потребовалось бы выполнить n!·(n–1)=4!·3=72 умножений и 23 сложений.

Контрольные вопросы и задачи

1. Перестановка (2,1,3,5,4) является четной или нечетной? Аргументируйте ответ.

2. Справедливо ли равенство det(A B) det A det B ? Аргументируйте

ответ.

3. Где нужно разместить нули в матрице размера 3 3, чтобы при минимальном их числе гарантировать равенство нулю ее определителя?

4. Решите уравнения: а)											x 1			3; б)					y 1				x		0 .
								3
								2x 1				x						x 4				y 3
5. Вычислите						определители:				а) с помощью «правила															треугольников»,
б) с использованием свойств определителя:
		1	3				1 4 0								1 1 1											2	3 1
	2
1)	1	4	3	.		2)	1	2 1			.			3)	3 1 2					.					4)	2	2 3				.
	5	3	2				1 3 0								6 1 3											2	4 3
		0	0				1 4 16								1 1 5											0	4 1
	1
5)	3	4	2	.		6)	1 5 25		.						0 3 4							.			8)	1	2 0		.
	4	0	0				1 9 81								2 1 3											2	0 3
6. Вычислите определители разложением по какой-нибудь строке или
столбцу:
	1	1	cos				a	b c		1							2		3			4				0	4	1	0
															1
															1		0		0			4				2	5	4	1
1)	1	0	cos		.	2)	b	a c		1		.		3)									.		4)							.
															3	0			0		7					5 3		2	4
	0	1	cos				c	a b		1
															4		8		2			5				0	8	7	0

31

7. Вычислите определители n-го порядка:

		1	1	1				n 1 1			1
	1
	2	0	2	2				1	n	1	1
1)	3	3	0	3		.	2)	1	1 n		1
	n	n	n	0				1	1	1	n

		1 1		1	1				1	1 1		1	1
	1
	1	1	1	1	1				1	1 1		1	1
3)	1	1 2		1	1		.	4)	1	2 1		1	1	.
	1	1	2	3	1
									1	2	3	1	1
	1	1	2	3	n 1				1	2	3	n 1	1

3.ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

3.1.Определение и свойства обратной матрицы

Определение 3.1. Квадратная матрица A называется невырожденной, если det A 0 . Квадратная матрица A называется вырожденной, если det A 0.

Определение 3.2. Пусть A aij – квадратная матрица n-го порядка, Aij – алгебраические дополнения элементов aij матрицы A . Матрицей, присоединенной к матрице A , называется матрица

	A	A	A
	11	21	n1
A A12		A22	An2	.	(3.1)
	A1n	A2n	Ann
Определение 3.3. Пусть A – квадратная матрица. Обратной к матрице A
называется матрица B , удовлетворяющая равенствам
AB E , BA E ,					(3.2)

где E – единичная матрица.

Замечание. По определению произведения матриц оба произведения AB и BA из (3.2) определены только тогда, когда B – квадратная матрица того же порядка, что и A ; при этом E – единичная матрица того же порядка.

Для неквадратных матриц понятие обратной матрицы не рассматривается.

32

Теорема 3.1. 1) Для вырожденной матрицы обратная к ней не существует. Для невырожденной матрицы A существует единственная обратная матрица, которая обозначается A 1 . 2) Любая матрица B , удовлетворяющая одному из равенств (3.2), удовлетворяет также второму равенству и совпадает с матрицей A 1 .

Доказательство. 1) Пусть B – матрица, обратная к A . По свойству 11 определителей из (3.2) следует det A det B det E 1. Это равенство невозможно при det A 0 и, следовательно, для вырожденной матрицы обратная к ней не существует. Пусть матрица A – невырожденная, det A 0 . Рассмотрим мат-

рицу B 1 A , где A – присоединенная матрица (3.1). Каждый столбец мат-
0
рицы A составлен из алгебраических дополнений элементов строки матрицы A
с тем же номером. По свойствам определителей 9 и 10 произведение строки
матрицы A на столбец матрицы A равно при совпадении их номеров и нулю
в противном случае, т.е. AA E . Отсюда AB0 A 1 A 1 A A E .

Аналогично доказывается равенство B0 A E . Таким образом, B0 удовлетворяет (3.2) и, следовательно, является обратной к A . С другой стороны, для любой матрицы B , удовлетворяющей (3.2), имеем B EB B0 A B B0 ABB0 E B0 , что доказывает единственность матрицы, обратной к данной невырожденной матрице A .

2) Если выполнено хотя бы одно из равенств (3.2), то det A det B 1 и det A 0 , т.е. матрица A – невырожденная. Поэтому вторая часть утверждения теоремы является следствием первой.

Теорема 3.2. Справедливы следующие свойства обратной матрицы: 1) Ес-

ли A 1	– обратная к матрице A , то det A 1 det A 1 ; 2) Если A, B – невырож-
денные матрицы, то матрица		AB невырожденна и ( AB) 1 B 1 A 1 ; 3) Если
A 1 – обратная к матрице A , то A 1 1 A ;			4) Если A 1 – обратная к матри-
це A , то AT 1 A 1 T .
Доказательство. 1) Пусть		A 1 – обратная к матрице		A . Тогда	AA 1 E ,
откуда det Adet A 1 det E 1. Так как det A 0 , то det A 1 det A 1 .
2)	A, B – невырожденные матрицы,		т.е. det A 0 , det B 0 . Тогда
det AB det Adet B 0 , т.е.		AB имеет	обратную	матрицу	AB 1 .
B 1 A 1 (AB) B 1 A 1 A B B 1B E . Откуда имеем B 1 A 1				AB 1 .

33

3)	Пусть A 1 – обратная к матрице A . A 1 1 – единственная матрица, та-
кая, что		A 1 1 A 1 A 1 A 1 1		E . Этим свойством обладает матрица А, т.е.
A 1 1	A .
4)		Пусть A 1	– обратная	к матрице A . Тогда	AA 1 E . Поскольку
AA 1 T		A 1 T AT	и ET E , то A 1 T AT E . Откуда		A 1 T AT 1 .

3.2. Методы нахождения обратной матрицы 3.2.1. Метод присоединенной матрицы

Пусть дана квадратная матрица A порядка n, причем det A 0 . Тогда существует обратная матрица A 1 . Требуется найти A 1 .

Метод присоединенной матрицы состоит в нахождении обратной матрицы для невырожденной матрицы A по формуле

A 1	1		A.						(3.3)
	det A
Алгоритм метода присоединенной матрицы:
1). Найти алгебраические дополнения Aij		ко всем элементам aij				матрицы A .
2). Записать присоединенную матрицу A (3.1).
3). Найти матрицу A 1 , обратную к матрице A , по формуле (3.3).
4). Сделать проверку одного из равенств: AA 1 E ,				A 1 A E (любого).
Пример 3.1. Найдите матрицу, обратную к матрице						2	3		, методом
					A	1	5

присоединенной матрицы.

Решение. Найдем det A	2	3	13. Так как	det A 0 , то матрица
	1	5

ществует. Найдем A 1 методом присоединенной матрицы.

1). Сначала найдем алгебраические дополнения ко всем элементам

цы A : A11 5 , A12 1, A21 3 , A22 2 .
	A	A			5	3
2). Запишем матрицу A	11	21					.
	A12	A22			1	2

3). Найдем матрицу A 1 , обратную к матрице A , по формуле (3.3):

A 1 су-

матри-

	A 1	1			1			5	3
			A							.
		det A		13				1	2
			34

4). Сделаем проверку равенства A 1 A E , а именно,

	A 1 A		1		5		3		2 3				1		13		0
																			E .
		13				1	2		1 5			13				0	13

Замечание. Для нахождения всех элементов обратной матрицы A 1 по формуле (3.3) потребуется вычислить n2 определителей (n–1)-го порядка и один определитель n-го порядка. Поскольку для вычисления определителя n-го порядка по свойствам 8, 9 требуется n(n2–1)/3+(n–1) умножений и делений, то для нахождения всех элементов обратной матрицы надо проделать n2(n(n-1)(n–2)/3+(n–2))+n(n2–1)/3+(n–1)≈ n5/3 умножений и делений. Присоеди-

ненные матрицы полезны для аналитического представления обратной матрицы. На практике для вычисления обратной матрицы используется метод элементарных преобразований (метод Гаусса), позволяющий вычислять матрицу A 1 примерно за 2n3 операций.

3.2.2. Метод элементарных преобразований

Пусть задана невырожденная квадратная матрица A aij порядка n. По-

скольку det A 0 , для матрицы A существует обратная матрица A 1 .

Метод элементарных преобразований состоит в нахождении обратной матрицы A 1 как решения матричного уравнения AX E .

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом элементарных преобразований:

1) Запишем прямоугольную матрицу размера n 2n , в первых n столбцах которой стоит матрица A , в следующих n столбцах – единичная матрица Е порядка n:

a		a	a		0	0
				1
	11	12	1n
A | E a21		a22	a2n	0	1	0	.
		an2	ann	0	0	1
an1

2) С помощью элементарных преобразований над строками данную матрицу приведем к виду: A | E ~ E | B , т.е. после преобразований матрицы

A | E в первых n столбцах должна получиться единичная матрица Е. Тогда матрица, полученная в следующих n столбцах, равна искомой B A 1 .

Обоснование алгоритма.

1) Пусть C – матрица с n строками, eij – квадратная матрица порядка n, в

которой элемент на пересечении i-ой строки и j-го столбца равен 1, а все остальные элементы равны 0. Из определения операции умножения матриц следует, что в матрице eijС все строки, кроме i-ый, будут нулевыми, а i-ая

строка равна j-ой строке матрицы C , i, j 1, n . Например, при n=3 имеем

35

	0		0	0 a1			a2		0 0
e С		0	0	1		b b			c c				,
23						1	2			1	2
		0	0	0			c2			0 0
						c1
	1		0	0 a1			a2		a1		a2
e С		0	0	0	b b					0 0		.
11					1		2
		0	0	0			c2			0 0
					c1

Используя это свойство, легко показать, что результатом элементарных преобразований матрицы C «умножение i-ой строки на число t 0 », «переста-

новка i-ой и j-ой строк», «прибавление j-ой строки к i-ой»			будут матрицы
En eii teii С ,	En eii ejj eij eji С ,	En eij С , соответственно. (Все
множители слева от C – невырожденные матрицы).
2) Результатом последовательного выполнения s элементарных преобра-
зований строк матрицы C будет матрица TC , где T TsTs 1 T1			и Tk – матрица,

соответствующая k-му преобразованию, 1 k s . (Матрица Т невырожденна в силу невырожденности множителей Tk , 1 k s , и поэтому T 1 существует).

3) В рассматриваемом алгоритме последовательность элементарных преобразований строк матрицы A | E выбирается так, чтобы выполнялось равен-

ство TA E , и при этом получается равенство B TE . Но из равенства TA E следует T A 1 и B T A 1 .

	Пример 3.2.				Найдите							методом элементарных преобразований матрицу,
										1			2	3
										2			6	4
обратную к матрице A															.
										3			10	8
	Решение.
	1 2 3						1 0					0					1 2 3						1 0 0
																					2		2
A | E		2 6 4					0 1					0	II 2 I ~					0 2						1 0		~
		3	10		8		0	0				1	III 3 I					0 4			1		3	0 1	III 2 II
1 2		3		1 0 0											1 2 3					1		0		0
		2		2														2			2					III ~
~	0 2				1			0						~		0 2						1		0	II 2
	0 0	3		1 2				1				1				0 0 1				1/ 3		2 / 3 1/ 3
													III
												3

36

1 2			3		0	0					1 2			3		1	0	0 I 2 II
				1
								1
~	0	2	0	4 / 3	1/ 3	2 / 3				II	~	0	1	0		2 / 3	1/ 6	1/ 3		~
	0	0	1	1/ 3	2 / 3	1/ 3		2				0	0	1		1/ 3	2 / 3	1/ 3

1 0

2 / 3 I 3 III

1 0

5/ 3

3

7 / 3

1/ 3

0

4 / 3

7 / 3

2 / 3

1/ 6

2 / 3

1/ 6

~

0 1

0

1/ 3

~

0 1 0

1/ 3

.

0 0 1

1/ 3

2 / 3

1/ 3

0 0 1

1/ 3

2 / 3

1/ 3

4 / 3

7 / 3 5 / 3

Откуда имеем:

A

1

2 / 3

1/ 6

1/ 3

.

1/ 3

2 / 3

1/ 3

1

2 3 4 / 3

7 / 3 5 / 3

1

0 0

1

2

6 4

2 / 3

1/ 6

1/ 3

0

1 0

Проверка: AA

.

3

10 8

1/ 3

2 / 3

1/ 3

0

0 1

3.3. Применение обратной матрицы

для решения матричных уравнений

Рассмотрим матричное уравнение

AX B ,

(3.4)

где A и B – заданные матрицы,

X – неизвестная матрица, причем

A – невы-

рожденная квадратная матрица порядка m. По определению умножения матриц из (3.4) следует, что B имеет m строк, и если размер B равен m n , то размер

X равен также m n .
Умножая обе части (3.4) слева на A 1 , получим	A 1( AX ) A 1B или
X A 1B . При этом матрица X A 1B действительно является решением (3.4),
так как A A 1B AA 1 B EB B . Таким образом,
X A 1B	(3.5)

– единственное решение матричного уравнения (3.4).

Аналогично доказывается, что единственным решением матричного уравнения

XA B	(3.6)
будет
X BA 1 ,	(3.7)
а единственным решением матричного уравнения
AXC B	(3.8)
37

будет
X A 1BC 1 .							(3.9)
В (3.6) и (3.8) предполагается, что A и С – невырожденные квадратные
матрицы, а размеры A и В в (3.6) и A , С, В в (3.8) согласованы.
Пример 3.3. Решите матричное уравнение:		2	3		1	2
		1			X	3	.
			5		1

Решение. Уравнение имеет вид	AX B , где		2	3		1	2
		A	1			, B	3	.
				5		1

	Так как det A	2	3	13 0 ,			то данное уравнение имеет единственное
		1	5
	решение X A 1B . Матрица A 1					1				5	3
													была найдена в примере 3.1.
					13					1	2

Теперь найдем решение искомого матричного уравнения:

	X A 1B		1		5		3 1		2				1		2		19
																		.
		13				1	2		3			13				3	4
								1

Контрольные вопросы и задачи

1.Может ли матрица размера 3 5 иметь обратную матрицу? Аргументируйте ответ.

2.Является ли матрица, обратная к треугольной матрице, треугольной? Аргументируйте ответ.

3.Докажите, что матрица, обратная к диагональной матрице, является диагональной.

4.Докажите, что матрица, обратная к симметричной матрице, является симметричной.

5.Найдите матрицу, обратную к матрице A , а) методом присоединенной матрицы, б) методом элементарных преобразований:

	5			1 5				1		4	0			1 0 0
а)	A	3		3 2		.	б)	A	1	2	1 .		в)	A		0 1 0		.
		1		2 1					1	3	0					0 0 0
	1 2 3							1		2 3				3			1 0
			1 3 2						2	6 4					2		1 1
г) A					.		д) A					.	е) A					.
			3 1 2						4	14 6					1		0 1

38

6. Решите матричные уравнения:

	1 1					2			0								1 1					2			0
1)		0		X			1 3			.					2)	X		0					1 3			.
			1																	1
	1		2				2 3										1			2		0 0
3)		2	3		X					4	.				4)	X		3							.
							1													4		0 0
	1 1					1 2					2		3			1 1					2
5)				X		1			1			1	5	.	6)				X				.
	1		3													1 1					3
	1		0 0				0 0				1					1		2		3					7
7)		0	2 0		X			0 2			0	.			8)		2 3			1		X			0	.
		0	0 3					3 0			0						0	2		1					3
	1		2		1					1		0					1			2		3			3
9)		3	2		2		X			2		2	.		10)	X		2		3		1			1	.
		3	1		2					3		1						0		2		1			5

4.РАНГ МАТРИЦЫ

4.1.Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов)

Определение 4.1. Линейной комбинацией строк u1,u2 , ,um одинаковой

длины называется строка 1u1 2u2	mum , где i	– числа, i	1, m	.
Определение 4.2. Совокупность m строк u1,u2 ,		,um одинаковой длины

называется линейно зависимой, если существуют коэффициенты 1, 2 ,..., m , не равные нулю одновременно, такие, что 1u1 2u2 mum 0 , где 0 – стро-

ка, все элементы которой равны нулю (нулевая строка).

Совокупность строк называется линейно независимой, если она не является линейно зависимой.

Из определения 4.2 следует, что для линейно независимой совокупности

строк u1,u2 , ,um равенство 1u1 2u2						mum 0 возможно только в слу-
чае, когда 1 2	... m 0.
Пример 4.1.	1). Строки u1 1			1	3 , u2		1	1 4 , u3		1	5 17	ли-
нейно зависимы,	так как 3u1 2u2 u3				0 . 2). Строки u1				2	1 ,	u2 1	1
линейно независимы, так как из				равенства			1u1	2u2	0 следует система
2 1 2		0	, откуда имеем		1 2		0 .
уравнений
1 2		0
				39

Утверждение 4.1. Совокупность из m>1 строк u1, ,um линейно зависимa

тогда и только тогда, когда хотя бы одна из строк есть линейная комбинация остальных.

Доказательство. Необходимость. Пусть совокупность u1, ,um линейно зависимa и i 0 – один из не равных нулю коэффициентов в равенстве1u1 mum 0 . Тогда, очевидно,

u

i

1 u

i 1 u

i 1

i 1 u

i 1

m u

m

.

1

i

i

i

i

Достаточность. Из равенства

ui 1u1

i 1ui 1 i 1ui 1

mum ,

выражающего ui в виде линейной комбинации остальных строк, следует равен-

ство 1u1		i 1ui 1 ( 1)ui	i 1ui 1		mum	0 . Отсюда вытекает линей-
ная зависимость совокупности u1,				,um , так как		в линейной комбинации в ле-
вой части есть коэффициент 1 0 .
Утверждение 4.2. Если в совокупность строк входит нулевая строка, то
данная совокупность линейно зависима.
Доказательство. Пусть			дана	совокупность			строк u1,u2 ,	,um . Пусть
u1 0 .	Тогда	1 u1 0 u2	0 um u1		0. Это		значит, что	совокупность
u1,u2 ,	,um линейно зависимa.

Утверждение 4.3. Если совокупность строк линейно зависима, то любое ее расширение (т.е. совокупность, содержащая данную) также линейно зави-

симо.
	Доказательство.	Пусть u1,	,uk	– линейно зависимaя совокупность,
u1,	,uk ,uk 1, ,um –	ее расширение.		По условию 1u1		kuk 0 , где
1,	, k не равны нулю одновременно.			Зависимость расширенной совокупно-
сти следует из равенства: 1u1			kuk	0 uk 1	0 um 0 .

Утверждение 4.4. Если совокупность строк линейно независима, то и всякая ее часть линейно независима.

Доказательство (от противного). Исходная совокупность является расширением любой своей части. Если бы какая-нибудь часть была линейно зависимой, то по утверждению 4.3 исходная совокупность была бы тоже линейно зависимой, что противоречит условию данного предложения.

Замечание. Все определения и утверждения, касающиеся строк, справедливы и для столбцов.

40