Модуль 1 Линейная алгебра

общему решению C1Y1 C2Y2 , где		«новая» ФСР Y1,Y2 состоит из решений
Y 1;1; 0; 0,2 T	, Y 0; 5;1;1,6 T	(проверьте!).
1	2
Правильность всех вычислений подтверждается тем, что любой из столб-
цов X1, X2 ,Y1,Y2	обращает в тождества все уравнения исходной системы (про-
верьте непосредственной подстановкой). Кроме того, в парах X1, X 2 и Y1,Y2

любое решение одной из пар равно линейной комбинации решений другой, как и должно быть для любых двух ФСР. Проверьте, что в данном примере

X1 8Y1 Y2 , X2 5Y1 , Y1 0,2X2 , Y2 X1 1,6X2 .

Контрольные вопросы и задачи

1.Может ли в системе линейных уравнений ранг основной матрицы больше ранга расширенной матрицы?

2.Могут ли быть эквивалентными две системы линейных уравнений с одинаковым числом переменных, но с разным числом уравнений?

3.Выпишите СЛУ с основной матрицей 3-го порядка, которая имеет бесконечно много решений, имеет одно решение, не имеет решений.

4.Можно ли добавлением одного уравнения в СЛУ привести совместную систему в несовместную; несовместную систему в совместную?

5.Обязательно ли будет совместной СЛУ, полученная из несовместной СЛУ удалением какого-нибудь одного уравнения?

6.Может ли СЛУ иметь одно решение, два решения, пять решений?

7.Верно ли, что сумма двух любых решений неоднородной СЛУ является

еерешением? Аргументируйте ответ.

8.Может ли ФСР состоять из решений, количество которых больше, меньше, равно числу переменных?

9.Решите систему линейных уравнений: а) матричным способом; б) с помощью формул Крамера:

1.	x1 3x2 0				2.	x1 x2 5			3.	x y 1
	x1 4x2 0.					2x1 x2 1.				2x 3y 7.
	x1 2x2 3x3 8					2x1 x2 3x3 1				x y 3z 1
4.	4x 5x 6x 19				5.	3x 2x x 8			6.	x 2 y z 2
		1	2	3			1	2 3
			8x2	1.				3x2 x3 3.
	7x1					2x1				3x y z 0.

10. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса, в случае бесконечного числа решений запишите общее решение и укажите какое-нибудь частное решение системы и одну из ФСР соответствующего однородного СЛУ:

1. x1 3x2 1	2. x1 2x2 4x3 1
x1 4x2 2.	2x1 4x2 8x3 1.
	71

3. x1 3x2 42x1 6x2 1.

x 2 y 3z 2 5. 2x 3y 2z 1.

x1 2x2 3x3 1 7. 2x1 x2 3x3 0x1 x2 4x3 5.

x1 x2 3x3 1 9. x1 5x2 x3 1

3x1 2x2 x3 0.

2x1 2x2 x3 1 11. 6x1 3x2 3x3 0

4x1 2x2 2x3 1.3x y 2z 0

13.x 3y z 1x 3y 1.

2

15.4x1 8x2 10x3 11x4 1

3x1 6x2 4x3 2x4 2.2x1 4x2 5x3 3x4

	x 3y 5t 1
		3y 3z 4t 1
	x
17.		y z 2t 2
	x
	3x 2 y 3z 0.
	x		8x	5x 1
	1		2	3
19.	x1 3x2 2x3 0
	2x1 x2			x3 2
	x		2x	x 5.
	1		2	3

4. x1 2x2 3x3 12x1 4x2 7x3 0.

6. x1 2x3 3x4 42x1 5x3 x4 3.

x1 x2 5x3 2 8. 2x1 x2 x3 1

4x1 2x2 2x3 1.x 2 y 2z 1

10. 5x 3y 8z 02x 3y z 3.

3x 4 y z 1 12. 6x 8 y 2z 0

9x 12 y 3z 2.

3x 5x x 4

14.4x1 7x2 x3 52x1 x2 3x3 9.

2x 4 y z 3t 0

16.4x 8y 7z t 13x 6 y z 2t 1.

x1 4x2 x3 10x4 0

2x x 2x x 2

18.1 2 3 4

x1 x2 2x3 3x4 3x1 2x2 x4 5.1 2 3

	2x1 x2 3x3 5x4 1
		x1	x2 5x3		1
20.
			2x2 2x3		5x4 3
	3x1
	7x 5x 9x 10x 8.
		1	2	3	4

11. Найдите общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений:

1. x1 3x2 0	2. x 2 y 3z 0
x1 4x2 0.	2x 3y 2z 0.
	72

3. x1 2x2 4x3 02x1 4x2 8x3 0.

5. x1 2x2 3x3 02x1 4x2 7x3 0.

x 2 y 2z 0 7. 5x 3y 8z 02x 3y z 0.

x1 x2 3x3 0 9. x1 5x2 x3 0

3x1 2x2 x3 0.

2x1 2x2 x3 0 11. 6x1 3x2 3x3 0

4x1 2x2 2x3 0.3x 4 y z 2t 0

13.6x 8 y 2z 5t 0

9x 12 y 3z 10t 0.

	3x y 2z 0
	4x 3y 3z 0
15.
	x 3y 0
	5x 3z 0.
	x 3y 5t 0
	3x 2 y 3z 0
17.
	x 3y 3z 4t	0

x y z 2t 0.

x1 8x2 5x3 0

19.x1 3x2 2x3 02x1 x2 x3 0x1 2x2 x3 0.

4.x1 3x2 02x1 6x2 0.

6.x1 2x3 3x4 02x1 5x3 x4 0.

x1 x2 5x3 0

8.2x1 x2 x3 04x1 2x2 2x3 0.

x1 2x2 3x3 0

10.2x1 x2 3x3 0x1 x2 4x3 0.

0

12.4x1 8x2 17x3 11x4 0

3x1 6x2 4x3 2x4 0.

x1 2x2 x3 x4 3x5 0

14.2x1 4x2 3x3 2x4 6x5 03x1 6x2 4x3 3x4 0.

x1 x2 3x3 2x4 3x5 0

16.2x1 2x2 4x3 x4 3x5 03x1 3x2 5x3 2x4 0

2x1 2x2 8x3 3x5 0.2x1 4x2 5x3 3x4

x1 2x2 3x3 0

18.x1 x2 3x3 0x1 x2 4x3 0.

3x1 2x2 2x3 x4 0

20.9x1 3x2 5x3 2x4 03x1 x2 x3 4x4 09x1 4x3 7x4 0.

73