Глава 6. Поступательное и вращательное движения твердого тела

6.1. Поступательное движение твердого тела

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любой отрезок прямой, связанный с этим телом, во все время движения остается параллельным самому себе (рис. 2.14). По аналогии с предыдущим найдем:

Так как по определению,

,

то .

Переходя к пределу, получим:

Очевидно, ,, то есть

, .

(2.20)

Таким образом при поступательном движении тела все точки его движутся по одинаковым траекториям и в один и тот же момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения. Следовательно для поступательного движения твердого тела могут быть использованы все результаты, полученные при изучении движения точки.

6.2. Вращательное движение твердого тела

Вращательным называюттакое движение твердого тела, при котором две какие-нибудь его точки во все время движения остаются неподвижными.

AB– ось вращения, 1 – неподвижная плоскость, 2 – подвижная плоскость, жестко связанная с телом (рис. 2.15).

Для задания вращательного движения, надо задать угол поворота тела как некоторую функцию времени (всегда в радианах).

Основными характеристиками вращательного движения являются угловая скорость и угловое ускорение. Угол поворота меняется с течением времени.

Отношение приращения угла поворота к приращению времени называется средней угловой скоростью.

Истинное значение угловой скорости найдется как предел

или

(2.21)

Таким образом значение угловой скорости в заданный момент времени определяется алгебраической производной от угла поворота по времени.

Для характеристики изменения угловой скорости с течением времени вводится понятие углового ускорения:

(2.22)

Среднее угловое ускорение определяется отношением приращения угловой скорости к соответствующему промежутку времени.

Для определения истинного значения углового ускорения необходимо вычислить предел отношения (2.22).

или .

(2.23)

Угловая скорость и угловое ускорение являются основными характеристиками любой машины. При пускеиувеличивается; в рабочем режиме,; после выключения двигателя, угловая скорость падает до нуля (рис. 2.16).

6.6. Определение линейных скоростей и ускорений точек вращающегося тела

Для определения скорости и ускорения какой-нибудь точки Mвращающегося с угловой скоростьюи угловым ускорениемтела воспользуемся естественным способом задания движения. Так как все точки тела движутся по окружностям (рис. 2.17), то закон движения точкиMможно записать в виде

(2.24)

Получив закон движения точкиM, найдем ее скорость:

или

(2.25)

Таким образом, для определения скорости точки тела необходимо умножить угловую скорость тела на радиус, то есть расстояние точки до оси вращения. Пользуясь уравнениями (2.16)-(2.18), найдем касательное, нормальное и полное ускорения точки M:

или	(2.26)
или	(2.27)
	(2.28)

Из анализа уравнений (2.25)-(2.28) следует, что скорость и ускорение любой точки вращающегося тела пропорциональны расстоянию этой точки до оси вращения.

Пример 2.8.Для передачи вращения от электродвигателя к смесителю используется плоскоременная передача, при этом на валу двигателя установлен шкив 1 радиусаR₁= 0,2 м, а на валу смесителя шкив 2 радиусаR₂= 0,4 м (рис. 2.18).

Определить угловую скорость и угловое ускорениевала смесителя приt = 2 с, если известно, что вал двигателя вращается в соответствии с закономрад.

Решение.Очевидно, линейные скорости точекAиBшкивов равны (скольжением ремня и его растяжением пренебрегаем). Но, а. Тогда

При указанных допущениях касательные ускорения точек AиBтакже равны, но

, и тогда

Следует заметить, что нормальные ускорения точек AиBне равны. (почему?).