1. Математическое описание дискретных устройств

1.1. Системы счисления

Каждое число состоит из цифр. Способ записи чисел цифровыми знаками называется системой счисления. В настоящее время используются только позиционные системы счисления, в которых значение каждой входящей в число цифры зависит от её положения в записи числа. Количество различных цифр, применяемых в позиционной системе, называютоснованиемсистемы. В зависимости от основания системы счисления могут быть десятичными – с основанием 10, двоичными – с основанием 2 и др. Коды натурального ряда чисел в различных системах счисления представлены в таблице 1.1.

Таблица 1.1

Коды чисел

Десятичный	Двоичный	Восьмеричный	Двоично-десятичный	Шестнадцати-ричный
0	0	0	0000	0
1	1	1	0001	1
2	10	2	0010	2
3	11	3	0011	3
4	100	4	0100	4
5	101	5	0101	5
6	110	6	0110	6
7	111	7	0111	7
8	1000	10	1000	8
9	1001	11	1001	9
10	1010	12	0001 0000	A
11	1011	13	0001 0001	B
12	1100	14	0001 0010	C
13	1101	15	0001 0011	D
14	1110	16	0001 0100	E
15	1111	17	0001 0101	F
16	10000	20	0001 0110	10
17	10001	21	0001 0111	11
18	10010	22	0001 1000	12
19	10011	23	0001 1001	13
20	10100	24	0010 0000	14
21	10101	25	0010 0001	15
22	10110	26	0010 0010	16
23	10111	27	0010 0011	17
24	11000	30	0010 0100	18
25	11001	31	0010 0101	19
26	11010	32	0010 0110	1A
27	11011	33	0010 0111	1B
28	11100	34	0010 1000	1C
29	11101	35	0010 1001	1D
30	11110	36	0011 0000	1E
31	11111	37	0011 0001	1F
32	100000	40	0011 0010	20

Восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления применяют при программировании для более удобной и короткой записи двоичных кодов команд. Для перевода чисел из этих систем счисления в двоичную систему не требуется специальных операций. Так как 8 = 2³, а 16 = 2⁴, то один разряд числа, записанного в восьмеричной системе счисления, преобразуется в три разряда, а один разряд числа, записанного в шестнадцатеричной системе счисления, преобразуется в четыре разряда числа двоичной системы счисления и наоборот.

Двоично-десятичную систему строят по принципу шестнадцатиричной, то есть один разряд числа, записанного в десятичной системе, преобразуется в четыре разряда числа двоичной системы счисления и наоборот. При этом используется неполный набор четырёхразрядного двоичного кода, поскольку 10 < 2⁴. Такая система применяется для построения схем дискретных устройств по принципу разрядных декад, с выходов которых сигналы можно сразу подавать на устройства индикации.