§3. Умножение вероятностей независимых событий.

Введение (о независимых событиях)

Событие В н е з а в и с и т от события А , если , т.е. вероятность события В не зависит от того, произошло ли событие А.В этом случае и событие А не зависит от события В, т.е. - свойство независимости событий является взаимным.

	Условие	А	В	Р(В)		Вывод о зависимости А и В
1	В ящике 5 деталей, среди которых 3 стандартные и 2 бракованные. Поочередно извлекают по одной детали, не возвращая их назад. Какова вероятность извлечения во второй раз стандартной детали?	Извлечена стандартная деталь в 1 раз	Извлечена стандартная деталь во 2 раз			Зависимы
2	В ящике 5 деталей, среди которых 3 стандартные и 2 бракованные. Поочередно извлекают по одной детали, возвращая их назад. Какова вероятность извлечения во второй раз стандартной детали?	Извлечена стандартная деталь в 1 раз	Извлечена стандартная деталь во 2 раз			Независимы

Свойство независимости событий взаимно, т.е. если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В.

Несколько событий А, В,……К называются независимыми в совокупности, если независимы любые два из них и независимы любое из данных событий и любые комбинации (произведения) остальных событий.

Например, три события А, В, С независимы в совокупности, если независимы события А и В, А и С, В и С, А и ВС, В и АС, С и АВ.

Вероятность произведения двух или нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: Р(А·В) = Р(А)·Р(В)

	Условие	А	Р(А)	В	Р(В)	Р(АВ)
1	Подбрасываются 2 монеты. Какова вероятность того, что появятся 2 цифры?	Цифра на 1 монете		Цифра на 2 монете
2	Два стрелка попадают в мишень соответственно с вероятностью 0,8 и 0,7. Какова вероятность того, что при одном выстреле оба попадут в мишень?
3	В каждом из двух ящиков находится по 30 деталей. В первом ящике 27 стандартных, а во втором – 28. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Какова вероятность того, что обе детали окажутся стандартными?

§4. Теоремы о вероятности совместных событий.

Вероятность суммы двух совместных событий ( т.е. вероятность появления хотя бы одного) равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:

Р(А+В )= Р(А)+Р(В) – Р(АВ)

	Условие	А	Р(А)	В	Р(В)	А·В	Р(АВ)	Р(А+В)
1	Два стрелка попадают в мишень соответственно с вероятностью 0,85 и 0,8. Стрелки независимо сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что хотя бы один попадет в мишень?	Первый попал		Второй попал		Оба попали
2	Наудачу взято двузначное число. Какова вероятность того, что это число окажется кратным 2 или 7 или тому и другому одновременно?
3	На 30 жетонах написаны 30 двузначных чисел от 1 до 30. Наудачу взят жетон. Какова вероятность того, что это число окажется кратным 2 или 3?
4	Найти вероятность того, что при подбрасывании игрального кубика на верхней грани окажется четное или кратное трем число очков.

Вероятность суммы нескольких совместных событий равна разности между единицей и вероятностью произведения противоположных событий:

Р(А+В+….+К) =1 - Р(·· …..·)

	Условие	А		В		С		Р(А+В+С)
1	Вероятность попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: 0,75; 0,8; 0,85. Какова вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех орудий?	Попадание 1 орудия		Попадание 2 орудия		Попадание 3 орудия
2	На 100 лотерейных билета приходится 5 выигрышных. Какова вероятность выигрыша хотя бы по одному из 3 купленных билетов?
3	Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9; третий- 0,8. Какова вероятность того, что студент сдаст хотя бы один экзамен?

	Условие		…		Р()	…	Р()	n
1	Сколько раз нужно подбросить два игральных кубика, чтобы вероятность выпадения хотя бы один раз двух шестерок была бы больше 1/2?	Выпадение 6 при 1 подбрасывании		Выпадение 6 при i подбрасывании				25
2	Вероятность попадания в десятку при одном выстреле стрелка равна 0,6. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,8 он попал в десятку хотя бы один раз?							2