- •Белгородский государственный национальный исследовательский университет
- •1 Анализ существующих методов рассчета переходных процессов в электрических цепях
- •1.1 Описание классического метода расчета параметров переходных процессов в электрических цепях
- •2 Рассчет параметров переходных процессов в электрических цепях с двумя реактивными элементами
- •2.1 Определение основных параметров электрической цепи в начале переходного режима и в принужденном режиме
- •2.2 Определение характеристик переходных процессов классическим методом
- •Для определения корней характеристического уравнения ибыла составлена эквивалентная операторная схема цепи (рисунок 6).
- •Далее было найдено операторное входное сопротивление и приравнено к нулю ().Операторное сопротивление индуктивности , тогда:
- •2.3 Графики зависимости токов и напряжений от времени
- •2.4 Расчет экстремумов и точек перегиба на графике Определение экстремумов и точки перегиба .
- •2.5 Определение обобщенных характеристик цепи
2 Рассчет параметров переходных процессов в электрических цепях с двумя реактивными элементами
2.1 Определение основных параметров электрической цепи в начале переходного режима и в принужденном режиме
В приведенной схеме, представленной на рисунке 1, были определены начальные и конечные условия для всех токов и напряжений в цепи с нулевыми начальными условиями.
Рисунок 1. Исходная схема для расчета параметров переходного процесса
В таблицу 1 занесены данные для последующий расчётов:
Таблица 1. Данные для расчета
R1, Ом |
R2, Ом |
С, Ф |
С1, Ф |
L, Гн |
L1, Гн |
Е, В |
2 |
4 |
- |
- |
1/2 |
1 |
8 |
В представленной схеме ненулевые начальные условия, а, следовательно, согласно законам коммутации:
1) Начальные условия ()
До начала коммутации (при ) в цепи через индуктивность протекает ток. Определим этот ток из эквивалентной схемы для. Так как процесс в цепи был установившемся, то для постоянного тока индуктивность заменим перемычкой (рисунок 2).
Рисунок 2. Эквивалентная схема цепи для времени
Ток равен (по закону Ома):
.
Напряжение на индуктивности , а напряжение на сопротивленииR1 равно
Контроль вычислений.
– второй закон Кирхгофа выполняется.
Ток и напряжениеравны нулю, так как цепьR2L1 до начала коммутации отключена.
2) После коммутации () ток в индуктивности скачком измениться не может, поэтому:
.
Индуктивность в эквивалентной схеме для момента времени заменим источником тока.
Так как , то индуктивность в эквивалентной схеме заменяется разрывом (рисунок 3).
Рисунок 3. Эквивалентная схема цепи для времени
Для рассматриваемой схемы ГНУ:
По 1-ому закону Кирхгофа:
Отсюда следует, что:
Так как на L1обрыв:
Напряжение на индуктивности
Контроль вычислений.
1-й и 2-й законы Кирхгофа выполняются.
3) Конечные условия ()
После окончания переходного процесса все токи и напряжения в схеме (рисунок 4) будут постоянными. Так как , то индуктивность в эквивалентной схеме заменяется перемычкой:
Рисунок 4. Эквивалентная схема цепи для времени
Анализ эквивалентной схемы позволил определить токи и напряжения:
Контроль вычислений.
– 1-й закон Кирхгофа выполняется.
Таблица 2. Результаты вычислений
t |
0 – |
0+ |
|
i1 , A |
4 |
4 |
6 |
i2 , A |
0 |
4 |
4 |
i3 , A |
0 |
0 |
2 |
uR1 , B |
8 |
8 |
8 |
uR2 , B |
0 |
0 |
8 |
UL, B |
0 |
0 |
0 |
UL1,B |
0 |
8 |
0 |
С учетом НУ и КУ можно качественно построить графики (рисунок 5).
Рисунок 5. Качественные графики
2.2 Определение характеристик переходных процессов классическим методом
Для составления дифференциального уравнения был выбран ток . Тогда уравнение в общем виде имеет вид:
Принужденная составляющая тока , поэтому:
Для определения корней характеристического уравнения ибыла составлена эквивалентная операторная схема цепи (рисунок 6).
Рисунок 6. Эквивалентная операторная схема цепи
Далее было найдено операторное входное сопротивление и приравнено к нулю ().Операторное сопротивление индуктивности , тогда:
Условие выполняется, если числитель равен нулю:
Корни этого уравнения:
;
Подставив значения ив уравнение для, было получено:
После этого были определены произвольные постоянные и. Используя значение самой функциии ее производнойпри, т.е. были учтены начальные условия. Учитывая, что:
Откуда было получено первое уравнение для нахождения произвольных постоянных:
Для получения второго уравнения было найдено значение при:
Откуда получается, что второе уравнение для нахождения произвольных постоянных:
Совместное решение двух уравнений:
Дает следующие значения произвольных постоянных:
После подстановки произвольных постоянных в выражение для получаем:
Были произведены контрольные вычисления.
При ,
При ,
Это показывает, что полученные данные соответствуют данным из таблицы 1.
Расчет остальных токов и напряжений выглядят следующим образом:
А) Напряжение :
Контроль вычислений:
Б) Напряжение :
Контроль вычислений:
В) Ток :
Контроль вычислений:
Г) Ток :
Контроль вычислений:
Д) Напряжение :
.
Контроль вычислений:
Е) Напряжение :
Контроль вычислений:
Результаты вычислений:
Построенные графики зависимости токов и напряжений от времени по найденным значениям токов и напряжений, представлены в пункте 2.3. Их построение было реализовано с помощью программной среды MatLab.