- •§2. Параллельное проецирование.
- •§3. Аффинные отображения.
- •§4. Изображение плоских фигур в параллельной проекции.
- •§5. Изображение многоугольников.
- •§6. Изображение окружности и эллипса.
- •§7. Изображение многогранников в параллельной проекции.
- •8.Изображениемногогранников.
- •§9. Изображение цилиндра
- •10 Изоброжение конуса
- •§11. Изображение шара.
- •12. Аксонометрия. Изображение точек.
- •§13. Задачи на построение в аксонометрической проекции.
- •§14. Полные и неполные изображения.
- •§15. Построение сечений многогранников. Метод соответствия.
- •§16. Построение сечений многогранников. Метод следов.
- •17. Построение сечения цилиндра.
- •§18. Построение сечения конуса.
- •§19. Построение сечения шара.
- •§20. Смешанные фигуры.
- •§21. Метрические задачи.
- •22. Расширенная прямая.
- •1.2. Расширенные плоскость и пространство.
- •23Свойства расширенных плоскости и пространства.
- •25 Проективные координаты на проективной прямой.
- •26. Однородные аффинные координаты на плоскости.
- •27. Проективные координаты на проективной плоскости.
- •28Связь между проективными координатами на плоск. И на прям.
- •29 Формулы замены проективных координат на плоскости.
- •30 Уравнение прямой на плоскости.
- •31 Теорема Дезарга.
- •32 Определение проективного преобразования.
- •3.2. Формулы проективного преобразования.
- •33 Основное свойство проективных преобразований.
- •34 Проективная группа плоскости.
- •35 Определения и свойства.
- •36 Формулы сложных отношений.
- •37 Гармоническая четверка точек.
- •38 Определение и типы кривых второго порядка.
- •39 Пересечение кривой второго порядка с прямой.
- •5.3. Касательная к кривой второго порядка.
- •40Полюс и поляра.
- •5.5. Геометрический смысл поляры.
- •41 Принцип взаимности поляр.
- •5.7. Полярное соответствие.
- •42 Теоремы Паскаля
- •43 Теорема (Брианшона)
26. Однородные аффинные координаты на плоскости.
Как известно, аффинная системакоординат на обычной плоскости определяется началом O и векторным базисом B = {e1;\s\up8(( , e2;\s\up8(( }. Аффинные координаты произвольной точки M совпадают с координатами ее радиус-вектора OM;\s\up10( –(, т.е. они равны коэффициентам разложения OM;\s\up10( –( = xe1;\s\up8(–( + ye2;\s\up8(–( .
Таким образом, каждая точка M имеет две координаты (x, y). На проективной плоскости этих координат не хватает (для несобственных точек).
Опр.2.2.1. Однородными аффинными координатами собственной точки M(x, y) называются числа x1, x2, x3 такие, что x = x1/x3 , y = x2 / x3 , или, что то же самое, x1: x2 : x3 = x : y : 1.
Очевидно, что такие координаты определяются с точностью до пропорциональности.
Рассмотрим несобственную точку M . Она определяется прямой l . Пусть ее уравнение в аффинной системе координат ax + by + c = 0 . Пусть M(x, y) – произвольная собственная точка прямой. Тогда y = – (ax + с) / b, т.е. M(x, – (ax + с) / b). Значит, однородные координаты точки M будут (x, – (ax + с) / b, 1) или (b, – a – с / x, b / x). Несобственную точку прямой l; ¯можно рассматривать, как предел собственной точки, когда она бесконечно удаляется по прямой. Поэтому однородные координаты M получаем, как предел
lim;\s\do8(x ( ((b, – a – с / x, b / x) = (b, – a , 0) M(b: – a: 0).
Для решения многих задач удобнее пользоваться другими координатами.
27. Проективные координаты на проективной плоскости.
Опр.2.3.1. Проективной системой координат (проективным репером) на проективной плоскости (; ¯ наз.произвольная упорядоченная четверка точек этой плоскости R = {A1, A2, A3, E}, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Точки A1, A2, A3 называются вершинами репера, а E – единичной точкой.
Выберем произвольную собственную точку O (; ¯ и будем откладывать от нее все векторы. Опр.2.3.2. Говорим, что вектор x;\s\up8(( порождает точку M(; ¯, если x;\s\up8(( лежит на прямой OM. Пишем ( x;\s\up8(–( ) = M.Очевидно, что R \{0} ( x;\s\up8(( ) = (x;\s\up8(( ).
Опр.2.3.3. Говорим, что базис B = {a1;\s\up8(( , a2;\s\up8(( , a3;\s\up8(( } в пространстве порождает репер R = {A1, A2, A3, E}, если ( a1;\s\up8(( ) = A 1 , ( a2;\s\up8(( ) = A2 , ( a3;\s\up8(( ) = A3, ( a1;\s\up8(( + a2;\s\up8(–( + a3;\s\up8(( ) =E . Пишем: (B ) = R .
Теорем2.3.1.Для любого репера R на плоскости (; ¯ сущ-ет единственный с точностью до гомотетии с центром O базис B, который порождает репер R .
Д-во аналогично доказательству теоремы 2.1.1.
Опр.2.3.4. Пусть базис B порождает репер R , а вектор x;\s\up8(( – точку M. Проективными координатами точки M(; ¯ в репере R называются координаты вектора x;\s\up8(–( относительно базиса B .
Очевидно, что проективные координаты определяются с точностью до пропорциональности. Поэтому их часто записывают так: M(x1: x2 : x3). В частности, A1(1, 0, 0), A2(0,1, 0), A3(0, 0, 1), E(1, 1, 1). Позже мы докажем, что проективные координаты точки на (; ¯ не зависят от выбора точки O.