3.7.11. Диапазон, динамический диапазон

и точность представления чисел

с фиксированной точкой

Диапазон представления чисел устанавливает границы между минимально и максимально допустимыми значениями, представляемыми в заданном формате и коде.

Динамический диапазон ДД определяют как:

ДД = maxзначение /minзначение = 0 ,

где maxзначение иminзначение = 0 представлены в заданном формате и коде.

Динамический диапазон ДД в децибелах равен

ДД (дБ) = 20 lg(ДД).

Точность представления чисел определяетмаксимально допустимую точностьпредставлениядробной части вещественных чисел.

Напомним, что в двоичной системе счисления при заданном формате целые числа (в том числе, целые части вещественных чисел) представляютсяточно, адробные – приближено. Максимально допустимаяошибка при представлении дробных чисел равна:

2^-b-1= 2^-(b+1)= 2^{-m _} половине младшего значащего бита (половине шага квантования) приокруглении;

2^{-b _}младшему значащему биту (шагу квантования) приусечении,

где b– количество значащих битов;n=b^_ 1;m– длина слова, в котором представляется число, например, для словаm=n, для двойного словаm= 2n.

Точность представления измеряется в битах и определяется как:

log₂(maxзначение /maxошибка при округлении ),

где maxзначение соответствует:

для дробных чисел – максимальному (по модулю) значению, представленному в заданном формате и коде;

для смешанных чисел – максимальному (по модулю) значению дробной части числа, представленной в заданном формате и коде.

Определим диапазон, динамический диапазон и точность представления данных различных типов.

Данные целого типа.

• Целые числа со знаком.

Диапазон представления целых чисел со знаком в формате “слово” длинойnв дополнительном

коде равен:

^_2^b <C< 2^{b _} 1,

где C– значение целого числа.

Динамический диапазон ДД равен

ДД = ^_ 2^b/ 1 = 2^b

Например, при длине слова 16 битов диапазон равен

^_2¹⁵<C< 2^{15 _} 1,

а динамический диапазон

ДД = 2¹⁵;

или в децибелах

ДД (дБ) = 20 lg(2¹⁵) = 90, 3 дБ.

Аналогично можно определить диапазон представления и динамический диапазон для чисел в

формате “двойное слово” длиной 2n. Например, при длине двойного слова 32 битадиапазон

представления равен

^_2³¹<C< 2^31_1,

а динамический диапазон

ДД = 2³¹

или в децибелах

ДД (дБ) = 20 lg(2³¹) = 186, 6 дБ.

• Беззнаковые числа.

Диапазон представления целых беззнаковых чисел в формате слово длинойnв дополнительном коде

вдвое больший, чем для целых со знаком (знаковый бит включен в число значащих) и равен:

0 < C< 2^{n _}1.

Данные вещественного типа.

• Дробные числа.

Диапазон представления дробных чисел не зависит от типа арифметики (целочисленная/ дробная).

В формате “слово” длиной n(форматQb) в дополнительном коде диапазон равен

^_1 <C< 1^_2^-b,

где C—значение дробного числа.

Модуль дробного числа не превышает 1 независимо от длины формата.

Замечание

При целочисленной арифметике не следует путать диапазоны представляемых дробных чисел и их целочисленных эквивалентов. Диапазон представления целочисленных эквивалентов такой же как у целых чисел.

Динамический диапазон ДД, равный

ДД = ^_1 / 2^-b = 2^b,

У дробных чисел точно такой же, как у целых чисел при одинаковом формате и коде. Например, при длине слова 16 битов, диапазон равен

^_1 <C< 1^_ 2¹⁵,

а динамический диапазон

ДД = 2¹⁵

Или в децибелах

ДД (дБ) = 90,3 дБ.

Аналогично можно определить диапазон представления и динамический диапазон для дробных чисел в формате “двойное слово” длиной 2n. Например, при длине двойного слова 32 битадиапазон представления равен

^_1 <C<1 ^_2^-31,

а динамический диапазон

ДД = 2³¹

или в децибелах

ДД (дБ) = 186,6 дБ.

Согласно определению, точностьпредставления дробного числа, например, при длине слова 16 битов, равна

log₂(^_1 / 2^-n ) = 16 бит

при длине слова 32 бита – 32 битам и т. д.

Подчеркнем, что определяемая таким образом точность является максимально допустимой. Числа, меньше максимального значения (меньше 1 по модулю), представляются с большей точностью.

• Смешанные числа.

Наличие расширения EXTв слове позволяет привнутреннихвычислениях хранитьсмешанные числа.

Диапазон их представления в дополнительном коле равен

^_2^EXT < C < 2^{EXT _} 2^{-(k – EXT –1)},

где C– значение смешанного числа;k– длина расширенного слова, равная длине смешанного числа со знаком;EXT– длина расширенияEXT, равная длине целой части числа; (k^_EXT^_1) – длина дробной части числа.

Динамический диапазон равен

ДД = ^_2^EXT / 2^{–(k –EXT –1)}= 2^(k-1).

Точность представления дробной части смешанного числа в соответствии с определением равна

log ₂( ^_1 / 2^-(k-EXT) ) = (k ^_ EXT ) бит,

где 2 ^{– (k –EXT)} = 2^{-(k-EXT –1) – 1}-- максимально допустимая ошибка при округлении дробной части числа, равная половине младшего значащего бита.

Например, для расширенного слова длиной k= 56 битов (слово аккумулятора в процессорах семейств

DSP560xxфирмыMotorola) и длине расширенияEXT8 битовдиапазон представления равен

^_2⁸<C< 2^{8 _}2^–47;

динамический диапазон

ДД = 2⁵⁵

или в децибелах

ДД (дБ) = 331 дБ;

точность представления дробной части числа равна (56^_8) = 48 бит.