Цикл Карно
Созданный французским инженером Сади Карно в 1824 г первый тепловой двигатель состоял из нагревателя с температурой , холодильника си рабочего тела, т.е. устройства, способного получать тепло и совершать работу (рис. 5). Под рабочим телом пока будем понимать идеальный газ в цилиндре с поршнем.
Рис. 5
Карно рассмотрел цикл из двух изотерм и двух адиабат (изэнтроп) (рис. 6).
При изотермическом расширении газ находится в контакте с нагревателем (). Пусть при этом газ получает тепло. На изотерме 3-4 газ отдает теплохолодильнику (). В соответствии с (4.21) КПД двигателя
(4.22)
Данный цикл является обратимым (если его проводить бесконечно медленно). Он может быть проведен в обратном направлении, и при этом газ совершает отрицательную работу, нагреватель получает обратно тепло , холодильник отдает тепло, которое он получил в прямом цикле. Именно так в принципе работает любой бытовой холодильник.
Предельно просто выглядит цикл Карно на диаграмме (температура – энтропия). На этой диаграмме цикл Карно имеет вид прямоугольника (рис. 7).
Рис. 6
Рис. 7
Изотермы изображаются прямыми и, адиабаты (изэнтропы) – прямымии.
Согласно (4.3) , тогда полученное теплои равно площади под отрезком. Отданное холодильнику теплоилии равно площади под отрезком. При этом площадь прямоугольника равна.
Подставив ив формулу (4.21), получим равенство
,
из которого следует, что КПД цикла Карно
. (4.23)
При выводе этой формулы не делалось никаких предположений о свойствах рабочего вещества и устройстве теплового двигателя. Отсюда следует знаменитая теорема Карно: КПД обратимых двигателей, работающих по циклу Карно, зависит только от температурынагревателя и температурыхолодильника, но не зависит ни от устройства двигателя, ни от рода рабочего вещества.
Можно показать, что КПД любого необратимого теплового двигателя, работающего с теми же нагревателем и холодильником, всегда меньше, чем у двигателя, работающего по обратимому циклу Карно:
, (4.24)
где определяется формулой (4.23).
Вывод: КПД, определяемый формулой , является предельным. Никакими способами нельзя получить КПД, превышающий это значение. КПД реальных двигателей бывает намного меньше этого значения.
Задачи
Энтропия
Задача 1В ходе обратимого изотермического процесса, протекающего при= 350 К, тело совершило работу= 8 Дж, а внутренняя энергия тела получила приращение= 7,5 Дж. Найти приращение энтропии тела.
Решение
Из первого начало термодинамики следует, что в ходе процесса тело получило количество теплоты . С учетом того, что,
;
.
Задача 2Найти приращение энтропииодного моля одноатомного идеального газа при обратимом изобарическом нагревании его от 0 до 2730С.
Решение
В данном случае , тогда
.
Задача 3Один моль идеального газа с показателем адиабатысовершает процесс по закону~, при этом абсолютная температура возрастает враз. Найти приращение энтропии газа а этом процессе.
Дано: ,,
Решение
. (1)
, учитывая, что, получим, тогда
,
,,
,.
Подставляя ,,в уравнение (1), получим
Задача 4Теплоизолированный сосуд разделен перегородкой на две части так, что объем одной из них враз больше объема другой. В меньшей части находитсямоля одного газа, а в большей частимоля другого газа. Температура газов одинакова. Перегородку удалили, газы перемешались. Найти приращение энтропиимакросистемы, считая газы идеальными.
Дано: ,,,
Решение
Из аддитивности энтропии следует, что , гдеинайдем, используя изотермический процесс расширения каждого газа.
Итак,
.
Имея в виду, что , получим
.
Задача 5Статистический весОдин моль идеального газа, состоящего из одноатомных молекул, находится в сосуде при температуре= 300 К. Как и во сколько раз изменится статистический вес этой макросистемы, если ее нагреть изохорически на= 1,0 К?
Решение
Учитывая, что
, имеем
.
Видно, что решение сводится к нахождению . Учитывая, что,, получим
.
В результате
.
Здесь учтено, что . Из последней формулы находим:
- величина грандиозная даже при таких скромных изменениях температуры.
Задача 6Цикл КарноОдин моль идеального газа из жестких двухатомных молекул совершает цикл Карно. Температура нагревателя= 400 К. Найти КПД цикла, если при адиабатическом сжатии затрачивается работа= 2,0 кДж.
Решение
При адиабатическом сжатии , следовательно,
,,
. Так как, поэтому
. Так как, то
, где=5 (двухатомная жесткая молекула).
Задача 7КПД циклаИдеальный трехатомный газ совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. Определить КПД цикла, если= 1 л,= 2 л,= 1 атм,
= 2 атм.
Решение
КПД цикла равен
(1)
Работа газа , совершенная за цикл, численно равна площади фигуры, ограниченной замкнутой линией 1234 (рис.). Таким образом,
(2)
Количество тепла получено газом только при двух процессах:
а) изохорном на участке 1-2
б) изобарном на участке 2-3.
На участке 3-4 и 4-1 газ отдает тепло холодильнику .
Следовательно
, где,
(3)
Подставляя (3) и (2) в (1), получим
.
Учитывая, что для трехатомного газа = 6, получим= 0,09.
Задача 8Тепловой двигатель работает по циклу, состоящему из изотермического, изобарного и адиабатического процессов. При изобарном процессе рабочее тело – идеальный газ – нагревается от температуры= 200 К до= 500 К. Определить КПД двигателя.
Решение
В условии задачи не указана последовательность процессов, но поскольку изобарный процесс, по условию, - процесс нагревания, следовательно, и расширения, то изобара 1-2 должна лежать выше кривых, изображающих изотермический и адиабатический процессы (рис.).
(1)
- количество теплоты, получаемое рабочим телом при изобарном процессе,
(2)
Количество теплоты, отданное при изотермическом сжатии,
. (3)
Найдем .
Соотношения 1 и 2 лежат на одной изобаре:
. (4)
Состояния 2 и 3 лежат на одной адиабате:
.
Учитывая, что , получим
(5)
Перемножая равенства (4) и (5), имеем
.
Тогда
.
Так как , тои
(6)
Подставим (2) и (6) в (1):
Тесты
1. Чему равно приращение энтропии за цикл при обратимом процессе?
1.– приращению теплоты; 2. – приращению температуры; 3. – приращению энергии; 4. – нулю; 5. – бесконечности.
2. При стремлении абсолютной температуры к нулю энтропия системы стремится:
1. – к нулю; 2. – к бесконечности; 3. – остается постоянной; 4. – стремится к единице; 5. – становится неопределенной.
3. Максимальный термический коэффициент полезного действия теплового двигателя равен:
1. – ; 2. –; 3. –; 4. –; 5. –.T1 – температура нагревателя; T2 – температура холодильника.
4. Процесс, изображенный на рисунке в координатах (T,S), гдеS– энтропия, является…
1. – адиабатным расширением; 2. – изохорным охлаждением; 3. – изобарным сжатием; 4. – изотермическим сжатием.
5. Максимальный коэффициент полезного действия теплового двигателя равен:
1. – ; 2. –; 3. –; 4. –; 5. –.Q1 – теплота, полученная от нагревателя; Q2 – теплота, отданная холодильнику.
6. Оцените максимальное значение КПД, которое может иметь тепловая машина с температурой нагревателя 727°С и температурой холодильника 27°С.
1. – 70%; 2. – 100%; 3. – 30%; 4. – ≈ 43%; 5. – ≈ 96%.
7. Укажите размерность энтропии.
1. – ; 2. –; 3. –; 4. –; 5. –.
8. Цикл Карно состоит из:
1. – двух изотерм; 2. – двух адиабат; 3. – двух изотерм и двух адиабат; 4. – двух изотерм и двух изобар; 5. – двух адиабат и двух изохор.
9. Как изменяется энтропия при переходе системы из неравновесного в состояние термодинамического равновесия?
1. – ; 2. –; 3. –; 4. –; 5. –.
10. В каком случае к. п. д. цикла Карно повысится больше: 1 – при увеличении на Ттемпературы нагревателя или 2 – при уменьшении на такую же величинуТтемпературы холодильника?
1. – В случае 1; 2. – В случае 2; 3. – В обоих случаях одинаково; 4. – В случае 1 к. п. д. уменьшится; 5. – В случае 2 к. п. д. уменьшится.
11. Тепловая машина работает по циклу Карно. Если температуру нагревателя увеличить, то КПД цикла…
1. – не изменится; 2. – увеличится; 3. – уменьшится.
12. Процесс, изображенный на рисунке в координатах (T,S), гдеS– энтропия, является…
1. – изохорным нагреванием; 2. – адиабатным сжатием; 3. – изотермическим расширением; 4. – изобарным расширением.
13. На рисунке изображен цикл Карно в координатах (T,S), гдеS– энтропия. Изотермическое сжатие происходит на этапе…
1. 3 – 4; 2. 1 – 2; 3. 2 – 3; 4. 4 – 1.
14. На рисунке представлен цикл тепловой машины в координатах T,S, гдеT– термодинамическая температура,S– энтропия. Укажите нагреватели и холодильники с соответствующими температурами.
1. – Нагреватели – T3, T4, T5; Холодильники – T1, T2.
2. – Нагреватели – T2, T4, T5; Холодильники – T1, T3.
3. – Нагреватели – T3, T5; Холодильники – T1, T2, T4.
4. – Нагреватели – T4, T5; Холодильники – T1, T2, T3.