Оглавление
Введение
Существование и развитие современной экономики немыслимо без использования разнообразных математических методов, одним из которых является вероятностно-статистический метод исследования. Теория вероятностей, подобно другим математическим наукам, развилась из потребностей практики, а, именно, страхового и военного дела.
Теория вероятностей занимается изучением случайных событий и явлений, под которыми понимаются такие, результат которых нельзя предсказать заранее.
В настоящем методическом пособии собраны основные понятия и факты курса теории вероятностей. Также пособие содержит решение типовых примеров и упражнения по основным разделам курса теории вероятностей для студентов экономического факультета.
В методическом пособии приняты следующие сокращения:
ПЭИ – пространство элементарных исходов;
ФПВ – формула полной вероятности;
с.в. – случайная величина;
ф.р. – функция распределения;
п.в. – плотность вероятностей;
ЗБЧ – закон больших чисел;
ЦПТ – центральная предельная теорема.
Основные определения и понятия теории вероятностей
В теории вероятностей первичным понятием, не определяемым через другие, является понятие пространства элементарных исходов ,состоящего из элементарных исходов w.
Элементарные исходы соответствуют единственно возможным неразложимым результатам эксперимента.
Упражнение. 1. Опишите пространства элементарных исходов, соответствующие : а) подбрасыванию монеты: б) подбрасыванию двух монет в) подбрасыванию игральной кости: г) подбрасыванию двух игральных костей.
Определение 1. Событием называется произвольное подмножество пространства Ω. Если А - событие, то элементы А называют элементарными исходами, благоприятствующими появлению А. Говорят, что событие А происходит, если в результате эксперимента, осуществляется элементарный исхода wA, т.е. благоприятствующий А.
Сумма, произведение и разность событий определяются соответственно как объединение, пересечение и разность соответствующих множеств элементарных исходов, Ω называют достоверным событием, а Ø невозможным.
Определение 2. События А и В называются несовмеcтными, если A∩B=Ø
Определение 3. События А и Ā называются противоположными, если Ā =Ω\A или AĀ =Ω, а A∩Ā=Ø
Определение 4. Говорят, что события H1,H2,..,Hn образуют полную группу, если Н1UН2U,…,UНn = Ω, а Нi ∩Hj=Ø, для i≠j, i,j=1,2,..,n
Упражнение 2. Подбрасывается 3 монеты. Событие А состоит в выпадении двух "гербов", а событие В в выпадении не более двух "решек''. Определить сумму, произведение и, разность событий А и В.
Предположим, что N раз производится некоторый эксперимент и пусть N(А) раз произошло некоторое событие A. Тогда число W(A)= , называется относительной частотой появления события А.
Упражнение 3. Покажите, что относительная частота обладает следующими фундаментальными свойствами:
1. A, W(A)0
2. W()=1
3.Если AB =, то W(AB)=W(A)+W(B).
Во многих случаях, как показывает практика, относительные чаcтоты обладают статистической устойчивостью, которая заключается в том, что при больших N относительная частота W(A) лишь изредка будет отклоняться от некоторого среднего числа P(A), которое естественно назвать вероятностью события А. Таким образом, P(A) характеризует среднюю относительную частоту появления A в большой серии экспериментов и является мерой возможности появления A. В рамках математической теории такое определение вероятности не является корректным. Поэтому существование вероятности постулируется с помощью аксиом, при этом, поскольку вероятность представляется нам как идеализированная относительная частота, ее фундаментальные свойства 1-3 должны выполняться для вероятности.
Приведем аксиоматику, предложенную А.Н. Колмогоровым. Пусть - пространство элементарных исходов, F некоторая система подмножеств . Элементы F называются событиями. Каждому событию AF ставится в соответствие число P(A): называемое вероятностью события A, таким образом, чтобы выполнялись аксиомы:
I. Аксиома неотрицательности: Р(А) > О, AF
II.Аксиома нормированности: Р() = 1.
III.Аксиома аддитивности: Если А В= Р(А U В)=P(A)+P(B)
Если конечно или счетно, то называется дискретным ПЭИ. В случае дискретного ПЭИ вероятность случайного события можно определить следующим образом.
Определение 5. Каждому элементарному исходу , ставится в соответствии число p(wi) > 0, называемое вероятностью элементарного исхода, так. что при этом
Вероятностью произвольного события А называется число
P(A) =
Рассмотрим важный частный случай. Пусть
1.={w1,w2,…,wn} конечно.
2.Все исходы равновероятны p(w1)=p(w2)=…=p(wn). Тогда, т.к., ,тоp(wi)=1/n, i=1,2,..,n. Поэтому P(A)= = , где m - число элементарных исходов, содержащихся в А, т.е. благоприятствующих А. Приходим к так называемому классическому определению вероятности.
Определение 6. Если пространство элементарных исходов конечно и все исходы равновероятны, то вероятностью события А называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих появлению А. к числу всех возможных элементарных исходов.
Рассмотрим еще один важный случай.
Классическое определение вероятности нельзя применять к опыту с бесконечным числом равновероятных исходов. Однако, если результат опыта определяется случайным положением точки в некоторой области, при этом любые положения точек в этой области считаются равновероятными, то используют геометрическое определение вероятности. Суть его в следующем.
Пусть результат опыта определяется случайным положением точки в некоторой области G, причем любые положения точки в данной области равновероятны. Тогда множество точек области G будет представлять собой ПЭИ, а случайное событие А некоторое подмножество точек g из G . Назовем мерой области ее длину, площадь и объем в одно-, двух- и трехмерном случае соответственно и будем обозначать символом mes т.е., например, mes G, mes g. Тогда по аналогии с классическим определением вероятности, вероятность события А в данном случае определяется равенством
Р(А) =
Такое определение вероятности случайного события называется геометрическим.
Определение 7. Условной вероятностью события В при условии А называется число
P(B/A)=, P(A)0
Определение 8. События А и В называются независимыми, если Р(АВ) =Р(А)Р(В).
Определение 9. События A1,A2,..,An называются попарно независимыми, если
P(AiBj)=P(Ai)P(Bj) для любых ij
Определение 10. События A1,A2,…,An называются независимыми в совокупности, если
P(AiAj) - Р( Ai)P(AJ ), при i≠j,
P(AiAj Ak)= Р( Ai)P(AJ )P(Ak), при i≠j, j≠k, i≠k
P(A1,A2,…,An )= P(А1)P(А2)…. Р( An)
Упражнение 4.Покажите, что если А и В независимы, то А и В тоже независимы.
Упражнение 5. Покажите, что если Р(А) / О, то А и В независимы, тогда и только тогда, когда Р(В/А) — Р(В).
Под испытанием будем понимать некоторый эксперимент, исходами которого являются случайные события.
Предположим, что испытания повторяются многократно при неизменных условиях.
Определение 11. Повторные испытания называются независимыми, если вероятность осуществления любого исхода в каждом испытании не зависит от реализации исходов предыдущих испытании.
Определение 12. Повторные независимые испытания называются испытаниями Бернулли, если в каждом из них возможны только два исхода, причем вероятности этих исходов не меняются от испытания к испытанию.
Обозначим эти исходы У и Н и назовем успехом и неудачей. Пусть Р(У)=p, Р(Н)= q, тогда р + q=1. Предположим, что мы провидим n независимых испытаний Бернулли. Тогда ПЭИ, соответствующее сложному эксперименту, состоящему из n испытаний, будет иметь вид:
Ω={wi/wi=(xi,x2,…,xn)} где х3 = У или Н, j = {1, 2,…, n}. В силу независимости испытаний вероятность элементарного исхода:
P(w)=p(x1)p(x2)…p(xn)=pkpn-k
где k - число У в n испытаниях Бернулли. Пусть Ω - дискретное ПЭИ.
Определение 13. Действительная функция ξ=ξ(w), определенная на Ω называется случайной величиной.
В общем случае под с.в. будем понимать действительную функцию ξ=ξ(w), определенную на ПЭИ Ω и такую, что для любого действительного х выражение {ξ(w)<x}, является событием.
Таким образом, областью определения с.в. ξ является Ω, а областью значении множество действительных чисел. Любое
правило, позволяющее находить вероятности событий, связанных со сл.в. ξ будем называть законом распределения данной с.в.
Определение 14. Функция F(x)=Fξ(x)=Pξ{ξ(w)<x} называется функцией распределения с.в. ξ
Очевидно, ф.р. с.в. ξ является законом распределения с.в. ξ.
Упражнение 6. Покажите, что ф.р. облагает свойствами:
а)0 < F(x)< 1:
б)F(x) не убывает;
в)Р(a≤ξ<b) = F(b) - F(a).
Определение 15. С.в. множество значений которой конечно или счетно называется дискретной.
Определение 16. Таблица вида
-
ξ
X1
X2
…..
P
P1
P2
…..
Возможные значения с.в. ξ, а р1, p2…вероятности этих значений (т.е. pi=P{ξ(w)=xi}) называется рядом распределения сл.в. ξ.
Ряд распределения является законом распределения только дискретных с.в.
Определение 17. Дискретная с.в ξ , принимающая целые неотрицательные значения k = 0. 1, 2,…, n называется имеющей биномиальное распределение с параметрами (n,p), (О ≤p≤1), если Р{p=k}=Cnkpkqn-k , где й=1-p, (k=0,1,2,…n)
Определение 18. Говорят, что дискретная с.в. ξ , принимающая целые неотрицательные значения k=0, 1, 2,… имеет распределение Пуассона с параметром X > 0, если P{ξ=k}=(λk/k!)e-λ
Пусть имеется N изделий, среди которых M бракованных. Наудачу выбирается n изделий. Тогда с.в. ξ число бракованных изделии среди n отобранных будет иметь гипергеометрическое распределение. Очевидно с.в. ξ, принимает неотрицательные целые значения
K=0,1,2,…,min(n,M), при этом P{ξ=k}=(CMk cn-kN-M)/CNn
Определение 19. Сл.в. ξ называется непрерывной, если существует неотрицательная функция p(х), такая, что для любого действительного
X ф.р. c.в. ξ может быть представлена виде:
при этом p(х) называют плотностью вероятности или плотностью распределения вероятностей.
Очевидно, множеством значений непрерывной сл.в является конечный или бесконечный интервал.
Плотность вероятности является законом распределения годным лишь для непрерывных с. в.
Упражнение 8. Покажите, что =1
Определение 20. Говорят, что с.в. ξ имеет равномерное (прямоугольное) распределение на отрезке [a, b], если она имеет плотность:
1/b-a, если xє[ a,b]
P(x) =
0, если x [a,b]
Определение 21. Говорят, что с.в. ξ имеет показательное (экспоненциальное) распределение с параметром А > 0, если она имеет плотность:
λeλx , x≥0
P(x) =
O , x<0
Определение 22. Говорят, что с.в. имеет нормальное (гауссовское) распределение с параметрами (а,а2) (а>0), если она имеет плотность вероятности.
p(x)=
В частности, ξ имеет стандартное нормальное распределение, если она имеет нормальное распределение с параметрами (a,σ>0).
Если ξ имеет нормальное распределение с параметрами (а, σ2}, то будем писать ξ ~ N(а, σ2).
Упражнение 9. Покажите, что если ξ ~ N(а, σ2), то ξ0=, то будем писать ξ ~ N(а, σ2),
Определение 23. Вектор ξ(w) = (ξ1(w), ξ2(w),…,ξn(w)), где ξ0=, i=1,2,…n - с.в.. называется случайным вектором или n мерной c.в..
Определение 24.
Функция F(x1,x2,..,xn)=P{ξ1(w)<x1,x2,..,ξn(w)<xn}называется ф.р. случайного вектора (ф.p. случайного вектора или совместной функцией
распределения ξ1,ξ2,..,ξn
Определение 25. С.в. ξ1,ξ2,..,ξn, называются независимыми, если для любых действительных чисел x1,x2,..,xn
Fξ1,ξ2,..,ξn(x1,x2,..,xn)=Fξ1(x1)Fξ2(x2),..,Fξn(xn)
Определение 26. Математическим ожиданием или средним значением дискретной с.в, ξ с рядом распределения
-
ξ
x1
x2
…
xn
p
p1
p2
…
pn
называется число Мξ =
Если дискретная с.в. ξ принимает счетное число значений, то математическое ожидание с.в. ξ существует, если сумма произведении значении с.в. на их вероятности конечна.
Определение 27. Математическим ожиданием непрерывной с.в. ξ с плотностью вероятности р(х) называется число
Mξ=
пpи условии, что последний интеграл сходится абсолютно.
Если с.в. ξ принимает значения на конечном интервале [а,b], то
Mξ=
Определение 28. Начальным моментом k-го порядка с.в. ξ называется число Lk = Mξk.
Определение 29. Центральным моментом k го порядка с.в. ξ называется число Сk=M(ξ-Mξ)k
Определение 30. Центральный момент второго порядка Dξ=M(ξ-Mξ)2 называется дисперсией с.в. ξ.
Определение 31. Средним квадратическим (стандартным) отклонением называется число
σξ =(Dξ)
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение используются в качестве мер разброса значении с.в. ξ вокруг среднего значения Mξ.
Упражнение 10. Выведите формулу: Dξ — Mξ2 — (Mξ)2.
Определение 32. Ковариацией между с.в. ξ и η называется число cov (ξ , η) = М[(ξ – Мξ)(η - Mη)].
Упражнение 11. Выведите формулу: cov(ξ,η) — M(ξη)- MξMη.
Определение 33. Коэффициентом корреляции между с.в. ξ и η; называется число
=
Упражнение 12. Покажите, что если ξ и η - независимы, то они и некоррелuрованы, т .е. со v (ξ, η) =0.
Пусть (ξ и η) дискретные с.в., заданные рядами распределений
-
ξ
X1
X2
…
ξ
Y1
Y1
…
η
p1
p2
…
η
q1
q2
…
и совместным распределением
pij=P{ξ=xi,η=yj) (i,j=1,2,…)
Определение 34. Условным законом распределения дискретной с. в. ξ при условии, что ξ примет какое-то значение ξ = хi называетется распределение с.в. η, определяемое отношением
P {η=yj/ξ=xi} =
Определение 35. Условным математическим ожиданием с.в. ξ при условии, что ξ = хi называется число
Определение 36. Если (ξ, η) - непрерывный случайный вектор, то условной плотностью распределения при условии, что ξ=x, называется
где Pξ,η(x,y) - совместная плотность вероятности с.в. ξ и η, а pξ(x) – плотность вероятности с.в. ξ.
Определение 37. Если (ξ,η)- непрерывный случайный вектор, то условным математическим ожиданием с.в. η при условии, что ξ=x называется число
Определение 38. Пусть ξ,η – с.в. f(ξ) = M(η/ξ, g(η) = M(ξ/η). Уравнение y=f(x) называется уравнением регрессии η на ξ (прогноза η по ξ); Уравнение x=g(y) называется уравнением регрессии ξ от η.
Определение 39. Регрессия η на ξ называется линейной, если функция f(ξ) = aξ+b.