Лекция 11. Функция одной переменной.
11.1. Понятие функции (отображения).
Определение 11.1. Пусть дано множество и. Если указан некоторый способf каждому элементу поставить в соответствие элемент, тогда соответствие(или) называетсяфункцией с областью определения X и областью значений Y.
x – независимая переменная, аргумент;
y – зависимая переменная, значение функции.
☼ Замечание 11.1. Определение 11.1 не требует, чтобы каждый был значением при некотороми чтобы разнымx соответствовали разные y. В этом случае имеем взаимно однозначное соответствие, функция однозначна. ☼
Определение 11.2. Если область значений Y функции есть числовая осьR (расширенная числовая ось ), тоназываютчисловой функцией или функцией вещественного переменного. Если Y есть векторное пространство , то функцияназываетсявекторной функцией. Если X есть множество натуральных чисел N, то функция , обозначаемаяилиfn, называется последовательностью точек множества Y.
☼ Замечание 11.2. Последовательность точек множества не сводится к понятию подмножества: в последовательности точки могут повторяться, а в подмножестве нет.
Так, например, если ,с – подмножество, состоящее из одного элемента, а последовательность имеет бесконечно много элементов. ☼
Определение 11.3. Прямым произведением множеств X и Y назовём множество всех пар, где первый элемент взят изX, второй - из Y.
.
Подмножество при фиксированномy0 называется слоем в , отвечающим элементу y0. .
–множество всех отображений :.
Определение 11.4. Графиком функции с областью определенияX и областью значений Y назовем подмножество прямого произведения , состоящее из тех пар, для которых, то есть.
При иимеем обычное определение графика вещественной функции числового аргумента.
11.2. Способы задания функций.
Существует несколько способов задания функции: аналитический, графический, табличный, словесный.
Аналитический способ описывает функцию формулой. Например:
а) , |
|
б) , |
|
в) , |
|
г) |
|
Не следует смешивать функцию с её аналитическим выражением. В данном примере одна функция имеет два аналитических выражения: приипри. На рис. 11.1 изображён график этой функции.
Рис. 11.1. |
Словесным способом задаются специальные функции. Например, функция Дирихле функция сигнум (знакх) Эту функциюможно описать играфическим способом (рис. 11.2).
|
Рис. 11.2. |
Графический способ состоит в изображении графика функции – множества точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты – соответствующие им значения функции .
Функция «целая часть х» задается особой формулой: , где– антье (от фр.entire – целый), и графическим способом (рис. 11.3).
Рис. 11.3. |
Табличный способ задаёт функцию таблицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие значения функции , например, таблица логарифмов.
11.3. Основные характеристики функции.
Определение 11.5. Пусть функция определена на множестве Х и длятакже принадлежит множеству Х. Тогда функцияназываетсячётной, если выполняется условие инечётной, если . График чётной функции симметричен относительно оси ординат, график нечётной функции симметричен относительно начала координат.
Пример 11.1. а) ,– чётные функции; б),– нечётные функции; в)– ни чётная, ни нечётная функция.
Определение 11.6. Функция называетсявозрастающей (убывающей) на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.
Пусть и . Тогда функция возрастает на промежутке Х, если и убывает, если.
Если , то функция называетсянеубывающей, если –невозрастающей.
Все названные функции называются монотонными функциями.
Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными функциями.
Определение 11.7. Функция , определённая на множестве Х, называетсяограниченной на этом множестве, если существует положительное число С такое, что для любого справедливо неравенство.
Пример 11.2. Функция ограничена на R, т.к.
.
Геометрически ограниченность функции означает, что её график находится внутри некоторой горизонтальной полосы (рис. 11.4).
Рис. 11.4. |
Определение 11.8. Функция называется периодической с периодом , если для любых х из области определения функции.
Определение 11.9. Точка называетсяточкой локального максимума функции ,, если существует интервал,, содержащийся в Х и такой, что для каждого х из этого интервала имеет место неравенство.
Точка называетсяточкой локального минимума функции ,, если существует интервал,, содержащийся в Х и такой, что для каждого х из этого интервала имеет место неравенство.
Точки локального минимума и локального максимума называются точками локального экстремума функции.
Пример 11.3. Рассмотрим функцию .
Имеем: Построим график (рис. 11.5).
Рис. 11.5. |
Функция убывает наи возрастает на. В точкефункцияимеет локальный минимум.