несобственные интегралы
.docxНесобственные интегралы I рода
Пусть определена и непрерывна на множестве от и . Тогда:
-
Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае называется сходящимся.
-
Если не существует конечного ( или ), то интеграл называется расходящимся к , или просто расходящимся.
Пусть определена и непрерывна на множестве от и . Тогда:
-
Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае называется сходящимся.
-
Если не существует конечного ( или ), то интеграл называется расходящимся к , или просто расходящимся.
Если функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:
, где с — произвольное число.
[править]Геометрический смысл несобственного интеграла I рода
Несобственный интеграл выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.
[править]Примеры
[править]Несобственные интегралы II рода
Пусть определена на , терпит бесконечный разрыв в точке x=a и . Тогда:
-
Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
-
Если или , то обозначение сохраняется, а называется расходящимся к , или просто расходящимся.
Пусть определена на , терпит бесконечный разрыв при x=b и . Тогда:
-
Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
-
Если или , то обозначение сохраняется, а называется расходящимся к , или просто расходящимся.
Если функция терпит разрыв во внутренней точке отрезка , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:
[править]Геометрический смысл несобственных интегралов II рода
Несобственный интеграл выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции
[править]Пример
Несобственный интеграл с несколькими особенностями . Если функция определена на интервале (a,b) и неограниченна в точках a и b и при некотором выборе точки с (a,b) существуют несобственные интегралы на полуинтервалах (a,c] и[c,b),c(a,b). При этом существование и значение данного интеграла не зависит от выбора точки с.Тогда Y . f(x) 0 a k c l b X Такие интегралы называются несобственными интегралами с двумя (или несколькими) особенностями.(рисунок 2) Вообще,если функция f :R имеет на промежутке конечное число особых точек и Т: a=k1<k2< …….., что на каждом из,i=1n,особой точкой функции является только одна из концевых точек. Тогда, если каждый из интегралов (1) : cходится, то c ходится. Если хотя бы один из (1) расходится,то и весь (2) расходится.Действительно,расходимость хотя бы одного из участников суммы (2) означает,что данный интеграл (1) либо имеет бесконечную величину ,либо не имеет конкретного значения тем самым обращая всю сумму (2) либо в бесконечность,либо лишая ее конкретного значения. Y f(x) 0 a=k1 k2………ki…….kn-1 kn=b(+ в данном случае). Рис.,поясняющий несобственный интеграл с несколькими особенностями . Пример1. Несобственный интеграл имеет две особенности : в точке x=0 функция неограниченно возрастает (собственная особая точка) ,при x имеем интеграл по бесконечному промежутку(несобственная особая точка). Разобьём интервал интегрирования 0;+ так, чтобы на каждом промежутке подынтегральная функция f(x) имела не более одной особенности .Например, (0; 1) и (1;+). По определению исходный интеграл С ходится тогда,и только тогда , когда сходятся оба интеграла П ервый из этих интегралов расходится при p 1 , второй - при p 1 ,таким образом , одновременно оба эти интеграла не сходятся ни при каком значении p .Итак , исходный интеграл расходится при любом значении p . </k2<>