sem_operator1
.pdfСеместровая по линейным операторам Вариант 1
1. Найти координаты вектора x = (6; ¡1; 3) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).
8
>< e01 = e1 + e2 + 2e3;
> e02 = 2e1 ¡ e2;
: e03 = ¡e1 + e2 + e3:
2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:
Ax = (6x1 ¡ 5x2 ¡ 4x3; ¡3x1 ¡ 2x2 ¡ x3; x2 + 2x3);
Bx = (6 ¡ 5x2 ¡ 4x3; 3x1 ¡ 2x2 ¡ x3; x2 + 2); Cx = (x33; 3x1 ¡ 2x2 ¡ x3; x2 + 2x3):
3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти ABx.
4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-
ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå
e0 |
2 |
= |
e1 + e2 |
2e3; |
AÁ = |
0 3 |
1 0 |
1 : |
|||
e0 |
1 |
= e1 ¡ e2 + e3; |
|
B |
1 |
0 |
2 |
C |
|||
e03 |
= |
e1 + 2e2¡+ e3: |
|
1 |
1 |
|
2 |
||||
|
|
|
¡ |
|
|
@ |
|
¡ |
¡ |
|
A |
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
5.Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора проектирования на плоскость y ¡ z = 0.
6.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
01
A = |
B |
4 |
¡2 |
¡1 |
C |
|
1 |
2 |
2 |
|
|||
@ |
¡1 |
3 |
¡1 |
A |
: |
|
|
|
¡ |
|
|
Семестровая по линейным операторам Вариант 2
1. Найти координаты вектора x = (1; 2; 4) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).
8
>< e01 = e1 + e2 + 3e3;
> e02 = 3=2e1 ¡ e2;
: e03 = ¡e1 + e2 + e3:
2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:
Ax = (5x1 ¡ 4x2 ¡ 3x3; 2x1 ¡ x2; x2 + 2); Bx = (5x1 ¡ 4x2 ¡ 3x3; 0; x42 + 2x3);
Cx = (5x1 ¡ 4x2 ¡ 3x3; 2x1 ¡ x2; x2 + 2x3):
3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти A2x.
4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-
ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå
e0 |
2 |
= |
e1 + e2 |
2e3; |
AÁ = |
0 3 |
0 |
4 1 |
: |
|||
e0 |
1 |
= e1 ¡ e2 + e3; |
|
B |
2 |
1 |
0 |
C |
|
|||
e03 |
= |
¡e1 + 2e2¡+ e3: |
|
1 |
|
1 |
2 |
|
||||
|
|
|
¡ |
|
|
@ |
|
¡ |
|
|
A |
|
5. Доказать линейность, найти матрицу, область значений иpÿдро оператора проектирования на плоскость y = 3x.
6. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
01
A = |
B |
2 |
¡1 |
0 |
C |
|
1 |
1 |
1 |
|
|||
@ |
¡1 |
2 |
0 |
A |
: |
|
|
|
¡ |
|
|
Семестровая по линейным операторам Вариант 3
1. Найти координаты вектора x = (1; 3; 6) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).
8
>< e01 = e1 + e2 + 4e3;
> e02 = 4=3e1 ¡ e2;
: e03 = ¡e1 + e2 + e3:
2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:
Ax = (4x1 ¡ 3x2 ¡ 2x3; x1; x1 + 2x42 + 3x3); Bx = (4x1 ¡ 3x2 ¡ 2x3; x1; x1 + 2x2 + 3x3);
Cx = (4x1 ¡ 3x2 ¡ 2x3; x1; x1 + 2x2 + 3):
3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти (A2 ¡ B)x.
4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-
ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå
e0 |
2 |
= |
e1 + e2 |
2e3; |
AÁ = |
0 4 |
1 |
0 |
1 : |
||
e0 |
1 |
= e1 ¡ e2 + e3; |
|
B |
0 |
2 |
3 |
C |
|||
e03 |
= |
¡e1 + 2e2¡+ e3: |
|
2 |
1 |
2 |
|||||
|
|
|
¡ |
|
|
@ |
|
¡ |
¡ |
|
A |
5.Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора проектирования на плоскость Oyz.
6.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
01
A = |
B |
3 |
¡1 |
1 |
C |
|
0 |
1 |
2 |
|
|||
@ |
0 |
2 |
¡1 |
A |
: |
|
|
|
¡ |
|
|
Семестровая по линейным операторам Вариант 4
1. Найти координаты вектора x = (2; 4; 1) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).
8
>< e01 = e1 + e2 + 3=2e3;
> e02 = 3e1 ¡ e2;
: e03 = ¡e1 + e2 + e3:
2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:
Ax = (3x1 + 2x2 + x3; x3; 2x1 ¡ 3x2 ¡ 4x3);
Bx = (3x1 + 2x2 + x3; 1; 2x1 ¡ 3x2 ¡ 4); Cx = (3x1 + 2x2 + x3; x3; 2x41 ¡ 3x2 ¡ 4x3):
3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти B4x.
4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-
ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå
e0 |
2 |
= |
e1 + e2 |
2e3; |
AÁ = |
0 3 |
0 |
1 1 : |
||
e0 |
1 |
= e1 ¡ e2 + e3; |
|
B |
1 |
2 |
0 |
C |
||
e03 |
= |
¡e1 + 2e2¡+ e3: |
|
2 |
1 |
¡1 |
||||
|
|
|
¡ |
|
|
@ |
|
|
¡ |
A |
5.Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора зеркального отражения относительно плоскости x ¡ z = 0.
6.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
A = |
0 |
0 |
4 |
1 |
1 |
: |
|
B |
5 |
¡1 |
¡1 |
C |
|
|
0 |
1 |
4 |
|
||
|
@ |
|
¡ |
¡ |
A |
|
|
|
|
|
Семестровая по линейным операторам Вариант 5
1. Найти координаты вектора x = (6; 3; 1) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).
8
>< e01 = e1 + e2 + 4=3e3;
> e02 = 4e1 ¡ e2;
: e03 = ¡e1 + e2 + e3:
2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:
Ax = (x1; x1 ¡ 2x2 ¡ 3; 4x1 ¡ 5x2 ¡ 6);
Bx = (x1; x1 ¡ 2x2 ¡ 3x3; 4x41 ¡ 5x2 ¡ 6x3); Cx = (x1; x1 ¡ 2x2 ¡ 3x3; 4x1 ¡ 5x2 ¡ 6x3):
3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти B2x.
4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-
ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå
e0 |
2 |
= |
e1 + e2 |
2e3; |
AÁ = 0 3 |
0 |
2 1 |
: |
|||
e0 |
1 |
= e1 ¡ e2 + e3; |
B |
2 |
0 |
1 |
C |
|
|||
e03 |
= |
¡e1 + 2e2¡+ e3: |
|
1 1 |
2 |
|
|||||
|
|
|
¡ |
|
@ |
¡ |
|
|
|
A |
|
5.Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора зеркального отражения относительно плоскости Oxy.
6.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
01
A = |
B |
6 |
¡2 |
¡1 |
C |
|
1 |
2 |
4 |
|
|||
@ |
¡1 |
5 |
¡1 |
A |
: |
|
|
|
¡ |
|
|
Семестровая по линейным операторам Вариант 6
1. Найти координаты вектора x = (1; 4; 8) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).
8
>< e01 = e1 + e2 + 5e3;
> e02 = 5=4e1 ¡ e2;
: e03 = ¡e1 + e2 + e3:
2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:
Ax = (2x1 + x2; x2 ¡ 2x3; 3x1 ¡ 4x22 ¡ 5x3); Bx = (2x1 + x2; x2 ¡ 2x3; 3x1 ¡ 4x2 ¡ 5x3);
Cx = (2x1 + x2; x2 ¡ 2; 3x1 ¡ 4x2 ¡ 5):
3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти (2A + 3B2)x.
4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-
ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå
e0 |
2 |
= ¡e1 + e2 |
2e3; |
AÁ = |
0 2 |
1 |
¡1 1 |
: |
||||
e0 |
1 |
= e1 ¡ e2 + e3; |
|
B |
3 |
3 |
2 |
C |
|
|||
e03 |
= |
|
e1 + 2e2¡+ e3: |
|
0 |
1 2 |
|
|||||
|
|
|
¡ |
|
|
|
@ |
|
¡ |
|
A |
|
5.Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора поворота относительно оси Ox íà óãîë ¼=2 в положительном направлении.
6.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
01
A = |
B |
3 |
1 |
¡1 |
C |
|
2 |
1 |
4 |
|
|||
@ |
2 |
2 |
¡1 |
A |
: |
|
|
¡ |
|
|
|
Семестровая по линейным операторам Вариант 7
1. Найти координаты вектора x = (8; 4; 1) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).
8
>< e01 = e1 + e2 + 5=4e3;
> e02 = 5e1 ¡ e2;
: e03 = ¡e1 + e2 + e3:
2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:
Ax = (x1; x1 + 2x2 + 3x3; 4x1 + 5x2 + 6x3);
Bx = (x1; x1 + 2x2 + 3; 4x1 + 5x2 + 6);
Cx = (x1; x1 + 2x2 + 3x3; 4x41 + 5x2 + 6x3):
3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти (A2 + B2)x.
4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-
ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå
e0 |
2 |
= |
e1 + e2 |
2e3; |
AÁ = |
0 2 |
1 |
1 1 |
: |
||
e0 |
1 |
= e1 ¡ e2 + e3; |
|
B |
1 |
3 |
0 |
C |
|
||
e03 |
= |
e1 + 2e2¡+ e3: |
|
0 |
2 |
1 |
|
||||
|
|
|
¡ |
|
|
@ |
|
|
¡ |
A |
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
5.Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора проектирования на плоскость x ¡ y = 0.
6.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
01
A = |
B |
2 |
0 |
¡1 |
C |
|
1 |
0 |
2 |
|
|||
@ |
1 |
1 |
¡1 |
A |
: |
|
|
¡ |
|
|
|
Семестровая по линейным операторам Вариант 8
1. Найти координаты вектора x = (2; 5; 10) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).
8
>< e01 = e1 + e2 + 6e3;
> e02 = 6=5e1 ¡ e2;
: e03 = ¡e1 + e2 + e3:
2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:
Ax = (3x1 ¡ 2x2 ¡ x3; 1; x1 + 2x2 + 3); Bx = (3x1 + 2x2 ¡ x3; 0; x31 + 2x2 + 3x3); Cx = (3x1 + 2x2 ¡ x3; x3; x1 + 2x2 + 3x3):
3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти (B2 + A)x.
4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-
ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå
e0 |
2 |
= |
e1 + e2 |
2e3; |
AÁ = |
0 3 |
0 |
2 1 |
: |
||
e0 |
1 |
= e1 ¡ e2 + e3; |
|
B |
2 |
1 |
2 |
C |
|
||
e03 |
= |
¡e1 + 2e2¡+ e3: |
|
1 |
0 |
1 |
|
||||
|
|
|
¡ |
|
|
@ |
|
|
|
A |
|
5.Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора проектирования на плоскость y + z = 0.
6.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
01
2 |
1 |
0 |
C : |
A = B 11 |
1 |
3 |
|
@ ¡ |
2 |
0 |
A |
|
|
Семестровая по линейным операторам Вариант 9
1. Найти координаты вектора x = (10; 5; 1) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).
8
>< e01 = e1 + e2 + 6=5e3;
> e02 = 6e1 ¡ e2;
: e03 = ¡e1 + e2 + e3:
2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:
Ax = (2x1 ¡ x2; x3; x1 + 2x2 + 3x43);
Bx = (2x1 ¡ x2; x3; x1 + 2x2 + 3x3); Cx = (2x1 ¡ x2; 1; x1 + 2x2 + 3):
3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти BAx.
4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-
ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå
e0 |
2 |
= |
e1 + e2 |
2e3; |
AÁ = 0 4 |
0 |
1 1 |
: |
|||
e0 |
1 |
= e1 ¡ e2 + e3; |
B |
0 |
1 |
2 |
C |
|
|||
e03 |
= |
¡e1 + 2e2¡+ e3: |
1 |
2 |
1 |
|
|||||
|
|
|
¡ |
|
@ |
¡ |
¡ |
|
|
A |
|
5.Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора зеркального отражения относительно плоскости x + y = 0.
6.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
01
4 |
1 |
0 |
C : |
A = B 11 |
1 |
5 |
|
@ ¡ |
4 |
0 |
A |
|
|
Семестровая по линейным операторам Вариант 10
1. Найти координаты вектора x = (1; 6; 12) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).
8
>< e01 = e1 + e2 + 7e3;
> e02 = 7=6e1 ¡ e2;
: e03 = ¡e1 + e2 + e3:
2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:
Ax = (x3; 2x1 + 3x2 + 4x3; 5x1 + 6x2 + 7x3);
Bx = (x3; 2x1 + 3x2 + 4; 5x1 + 6x2 + 7); Cx = (x3; 0; 5x41 + 6x2 + 7x3):
3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти B(2A ¡ B)x.
4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-
ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå
e0 |
2 |
= |
e1 + e2 |
2e3; |
AÁ = |
0 0 |
|
1 |
1 1 |
: |
||
e0 |
1 |
= e1 ¡ e2 + e3; |
|
B |
1 |
1 |
0 |
C |
|
|||
e03 |
= |
e1 + 2e2¡+ e3: |
|
2 |
3 |
1 |
|
|||||
|
|
|
¡ |
|
|
@ |
|
¡ |
|
|
A |
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
5.Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора зеркального отражения относительно плоскости y ¡ z = 0.
6.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
01
A = |
B |
5 |
1 |
¡1 |
C |
|
¡2 |
1 |
6 |
|
|||
@ |
2 |
4 |
¡1 |
A |
: |
|
|
¡ |
|
|
|
Семестровая по линейным операторам Вариант 11
1. Найти координаты вектора x = (¡12; 6; 1) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).
8
>< e01 = e1 + e2 + 7=6e3;
> e02 = 7e1 ¡ e2;
: e03 = ¡e1 + e2 + e3:
2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:
Ax = (6x1 ¡ 5x2 ¡ 4x3; 3x1 ¡ 2x2 ¡ x3; 0);
Bx = (6x1 ¡ 5x2 ¡ 4; 3x1 ¡ 2x2 ¡ x3; 0); Cx = (6x1 ¡ 5x2 ¡ 4x3; 3x1 ¡ 2x2 ¡ x33; 0):
3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти A(2B ¡ A)x.
4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-
ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå
e0 |
2 |
= |
e1 + e2 |
2e3; |
AÁ = |
0 0 |
0 |
2 |
1 : |
|
e0 |
1 |
= e1 ¡ e2 + e3; |
|
B |
2 |
1 |
1 |
C |
||
e03 |
= |
¡e1 + 2e2¡+ e3: |
|
1 |
3 |
1 |
||||
|
|
|
¡ |
|
|
@ |
|
|
¡ |
A |
5.Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора проектирования на плоскость x + y = 0.
6.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
A = |
0 |
2 |
1 |
2 |
1 |
: |
|
B |
5 |
¡4 |
4 |
C |
|
|
2 |
0 |
3 |
|
||
|
@ |
|
|
|
A |
|
Семестровая по линейным операторам Вариант 12
1. Найти координаты вектора x = (¡1; 7; 14) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).
8
>< e01 = e1 + e2 + 8e3;
> e02 = 8=7e1 ¡ e2;
: e03 = ¡e1 + e2 + e3:
2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:
Ax = (5x1 ¡ 4x2 ¡ 3; 2x1 ¡ x2; x23);
Bx = (5x1 ¡ 4x2 ¡ 3x3; 2x1 ¡ x2; 1);
Cx = (5x1 ¡ 4x2 ¡ 3x3; 2x1 ¡ x2; x3):
3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти 2(AB + 2A)x.
4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-
ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå
e0 |
2 |
= |
|
e1 + e2 |
2e3; |
AÁ = |
0 1 |
1 |
0 |
1 : |
||
e0 |
1 |
= e1 ¡ e2 + e3; |
|
B |
3 |
0 |
1 |
C |
||||
e03 |
= |
¡ |
e1 + 2e2¡+ e3: |
|
2 |
1 |
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
@ |
|
¡ |
¡ |
|
A |
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
5.Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора проектирования на плоскость x ¡ z = 0.
6.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
A = |
0 |
2 |
¡1 |
2 |
1 |
: |
|
B |
3 |
2 |
2 |
C |
|
|
2 |
¡2 |
3 |
|
||
|
@ |
|
¡ |
|
A |
|
Семестровая по линейным операторам Вариант 13
1. Найти координаты вектора x = (¡3; 2; 4) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).
8
>< e01 = e1 + e2 ¡ e3;
> e02 = 1=2e1 ¡ e2;
: e03 = ¡e1 + e2 + e3:
. 2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:
Ax = (4x1 ¡ 3x2 ¡ 2x3; x21; x2 + 2x3);
Bx = (4x1 ¡ 3x2 ¡ 2x3; x1; x2 + 2x3); : Cx = (4x1 ¡ 3x2 ¡ 2; x1; x2 + 2):
3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти (A ¡ B)2x.
4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-
ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå
e0 |
2 |
= |
e1 + e2 |
2e3; |
AÁ = 0 0 |
2 |
0 1 |
: |
|||
e0 |
1 |
= e1 ¡ e2 + e3; |
B |
1 |
2 |
1 |
C |
|
|||
e03 |
= |
¡e1 + 2e2¡+ e3: |
|
1 1 |
1 |
|
|||||
|
|
|
¡ |
|
@ |
¡ |
|
|
|
A |
|
5.Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора зеркального отражения относительно плоскости x + z = 0.
6.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
A = |
0 |
0 |
3 |
0 |
1 |
: |
|
B |
3 |
¡2 |
2 |
C |
|
|
0 |
2 |
1 |
|
||
|
@ |
|
|
|
A |
|
Семестровая по линейным операторам Вариант 14
1. Найти координаты вектора x = (2; 4; 3) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).
8
>< e01 = e1 + e2 + 1=2e3;
> e02 = ¡e1 ¡ e2;
: e03 = ¡e1 + e2 + e3:
. 2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:
Ax = (3x1 + 2x2 + x3; 0; x1 ¡ 2x2 ¡ 3x3);
Bx = (3x1 + 2x2 + 1; 0; x1 ¡ 2x2 ¡ 3); : Cx = (3x1 + 2x2 + x3; 0; x21 ¡ 2x2 ¡ 3x3):
3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти (B ¡ 2A2)x.
4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-
ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå
e0 |
2 |
= |
e1 + e2 |
2e3; |
AÁ = |
0 0 |
2 |
1 1 |
: |
|||
e0 |
1 |
= e1 ¡ e2 + e3; |
|
B |
1 |
1 |
2 |
C |
|
|||
e03 |
= |
¡e1 + 2e2¡+ e3: |
|
1 |
|
1 |
0 |
|
||||
|
|
|
¡ |
|
|
@ |
|
¡ |
|
|
A |
|
5.Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора поворота относительно оси Oz в положительном направлении на угол ¼=2.
6.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
A = |
0 |
0 |
5 |
0 |
1 |
: |
|
B |
5 |
¡2 |
2 |
C |
|
|
0 |
2 |
3 |
|
||
|
@ |
|
|
|
A |
|
Семестровая по линейным операторам |
Семестровая по линейным операторам |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Вариант 15 |
|
|
|
|
|
|
Вариант 16 |
|
||||||||||
1. Найти координаты вектора x = (2; 6; ¡3) â áà- |
1. Найти координаты вектора x = (12; 3; ¡1) â |
|||||||||||||||||||||
çèñå (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3). |
базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3). |
|||||||||||||||||||||
|
|
8 e0 |
2 |
= 2=3e1 |
|
|
e2; |
|
|
|
8 e0 |
2 |
= 2e1 |
|
e2; |
|
||||||
|
|
> |
e0 |
1 |
= e1 + e2 |
¡ 2e3 |
; |
|
|
> |
e0 |
1 |
= e1 + e2 + 2=3e3; |
|||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
¡ |
|
|
|||
|
|
< e0 |
3 |
¡ |
e1 + e2 + e3: |
|
|
< e0 |
3 |
= e1 + e2 + e3: |
||||||||||||
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
. |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейны- |
2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейны- |
|||||||||||||||||||||
ми следующие преобразования: |
|
ми следующие преобразования: |
|
|||||||||||||||||||
|
Ax = (x1; x2 ¡ 2x3; 3x1 ¡ 4x2 ¡ 5); |
|
Ax = (2x1 + x2; x32; 2x1 ¡ 3x2 ¡ 4x3); |
|||||||||||||||||||
|
Bx = (x1; x22 ¡ 2x3; 3x1 ¡ 4x2 ¡ 5); : |
|
Bx = (2x1 + x2; x3; 2x1 ¡ 3x2 ¡ 4x3); : |
|||||||||||||||||||
|
Cx = (x1; x2 ¡ 2x3; 3x1 ¡ 4x2 ¡ 5x3): |
|
Cx = (2x1 + x2; x3; 2x1 ¡ 3x2 ¡ 4): |
|||||||||||||||||||
3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + |
3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + |
|||||||||||||||||||||
x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти BA2x. |
x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти (3A2 + B)x. |
|||||||||||||||||||||
4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè- |
4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè- |
|||||||||||||||||||||
ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), |
ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), |
|||||||||||||||||||||
ãäå |
|
= e1 + e2 |
|
2e3; AÁ = 0 |
2 0 1 1 : |
ãäå |
|
= e1 |
+ e2 |
2e3; |
|
AÁ = 0 1 0 1 1 : |
||||||||||
e0 |
2 |
|
e0 |
2 |
|
|||||||||||||||||
e0 |
1 |
= e1 ¡ e2 |
+ e3; |
|
|
|
B |
1 1 1 |
e0 |
1 |
= e1 ¡ e2 + e3; |
|
|
B |
1 1 3 |
|||||||
e03 |
= ¡e1 + 2e2¡+ e3: |
|
|
0 1 1 C |
e03 |
= ¡e1 + 2e2¡+ e3: |
|
|
2 0 1 C |
|||||||||||||
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
@ |
A |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
@ |
A |
5. Доказать линейность, найти матрицу, область |
5. Доказать линейность, найти матрицу, область |
|||||||||||||||||||||
значений и ядро оператора зеркального отражения |
значений и ядро оператора поворота относительно |
|||||||||||||||||||||
относительно плоскости Oxz. |
|
|
|
îñè Oy в положительном направлении на угол ¼=2. |
||||||||||||||||||
6. Найти собственные значения и собственные |
6. Найти собственные значения и собственные |
|||||||||||||||||||||
векторы матрицы |
|
0 2 3 2 1 |
|
векторы матрицы |
|
|
0 4 1 4 1 |
|
||||||||||||||
|
|
A = |
: |
|
|
|
A = |
: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
B |
7 ¡4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
¡6 |
6 |
|
|||
|
|
|
|
|
2 0 5 C |
|
|
|
|
|
|
|
B 4 |
¡2 5 C |
|
|||||||
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
@ |
¡ |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Семестровая по линейным операторам Вариант 17
1. Найти координаты вектора x = (1; ¡4; 8) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).
8
>< e01 = e1 + e2 ¡ 3e3;
> e02 = 3=4e1 ¡ e2;
: e03 = ¡e1 + e2 + e3:
. 2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:
Ax = (x1; x2 + 2x3; 3x1 + 4x2 + 5x3);
Bx = (x1; x2 + 2x3; 3x1 + 4x2 + 5); :
Cx = (x1; x22 + 2x3; 3x1 + 4x2 + 5x3):
3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти (A2 + B)x.
4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-
ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå
e0 |
2 |
= e1 + e2 |
2e3; |
AÁ |
= 0 0 1 |
2 1 : |
|||||
e0 |
1 |
= e1 ¡ e2 + e3; |
|
|
|
|
1 0 |
1 |
|||
e03 |
= ¡e1 + 2e2¡+ e3: |
|
|
B 3 |
¡1 |
1 C |
|||||
|
|
¡ |
|
|
|
|
@ |
¡ |
A |
||
5. Доказать линейность, найти матрицу, область |
|||||||||||
значенийp |
|
и ядро оператора. |
проектирования на плос- |
||||||||
кость |
|
3y + z = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Найти собственные значения и собственные |
||||||||||
векторы матрицы |
0 |
2 |
|
3 |
2 |
1 : |
|
|
|||
|
|
|
A = |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
B |
7 |
¡6 |
6 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
3 |
|
|
||
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
A |
|
|
Семестровая по линейным операторам Вариант 18
1. Найти координаты вектора x = (1; 4; ¡8) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).
8
>< e01 = e1 + e2 ¡ 3e3;
> e02 = 3=4e1 ¡ e2;
: e03 = ¡e1 + e2 + e3:
. 2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:
Ax = (3x1 ¡ 2x2 ¡ 1; 0; x1 + 2x2 + 3x3); Bx = (3x21 ¡ 2x2 ¡ x3; 0; 0); : Cx = (3x1 ¡ 2x2 ¡ x3; 0; x1 + 2x2 + 3x3):
3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти (A2 ¡ B2)x.
4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-
ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå
e0 |
2 |
= ¡e1 + e2 |
2e3; |
AÁ = |
0 3 |
0 |
¡1 1 |
: |
||||
e0 |
1 |
= e1 ¡ e2 + e3; |
|
B |
1 |
0 |
2 |
C |
|
|||
e03 |
= |
|
e1 + 2e2¡+ e3: |
|
1 |
2 1 |
|
|||||
|
|
|
¡ |
|
|
|
@ |
|
¡ |
|
A |
|
5.Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора поворота относительно оси Oz в положительном направлении на угол ¼=4.
6.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
01
A = |
B |
13 |
2 |
¡2 |
C |
|
2 |
2 |
5 |
|
|||
@ |
6 |
9 |
¡6 |
A |
: |
|
|
|
¡ |
|
|
Семестровая по линейным операторам Вариант 19
1. Найти координаты вектора x = (7; ¡5; 10) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).
8
>< e01 = e1 + e2 ¡ 4e3;
> e02 = 4=5e1 ¡ e2;
: e03 = ¡e1 + e2 + e3:
. 2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:
Ax = (2x21 ¡ x2; x3; 2x2 + 3x3);
Bx = (2x1 ¡ x2; x3; 2x2 + 3x3); : Cx = (2x1 ¡ x2; x3; 2x2 + 3):
3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти (2B ¡ A2)x.
4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-
ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå
e0 |
2 |
= |
e1 + e2 |
2e3; |
AÁ = |
0 1 |
|
1 |
1 1 |
: |
||
e0 |
1 |
= e1 ¡ e2 + e3; |
|
B |
2 |
0 |
0 |
C |
|
|||
e03 |
= |
e1 + 2e2¡+ e3: |
|
1 2 |
1 |
|
||||||
|
|
|
¡ |
|
|
@ ¡ |
¡ |
|
|
A |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
5. Доказать линейность, найти матрицу, область значений иpÿдро оператора проектирования на плоскость y + 3z = 0.
6. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
01
A = |
B |
4 |
0 |
¡1 |
C |
|
1 |
1 |
2 |
|
|||
@ |
2 |
3 |
¡2 |
A |
: |
|
|
|
¡ |
|
|
Семестровая по линейным операторам Вариант 20
1. Найти координаты вектора x = (5; ¡5; ¡4) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).
8
>< e01 = e1 + e2 + 4=5e3;
> e02 = ¡4e1 ¡ e2;
: e03 = ¡e1 + e2 + e3:
. 2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:
Ax = (0; x1 + 2x2 + 3x3; 4x1 + 5x2 + 6x3);
Bx = (0; x1 + 2x2 + 3x3; 4x1 + 5x2 + 6); : Cx = (0; x21 + 2x2 + 3x3; 4x1 + 5x2 + 6x3):
3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти B3x.
4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-
ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå
e0 |
2 |
= e1 + e2 |
|
2e3; |
|
AÁ = |
0 1 |
1 |
1 1 : |
|||
e0 |
1 |
= e1 ¡ e2 + e3; |
|
|
|
B |
1 |
1 |
0 |
|||
e03 |
= ¡e1 + 2e2¡+ e3: |
|
|
|
0 |
2 |
1 C |
|||||
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
@ |
|
|
A |
5. Доказать линейность, найти матрицу, область |
||||||||||||
значенийp |
|
и ядро оператора. |
проектирования на плос- |
|||||||||
кость |
3x + z = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. Найти собственные значения и собственные |
||||||||||||
векторы матрицы |
0 |
1 |
2 |
¡1 |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
A = |
: |
|
|
||||||
|
|
|
|
B |
2 |
1 |
1 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
@ |
|
|
|
¡ |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|