- •Геометрия. (Векторы. Метод координат)
- •Глава 1. Векторы
- •§1. Понятие вектора
- •§ 2. Операции над векторами
- •§3. Проектирование и разложение векторов
- •§4. Векторные пространства. Координаты вектора.
- •§5. Скалярное умножение векторов
- •§6. Ориентация плоскости и пространства
- •§7. Смешанное произведение векторов
- •§8. Векторное произведение векторов
- •Глава 2. Метод координат. Прямая на плоскости.
- •§9. Аффинные координаты
- •Покажите сами, что в случае плоскости формулы (9.5) приобретают вид
- •§10. Деление отрезка в данном отношении.
- •§11. Полярные координаты.
- •§12. Задание фигур в координатах.
- •§13. Различные виды уравнений прямой на плоскости.
- •§14. Общее уравнение прямой на плоскости.
- •§15. Метрические задачи теории прямых на плоскости.
- •Глава 3. Прямая и плоскость в пространстве.
- •§16. Различные виды уравнений плоскости.
- •§17. Общее уравнение плоскости.
- •§18. Различные виды уравнений прямой в пространстве.
- •§19. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
- •§20. Метрические задачи о прямых и плоскостях в пространстве.
§15. Метрические задачи теории прямых на плоскости.
Метрическими называются задачи, в которых требуется найти расстояния или углы. Далее все рассматриваемые системы координат предполагаются прямоугольными декартовыми. На произвольные АСК полученные результаты не распространяются.
1. Нормальный вектор прямой. Нормальным вектором n прямой l называется направляющий вектор перпендикуляра к этой прямой (пишут: nl). Поскольку на плоскости все перпендикуляры к данной прямой параллельны, все нормальные векторы данной прямой на плоскости коллинеарны19. Из определения следует также, что нормальный вектор прямой – обязательно ненулевой. Наконец, понятно, что прямая l на плоскости однозначно задается своими точкой и нормальным вектором.
(15.1) Теорема. Уравнение прямой l, заданной точкой М0(х0,у0) и нормальным вектором n(a,b), имеет вид
(15.2) А(х–х0) + В(у–у0) = 0
М(х,у) l M0M n M0Mn = 0 А(х–х0) + В(у–у0) = 0.
(15.3) Теорема. Если прямая l задана уравнением Ах+Ву+С = 0, то вектор n(A,B) является нормальным к ней.
Возьмем любую точку М0(х0,у0) l. По лемме 14.4 уравнение Ах+Ву+С = 0 равносильно уравнению (15.2). Но в уравнении (15.2) А и В – координаты нормального вектора.
2. Расстояние от точки до прямой. (15.4) Задача. Найти расстояние d(M1,l) от точки М1(х1,у1) до прямой l: Ах+Ву+С = 0.
Пусть М0(х0,у0) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М1 на прямую l. Вектор М0М1 коллинеарен нормальному вектору n(A,B) прямой l. Поэтому |М0М1n| = |М0М1||n|, откуда d(M1,l) = |М0М1| = |М0М1n|/|n| = |А(х1–х0) + В(у1–у0)|/|n|. Но по лемме 14.4 имеем А(х1–х0) + В(у1–у0) = Ах1+Ву1+С. Следовательно,
(15.5) d(M1,l) = .
Если А2+В2 = 1, формула (15.5) приобретает особенно простой вид:
(15.6) d(M1,l) = |Ах1 + Ву1 + С|
В этом случае общее уравнение прямой (14.1) называется нормальным. К нормальному виду можно привести любое уравнение (14.1), разделив обе его части на .
3
(15.7) Лемма. Если прямые а и b пересекаются в точке О, а точки А и В, отличные от О, лежат на а и b соответственно, то ориентированный угол АОВ либо равен ориентированному углу между прямыми а и b, либо отличается от него на .
Если |AOB| /2, то ориентированный угол АОВ по определению равен ориентированному углу между прямыми а и b. Если же |AOB| > /2, то ориентированный угол между прямыми а и b равен СOВ, где точка С симметрична точке А относительно точки О. В этом случае СOB = СOА + АOВ = + AOВ (рис. 36).
Теперь мы можем вывести формулу для величины ориентированного угла между прямыми l1: А1 х+В1у+С1 = 0 и l2: А2 х+В2у+С2 = 0. Для этого проведем через начало координат параллельные им прямые m1: А1 х+В1у = 0 и m2: А2 х+В2у = 0 и возьмем точки N(1,0)Ох, М1(–В1,А1)m1 и М2(–В2,А2)m2. По лемме 15.7 ориентированный угол M1OM2 равен или отличается от на . В обоих случаях
tg = tgM1OM2 = = = = =
= .
Упростив последнее выражение, окончательно получаем:
(15.8) tg = .
Формула (15.8) не имеет смысла, если прямые l1 и l2 перпендикулярны. В этом случае cosM1OM2 = 0. Выражая косинус через А1, В1, А2, В2, после упрощения получаем признак перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравнениями:
(15.9) В1В2+А1А2 = 0.
4. Угловой коэффициент прямой. Пусть в общем уравнении Ах+Ву+С = 0 прямой l коэффициент В не равен 0 (т.е., прямая l не параллельна оси ординат). Тогда из этого уравнения можно выразить у: у = . Коэффициенты –А/В и –С/В по традиции обозначаются буквамиk и b. Число k называется угловым коэффициентом прямой l. Мы показали, что любую прямую, не параллельную оси ординат, можно задать уравнением с угловым коэффициентом:
(15.10) у = kx + b.
Углом наклона прямой называется ориентированный угол между осью абсцисс и этой прямой.
(15.11) Теорема. Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла ее наклона.
Рассмотрим прямую m: Ах + Ву = 0, проходящую через начало координат параллельно l. Угол наклона у нее такой же, как у m. Возьмем на прямой l точку М0(х0,у0) так, чтобы ориентированный угол между вектором ОМ0 и осью абсцисс равнялся . Тогда х0 = |ОМ0|cos и у0 = |ОМ0|sin, откуда |ОМ0|(Аcos+Вsin) = 0. Из последнего равенства находим, что k = –A/B = sin/cos = tg.
В заключение отметим, что с помощью угловых коэффициентов можно несколько упростить некоторые выведенные ранее формулы (правда, после этого их нельзя будет применять к прямым, параллельным оси ординат). Так уравнение центрального пучка прямых (14.5) делением на В приводится к виду
(15.12) у–у0 = k(x–x0),
формула (15.8) для ориентированного угла между прямыми делением числителя и знаменателя правой части на В1В2 – к виду
(15.13) tg = ,
а признак перпендикулярности (15.9) делением на В1В2 – к виду
(15.14) k1k2 = –1 .