Задания к экзамену по математике 2 семестр
.pdfЗадания к экзамену по математике 2 семестр
I. Функции нескольких переменных
1. |
Найти частные производные первого и второго порядков: |
|||||
|
1. |
= arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
2. = ln2( 2 + 2) |
|
|
|||
|
3. = 3 2 + 3 − 4 3 4 + 8 |
|
||||
2. |
Экстремумы функции нескольких переменных |
|||||
|
1. |
Исследовать на экстремум функцию = 3 + 3 − 3 |
||||
|
2. |
Найти экстремум функции = 2 − 2 при условии = 2 − 6. |
||||
|
3. |
Найти экстремумы функции = + 2 при условии 2 + 2 = 5 |
||||
|
4. |
Найти наибольшее и наименьшее значения функции = 2 + 2 − + + в области, |
||||
|
ограниченной линиями = 0, = 0, + = −3 |
|||||
3. |
Найти градиент функции z xy |
2 |
2x в точке С(–1;1) |
|||
|
||||||
4. |
Найти частную производную функции z x3 sin y по переменной y в точке М(1;0) |
|||||
II. Интегралы: |
|
|
||||
1. |
Вычислить неопределенные интегралы: |
1. |
|
|
2. |
|
|
|
3. |
|
|
|
4. |
|
|
|
5. |
|
|
|
6. |
|
|
3 |
3 |
|
x |
2 |
2x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3 2xdx |
|
||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||
9x |
2 |
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
x |
2 |
|
4x 13 |
|
|||||||
|
|
|
|||||||||
(1 |
3x) |
4 |
dx |
|
|||||||
|
|
||||||||||
e |
2 x 7 |
dx |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
3 |
x |
|
||
|
|
|
dx |
||||
7. |
cos |
2 |
x |
||||
|
|
|
|
||||
(3x 1) cos( x 4)dx |
|||||||
8. |
|||||||
ln(x 5)dx |
|||||||
9. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
xdx
10. e3 x 2 1
2. Вычислить определенные интегралы:
|
8 |
|
|
|
|
|
|||||
1. ∫ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
√1 + |
|
|
|
||||||
|
/2 |
|
|
|
|||||||
2. ∫ cos |
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
√1 + ln |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычислить несобственный интеграл |
|
|
|
||||||||
arctgxdx |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
1 x2 |
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: y x 2 |
6x 8, |
y x 2 |
4x . |
III. Дифференциальные уравнения: |
|
|
|
|
|||||
1. |
Проверить, является ли функция y ln x решением дифференциального уравнения |
||||||||
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
2. |
При каком k функция y |
|
является решением дифференциального уравнения y |
|
|||||
4 |
|||||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
Проверить, является ли решением дифференциального уравнения |
xy |
|
y 0 при |
|
||||
|
|
xy(2k y( 1)
y
ln x 1. |
||
3)x |
3 |
? |
|
||
2 функция |
у 2х . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Найти общее решение дифференциального уравнения cos ydy |
dx |
. |
||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
5. |
Чему равен порядок дифференциального уравнения |
2 y |
у |
7х |
4 |
? |
|||
|
|
|
6.Решить дифференциальные уравнения 1 порядка
1.′ sin − cos = 0
2.2 √1 − 2 = ′ + 2 ′
3.′ cos − sin = 2
|
4. |
′ − tg = |
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
cos3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5. ′ ln − = 3 2 ln2 |
|
|
|
||||||
7. |
Решить дифференциальное уравнение высших порядков: |
|
|
|
||||||
|
1. |
′′′ − ′ = 0, (0) = 3, ′(0) = −1, ′′(0) = 1 |
|
|
|
|||||
|
2. |
′′ − 10 ′ + 25 = 3sin |
|
|
|
|||||
|
3. |
′′ + 4 = 2 |
|
|
|
|||||
|
4. ′′ + 3 ′ + 2 = 4 + 1 |
|
|
|
||||||
|
5. |
′′′ = |
1 |
+ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
||
8. |
Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения |
y |
||||||||
|
||||||||||
9. |
Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y 5 |
10. По виду правой части написать частное решение дифференциального уравнения |
y |
|
|
y
6 y 0 .
6 y 0 .
х |
2 |
. |
IV. Ряды
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Найти сумму числового ряда |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n 1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Найти частичную сумму первых пяти членов числового ряда: 10; 11; 12;… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
Проверить выполнение необходимого признака сходимости для ряда |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
n |
||
4. |
При помощи признака Даламбера исследовать на сходимость знакоположительный ряд |
|
|
|
||||||||||||||||||||
n |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
Исследовать на абсолютную сходимость ряд |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. |
Найти область сходимости степенного ряда (x 2) |
|
x 2 2 |
|
|
x 2 3 |
... |
x 2 n |
... |
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
|
|
5 |
2n 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. |
Найти чему равен радиус сходимости степенного ряда |
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Радиус сходимости степенного ряда a0 x n равен 9. Написать его интервал сходимости.
n 1
.