Многочлены.

Комплексное число z₀называется корнем многочленаP(z), еслиP(z₀)=0.

Теорема Безу.Числоz₀,будет корнем многочленаP(z) степениn>=1, тогда и только тогда, когдаP(z) делится на (z-z₀) без остатка.

Док-во. P(z)=H(z)(z-z₀)+R(z), гдеH(z) – многочлен степени (n-1), а остатокR(z) – многочлен степени 1, т.е.degR=0, т.е.R(z)=C. Итак,P(z)=(z-z₀)H(z)+C;

z=z₀,P(z₀)=0+C=C;P(z)=(z-z₀)H(z)+P(z₀)

z₀– корень многочленаP(z₀)=(z-z₀)H(z), т.е.P(z) делится на (z-z₀) без остатка.

Следствие.Пустьz₀– корень многочленаP(z) степениn>=1, тогда существует натуральное числоl, 1<=l<=n, такое чтоP(z) можно записать в видеP(z)=(z-z₀)H(z), гдеdegH=n-l,H(z₀)<>0.

Теорема (Основная теорема алгебры).Всякий многочленP(z) степениn>=1 имеет хотя бы один корень.

Следствие основной теоремы алгебры. Всякий многочленP(z) степениn>=1 имеет ровноnкорней с учётом их кратности и для него справедливо разложение на линейные множители.P(z)=P_n(z-z₁)^m1…(z-z_s)^ms, гдеz₁…z_sразличные корни многочлена (z_k<>z_lприk<>l), m₁,…,m_sкратности этих корней (1<=s<=n) иm₁+…+m_s=n,P_n– старший коэффициент приZⁿ.

Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.

Пусть P(z)=P0+P1z+…+PnZⁿмногочлен степениn>1 (т.е.Pn<>0) с вещественными коэффициентамиP0,P1,…,Pn. Следовательно есть разложение на линейные множители.P(z)=P_n(z-z₁)^m1…(z-z_s)^ms,m₁+…+m_s=n,zk<>zlприk<>l. Коэффициенты вещественные, но среди корней могут быть комплексные. Отметим, что комплексные корни входят сопряжёнными парами, т.е. еслиz₀=+,<>0 – корень кратностиl, тоz₀(сопряж. число)=-iтоже корень кратностиl.

Алгебра матриц.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая mстрок одинаково длины (илиnстолбцов одинаковой длины).

Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц.

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором.

Матрица, полученная из данной заменой каждой её строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированнойк данной.

Суммойдвух матрицAи В называется матрица С такая, чтоcij=aij+bij.

Разностьюдвух матрицAи В называется матрица С такая, чтоcij=aij-bij.

Произведениемматрицы А на числоkназывается матрица В такая, чтоbij=k*aij.

Матрица –A=(-1)*Aназываетсяпротивоположной матрице А.

Разность матриц можно определить как: А-В=А+(-В).

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:

• А+В=В+А;

• A+(B+C)=(A+B)+C;

• A+0=A;

• A-A=0;

• 1*A=A;

• *(A+B)=*A+*B;

• (+)*A=*A+*B

• *(A)=( )A.

Элементарные преобразования матриц:

• перестановка метами двух параллельных рядов матрицы;

• умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;

• прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одно из них получается из другой с помощью элементарных преобразований.

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведениемматрицы А(mn) на матрицу В(np) называется матрицаC(mp) такая, чтоcik=ai1*b1k+ai2*b2k+…+ain*bnk, гдеi=1..m,k=1…p.

Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ=ВА.

Св-ва умножения матриц:

• A(BC)=(AB)C;

• A(B+C)=AB+AC;

• (A+B)C=AC+BC;

• (AB)= (A)B.

Св-ва транспонирования:

• (A+B)^T=A ^T +B ^T;

• (AB) ^T=B ^T A ^T.

Пусть А – квадратная матрица n-го порядка.

При умножении квадратных матриц их определители перемножаются.

Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель не равен нулю, в противном случае матрица А называетсявырожденной.

Матрицей, союзной к матрицеА называется матрица

, гдеAij– алгебраическое дополнение элементаaijданной матрицы А.

Матрица А^-1называетсяобратнойматрице А, если выполняется условие А*А^-1=А^-1*А=Е.

Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Св-ва обратных матриц:

• если у матрицы А есть обратная, то определитель А<>0;

• если В= А^-1, то А=В^-1;

• если матрица А имеет обратную, только одну;

• если А и В имеют обратные, то произведения тоже имеют обратные матрицы, причём обратная к произведению есть произведение обратных в обратном порядке (АВ) ^–1=В^-1А^-1.

Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным.

Крамер. AX+B.

Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

X= А^-1B.

Но A11b1+A21b2+…+An1bnесть разложение определителя по элементам первого столбца.

Определитель 1 получается из определителяпутём замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных. Итак,xi=i/(формула Крамера).