Нормирование погрешностей

Нормируют предельно допускаемые значения погрешностей средств измерений, в первую очередь для основной погрешности. Существуют разные формы нормирования:

1) Нормируют предельно допускаемые значения основной приведённой погрешности, например, γ_о,п= ± 0,5 %. Так нормируют погрешности аналоговых вольтметров, амперметров и т.п. Это означает, что – 0,5 % ≤ γ_о ≤ 0,5 %.

Возможно, нам попался экземпляр прибора, у которого γ_о= 0, но мы этого не знаем. Мы знаем, что гарантируется – 0,5 % ≤ γ_о ≤ 0,5 %.

2) Гораздо реже гарантируется предельно допускаемые значения основной относительной погрешности, например, δ_о,п= ± 0,02 %. Так, например, нормируют погрешность измерительных мостов.

3) Нормируют предельно допускаемые значения основной относительной погрешности, но не в виде числа со знаками ±, а в виде формулы:

. (13)

Так нормируют погрешность для цифровых измерительных приборов, например:

Дополнительные погрешности.

Рассмотрим на примерах.

Пример 1.

В документации читаем: «Дополнительная температурная погрешность не более половины основной на каждые 10 ⁰С в рабочем диапазоне». Расшифруем эту фразу. Пусть известно, что для данного прибора:

– рабочий диапазон температур 5 ⁰С ≤ θ ≤ 40⁰С;

– предельные значения основной приведённой погрешности γ_о,п= ± 0,5 %.

Это значит, что при 10 и при 30 ⁰С к γ_одобавляется ещё ± 0,25 %. Есть основания считать, что зависимость дополнительной температурной погрешности от температуры близка к линейной. Поэтому, если, например, θ = 35⁰С, то предельные значения дополнительной температурной приведённой погрешности будут

.

Здесь – температурный коэффициент дополнительной температурной погрешности.

Если бы вместо «…не более половины основной…» было «…не более основной…», то температурный коэффициент был бы 0,1γ_о,п.

Пример 2.

В документации читаем: «Дополнительная частотная погрешность не более основной». Пусть это относится к аналоговому вольтметру переменного напряжения, у которого нормальная область значений частоты 45 Гц ≤ f_норм≤ 1 МГц, а рабочая область 20 Гц ≤f_раб≤ 5 МГц. На циферблате прибора это обозначается так:

20 Гц…45 Гц…1 мГц…5 мГц

Пусть для этого вольтметра γ_о,п= ± 4 %. Это значит, что в диапазонах от 20 Гц до 45 Гц и от 1МГц до 5 МГц к γ_одобавляется дополнительная частотная погрешность с предельными значениями γ_д,f,п= ± 4 %. В случае частотной погрешности нет оснований считать, что она линейно зависит от частоты. Поэтому, если, например,f= 2 МГц всё равно приходится считать, что при этом γ_д,f,п= ± 4 %.

Это, конечно, плохо, поэтому стандарт [8] предлагает нормировать не дополнительные погрешности, а функции влияния (для линейных функций – коэффициенты влияния).

Классы точности

Класс точности – комплексная характеристика, которая говорит нам и об основной и о дополнительных погрешностях [9].

Обозначение классов точности:

• На циферблате аналогового прибора проставлено число, например, 0,5. Что оно означает? В первую очередь, что γ_о,п= ± 0,5 %.

• На лицевой панели прибора проставлено число внутри окружности, например,

Это значит, что δ_о,п= ± 0,2 %.

• В документации цифрового измерительного прибора его класс точности обозначен 0,01/0,005. Это значит, что

.

Все числа, фигурирующие в обозначениях классов, выбираются из ряда

(1; 1,5; 2; 2,5; 4; 5; 6)·10^а,

где а = 1; 0; – 1; – 2; …

Кроме основной погрешности класс точности даёт информацию о дополнительных погрешностях, например, так, как это было показано в приведённых выше примерах, но как именно, в частности, «…не более половины основной…» или «…не более основной…» – это надо уточнять по документации на прибор.

1.3.4. Характеристики, отражающие влияние прибора на объект.

Многим со школьных времён известно положение, которое можно выразить фразой: «Хорош тот вольтметр, у которого сопротивление побольше, а амперметр – у которого поменьше». Теперь поставим вопрос: а собственно говоря, почему это так?

Возьмём вольтметр, измеряющий напряжение постоянного тока.

Нас интересует напряжениеU' между двумя выделенными точками, которое было на объектедо подключения вольтметра.

После того, как вольтметр подключили, напряжение хотя бы совсем немного, но обязательно уменьшится:

U < U' !

объект

U

V

Почему это так?

Сколь бы ни была сложна схема объекта, но относительно двух выделенных точек его можно представить в виде активного двухполюсника, содержащего последовательно соединённые э.д.с. Е и сопротивление R. Пока вольтметр ещё не подключён, получаемU' =E, а после подключения

,(14)

где R_V– сопротивление вольтметра.

E

R

U'

R

U

Е

R_V

Погрешность от взаимодействия вольтметра с объектом:

Δ_вз=U–U' = . (15)

Эта формула неудобна тем, что э.д.с. Е нам не известна, мы знаем U, а не Е. Но из формулы (15) можно выразить Е:

. (16)

Подставив (16) в (15), получим:

(17)

При R_V→ ∞ погрешность взаимодействия Δ_вз→ 0. Вот почему хорош тот вольтметр, у которого побольшеR_V: у него поменьше Δ_вз.

Заметим, что Δ_вз → 0 также и при R_V → 0 (измерение э.д.с.).

Выразим относительную погрешность взаимодействия:

(18)

Аналогичным путём можно найти погрешность взаимодействия амперметра с объектом. При этом должен получиться такой результат: погрешность взаимодействия Δ_вз→ 0 при сопротивлении амперметраR_А→ 0. Полезно проделать этот анализ самостоятельно. В данном случае удобнее представить эквивалентную схему объекта не в виде последовательного соединения э.д.с. и сопротивления, а в виде параллельного соединения источника тока и сопротивления.

Таким образом, R_VиR_Aвлияют на точность: от них зависит Δ_вз. Но она зависит не только от них, а ещё и от сопротивления объектаR. Поэтому Δ_взили δ_взнельзя указать заранее для данного вольтметра или амперметра. Характеристикой прибора, отражающей его влияние на объект, являетсяR_VилиR_A.

Если измеряется синусоидальное напряжение, то на высоких частотах надо учитывать не только сопротивлениеR_V, но и ёмкость С_V. Они включены параллельно. Будем считать, что объект характеризуется чисто активным сопротивлениемR.

Введём комплексное напряжение и комплексную э.д.с.:

где

.

Тогда

Теперь перейдём к модулям Uи Е:

.

Погрешность взаимодействия вольтметра с объектом:

Δ_вз=U – E = E,

где

Поскольку R << R_V,

.

Как и раньше, выразим Е через U:

Е = U

и подставим в формулу для Δ_вз:

Δ_вз=U=U(1 .

Поскольку Δ_вз<<U(иначе измерение бессмысленно),<< 1, т.е

где ε << 1, значит, пользуясь свойством малых величин, можно написать. Следовательно,

Δ_вз= U=. (19)

При ω = 0 получаем формулу (17). При увеличении ω второе слагаемое быстро растёт !

Мы закончили рассматривать характеристики измерительных приборов. Теперь вкратце о других средствах измерений: мерах и измерительных преобразователях.

Меры.

Первая характеристика меры – её номинальное значение Y_ном, для многозначной меры – множество номинальных значений.

Абсолютная погрешность меры: Δ = Y_ном–Y_ист≈Y_ном–Y_д, гдеY_истиY_д- истинное и действительное значения меры.

Для однозначных мер относительная погрешность δ и приведённая погрешность γ – одно и то же, для многозначных соотношение между ними такое же, как у измерительных приборов.

Для тех и других сохраняются понятия систематической Δ_си случайнойсоставляющих.

Измерительные преобразователи.

Главная характеристика измерительного преобразователя – номинальная функция преобразования :

Y=f_ном(Х).

Она может быть в виде формулы или таблицы или графика. Частный случай – линейная функция, проходящая через начало координат. Здесь достаточен номинальный коэффициент преобразования:

S_ном=.

Для измерительных преобразователей остаются в силе понятия о трёх формах выражения погрешности – абсолютная Δ, относительная δ и приведённая γ; понятия об основной погрешности Δ_ои о дополнительных погрешностях Δ_д; понятия о систематической Δ_си случайнойсоставляющих. Но, кроме того, здесь действуют ещё два, которых нет у измерительных приборов и у мер: погрешностьна входеΔ_вхи погрешностьна выходеΔ_вых.

Синяя линия – номинальная функция преобразования, которой мы располагаем, а красная – реальная, которая, вообще говоря, нам не известна. Сначала обратимся к левому рисунку. Если на выходе преобразователя мы получили, например, измерили некоторое значение выходного сигнала Y_изм, то, пользуясь номинальной функцией, мы «думаем», что на входе действует сигнал со значением Х_ном. На самом же деле его действительное значение Х_д. Абсолютная погрешность на входе («измеренное – в данном случае номинальное – минус действительное»):

Δ_вх= Х_ном– Х_д.

Теперь посмотрим на правый рисунок. Пусть входной сигнал имеет некоторое действительное значение Х_д. На выходе ему соответствует сигнал со значениемY_изм, которое можно измерить. Значение же выходного сигналаY_номможно ещё назвать идеальным: оно было бы на выходе, если бы преобразователь был без погрешностей. В некотором смысле оно аналогично действительному, а точнее говоря, истинному значению в случае измерительного прибора: прибор показал бы это значение, если бы он был без погрешностей. Абсолютная погрешность на выходе («измеренное минус действительное – в данном случае номинальное»):

Δ_вых=Y_изм–Y_ном.