PraktykumD+ICh
.pdf7. Застосування похідної |
111 |
f (x) 2x 6; f (x ) 2; f (x |
) 0. |
||
|
1 |
2 |
|
Дотична до кривої y f(x) у точці M1 |
має рівняння |
|
|
y ( 4) 2(x 4); |
y 2x 12. |
||
Дотична до кривої y f(x) у точці M2 |
має рівняння |
|
|
y ( 5) 0(x |
3); y 5. |
||
Нормаль до кривої y f(x) у точці M1 |
має рівняння |
|
|
y ( 4) 1 (x 4); |
y 1 x 2. |
||
2 |
|
2 |
|
Нормаль до кривої y f(x) у точці M2 |
має рівняння |
|
x3.
7.2.Визначити, в якій точці дотична до параболи y x2 :
1)паралельна прямій y 4x 5;
2)перпендикулярна до прямої 2x 6y 5 0;
3)утворює із прямою 3x y 1 0 кут 4 .
Розв’язання. [2.5.2, 2.5.5–2.5.7.]
Нехай точка дотику M0(x0; y0 ). Тоді:
[2.5.2]
kдот. y (x0) 2x0.
1) У паралельних прямих рівні кутові коефіцієнти [2.5.5]. Отже, kдот. 2x0 4 x0 2, y0 4.
Дотична до параболи y x2 |
паралельна прямій y |
4x 5 у точці M0(2; 4). |
|||||
2) [Знаходимо кутовий коефіцієнт прямої 2x 6y |
5 0.] |
||||||
|
|
|
2x 6y 5 0 y 1 x |
5 |
k 1 . |
||
|
|
|
|
|
3 |
6 |
3 |
У перпендикулярних прямих кутові коефіцієнти зв’язані співвідношенням |
|||||||
|
|
|
|
|
[2.5.6] |
|
|
Отже, |
|
|
|
k1k2 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kдот. 2x0 3 |
x0 |
3 , y0 9 . |
||
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
Дотична до параболи y x2 |
перпендикулярна до прямої 2x 6y 5 0 в точці |
||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
9 |
|
|
|
|
|
M0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
3) [Знаходимо кутовий коефіцієнт прямої 3x y 1 0.]
7. Застосування похідної |
113 |
2) Сила струму є похідною від кількості електрики, що протікає через провідник. Отже,
I(t) q (t) (2t2 3t 1) 4t 3 I(5) 23 (А).
7.5.Написати рівняння дотичної та нормалі у точці M 0(2; 2) до кривої
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x |
t |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
L |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
y |
|
2t |
|
2t2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Розв’язання. [2.5.3, 2.4.5.] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Знаходимо значення параметра t, |
|
яке відповідає точці M0(2; 2). ] |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
t |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
t |
1. |
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2t |
|
2t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Точці (2; 2) кривої відповідає значення параметра t 1. |
||||||||||||||||||||||||||
[Обчислюємо похідну yx (1). ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[2.4.5] |
yt |
|
|
|
|
|
t 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 . |
||||||||||
yx (t) |
|
|
|
|
|
; yx |t 1 |
||||||||||||||||||||
xt |
2t 4 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
Рівняння дотичної:
y 2 76 (x 2); 6y 7x 2 0.
Рівняння нормалі:
y 2 76 (x 2); 7y 6x 26 0.
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
7.6.Запишіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції y f(x) у заданій точці:
1) y |
x |
, x0 4; |
2) y x 3 2x2 4x 3, x0 2. |
7.7.У яких точках кутовий коефіцієнт дотичної до кубічної параболи y x 3 дорівнює 3 ?
7.8.1. Скласти рівняння дотичної до параболи y 21 x2 3x 6, перпенди-
кулярної до прямої x 5y 10 0.
|
|
|
|
|
|
|
8. Похідні вищих порядків |
115 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
|
1 |
|
|
||
7.12. 1) y |
|
; 2) |
y |
y |
|
x |
|
|||
|
|
|
|
. |
|
|||||
|
x |
|
x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
8. Похідні вищих порядків
Навчальні задачі
8.1.Знайти похідні вказаного порядку функції f :
1) f(x) 5x |
4 |
, f |
|
2) f (x) sin |
2 |
x, f |
(5) |
|
(x); |
|
(x); |
3) f(x) ln(x a2 x2 ), f (x).
Розв’язання. [2.4.1.]
|
|
3 |
; |
|
|
3 |
|
2 |
|
|
2 |
|
120x. |
||||||||||
1) f (x) 20x |
f (x) |
(20x |
) |
60x |
; f (x) |
(60x |
) |
||||||||||||||||
2) f (x) 2 sin x cos x |
sin 2x; |
f (x) |
2 cos 2x; |
f (x) 4 sin 2x; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
f (4)(x) 8 cos 2x; |
|
f (5)(x) 16 sin 2x. |
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3) f |
|
a2 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(x) x a2 x2 |
|
a2 x 2 ; |
f |
(x) (a2 x2 )3 2 . |
|||||||||||||||||||
8.2. |
|
Знайти похідну: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1) y(100), y (x2 |
1) cos 2x; |
|
2) y(n), y |
|
|
x 3 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
3x 2 |
Розв’язання. [2.4.4.]
1) [Щоб знайти похідну, використовуємо Лейбніцову формулу.] u cos 2x, v(x) x2 1, n 100.
v(0)(x) x2 |
1 |
C1000 1 |
|
|
u(100)(x) 2100 cos 2x |
|||||||||||
v |
|
|
|
|
|
|
1 |
100 |
|
u |
(99) |
(x) 2 |
99 |
sin 2x |
||
(x) 2x |
|
|
C100 |
|
|
|
|
|||||||||
v (x) 2 |
|
|
|
C 2 |
4950 |
u(98)(x) 298 cos 2x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) 0........................................................................ |
||||||||||||||||
Оскільки |
u(100)(x) 2100 cos 2x 50 |
|
|
|
||||||||||||
|
2100 cos 2x; |
|||||||||||||||
|
|
(99) |
|
99 |
|
|
|
99 |
|
99 |
|
|
||||
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
(x) 2 |
|
cos 2x |
|
|
|
2 sin 2x; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Похідні вищих порядків |
117 |
|||||||||
|
1 |
y |
|
|
|
0; |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
1 y2 |
|
|||||||||
y |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
1 |
|
|
|
|
|
1; |
|
||
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
1 y |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 y2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
y |
|
|
y2 |
y2 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
[Диференціюємо вираз для y |
за змінною x.] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2y |
|
|
2 |
1 |
|
2 |
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
y |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
2 |
|
3 |
|
5 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
y |
|
|||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
підставляємо вираз для y
8.5.Знайти диференціал 2-го порядку функції f (x) ln(1 x2).
Розв’язання. [2.4.3.]
|
|
2x |
|
; |
f |
|
2(1 x2) |
; |
|
|
2 |
2 2 |
|||||
f (x) |
x |
(x) |
||||||
1 |
|
|
|
|
(1 x ) |
|
d2f 2(1 x2) dx2. (1 x2)2
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
8.6.Знайдіть зазначену похідну:
1) |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
2) |
f (x) x |
6 |
4x |
3 |
4, f |
IV |
(1); |
|||||
f (x) (x 10) |
, f (2); |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
f (x) x |
3 |
ln x, f |
IV |
(x); |
4) |
f(x) ln(x |
|
1 x |
2 |
), f |
||||||||||
|
|
|
|
|
(x); |
||||||||||||||||
5) |
f (x) xex , f (n)(x); |
6) |
f (x) ln(ax b), f (n)(x); |
|
|||||||||||||||||
7) f (x) |
|
|
x |
|
, f |
(n)(x); |
8) |
f(x) |
|
|
1 |
|
|
, f (n)(x). |
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
x2 |
3x 2 |
|
|
|
|
8.7.Знайдіть зазначену похідну функції y y(x), заданої неявно:
|
1) y tg(x y), y ; |
|
2) ex y xy, y . |
8.8. |
|
функції y |
y(x), заданої параметрично: |
Знайдіть похідну yxx |
1)x a cos3 t, y a sin3 t;
2)x a( sin ), y a(1 cos );
3) x ln t, y t2 1; |
4) x arcsin t, y ln(1 t2). |
9. Правило Бернуллі — Лопіталя |
119 |
f ( 1) f(0) f (1) 0. |
|
Отже, на [ 1; 0] та [0;1] виконано всі умови Ролєвої теореми для функції f (x). Знайдімо значення , про яке йдеться у теоремі:
f (x) 1 3x2.
f ( ) 1 3 2 0 1 13, 2 13;
1 ( 1; 0), 2 (0;1).
9.2.Довести, що для многочлена P(x) (x2 1)(x 3)(x 2)(x 1) в ін-
тервалі ( 3;1) існує корінь рівняння P (x) 0.
Розв’язання. [2.6.1.]
Оскільки
P( 3) P( 2) P(1) 0,
і P(x) — функція диференційовна на , то для функції P(x) виконано всі умови Ролєвої теореми на [ 3; 2] і [ 2;1] :
1 ( 3; 2) : P ( 1) 0;
2 ( 2; 1) : P ( 2) 0.
Для функції P (x) на [ 1; 2 ] ( 3; 1) виконано всі умови Ролєвої теореми:
( 1; 2) ( 3;1) : P ( ) 0.
9.3.Перевірити Лаґранжову теорему для f(x) 3x4 на [ 1;1].
Розв’язання. [2.6.2.] |
|
|
|
|
|
|
|
|
Функція f (x) |
неперервна на відрізку [ 1;1] і диференційовна |
в інтервалі |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
( 1;1). Отже, |
виконано умови Лаґранжової теореми для f(x) 3 x4 |
на [ 1;1]. |
||||||
|
f (x) |
4 3 |
|
|
; f(1) f( 1) 2f ( ); |
|
||
|
x |
|
||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 3 |
|
|
|
|
||
|
0 |
|
0 ( 1;1). |
|
||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
9.4.Довести нерівність
arctg a arctg b a b .
Розв’язання. [2.6.2.]
Для a b, нерівність виконано. Отже, нехай a b. Тоді для функції y arctg x на [a;b] виконано умови Лаґранжової теореми.