PraktykumD+ICh
.pdfРозділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
13. Інтегрування внесенням під знак диференціала
Навчальні задачі
13.1. Знайти:
1) |
x 3dx; |
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2) |
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dx |
; |
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x |
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3) |
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dx |
|
; |
|
|
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4) |
|
|
|
dx |
|
; |
|
|
||
x |
2 |
3 |
|
|
x |
2 |
4 |
||||||||||||||
|
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|
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|
|
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|||||
5) |
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|
dx |
|
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|
; |
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6) |
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|
dx |
|
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|
; |
|
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|
|
|
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|||||||
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5 x2 |
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2 x2 |
|||||||||
7) |
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d(sin x) |
. |
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||||||
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sin x |
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|||||
Розв’язання. [3.3, 3.2.6.] |
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|||||||||
1) [У формулі [3.3.2] покладаємо 3 ]: |
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|||||||||||
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[3.3.2] |
x3 1 |
|
C x4 C. |
||||||||||||
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x 3dx |
|
|||||||||||
|
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3 1 |
||||||||||||
|
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|
3 |
|
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|
4 |
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|
[Перевіряємо диференціюванням правильність інтегрування.]
|
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4 |
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|
x |
|
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1 |
|
3 |
|
3 |
|
|
|
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|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
4x |
|
x |
|
||
|
|
|
C |
4 |
|
|
|
|||
4 |
|
|
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|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
2) |
dx |
|
|
|
x |
1 |
2 |
|
|
|
[3.3.2] |
|
|
|
x 1 2 1 |
|
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|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
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|
|
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|
dx |
|
|
|
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|
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C 2 |
x C. |
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1 2 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
||||||||||||||||
3) |
|
|
dx |
[3.3.15] |
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
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C. |
|
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|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
3 a |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4) |
|
|
dx |
|
[3.3.16] |
1 ln |
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x |
2 |
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
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4 |
a 2 |
4 |
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|
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|
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|
|
|
|
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||||||||||||||
5) |
|
|
|
dx |
|
[3.3.14] |
|
|
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|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin |
C. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||
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|
5 x2 |
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|
5 |
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|||||||||||||||||||||
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a 5 |
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||||||||||||||||||
6) |
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|
dx |
|
[3.3.16] |
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
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|||||||||
|
|
|
|
|
|
ln |
x 2 x2 |
|
C. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 x2 |
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a 2 |
|
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|
|
|
|
|
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||||||||||||||
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|
|
|
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13. Інтегрування внесенням під знак диференціала |
147 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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[3.3.4] |
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(ae)x |
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||||||
4) axexdx (ae)x dx |
|
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|
|
C. |
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
|
ln a 1 |
|
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5) (arcsin x arccos x)dx |
dx x C. |
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|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
dx |
[3.2.4] |
1 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
[3.3.15] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
||||||||||
6) |
|
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|
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||||||||||||
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|
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|
|
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|
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|||||||||
|
4 5x2 |
|
5 |
x2 |
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|||||||||||||||
|
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|
4 5 a 2 |
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
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|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
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||||
|
|
|
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|
1 |
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
C. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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||||||||
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|
|
arctg |
|
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|
x |
C |
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||||||
|
|
|
dx |
[3.2.4] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
[3.3.14] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
7) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2x C. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
arcsin |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
3 2x2 |
|
|
|
2 |
|
|
3 2 x2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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a 3 2 |
|
|
|
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Коментар. Метод безпосереднього інтегрування полягає у використанні таблиці інтегралів, властивостей лінійності та інваріантності невизначеного інтеграла.
Інтегруючи алгебричну суму функцій, дістають кілька довільних сталих, але в результаті пишуть лише одну сталу — їхню алгебричну суму.
13.3. Знайти інтеграл внесенням під знак диференціала:
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(2x 1)10dx; |
|
|
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|
|
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|
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||||||||||||
1) |
|
2) |
3 (5x 2)5dx; |
||||||||||||||||||||||
3) |
(x2 4)62xdx; |
|
4) |
sin4 x cos xdx; |
|||||||||||||||||||||
5) |
arctg32x dx; |
|
6) |
|
|
dx |
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
3 |
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x ln |
|
|
|
|
|
|
||||||
7) |
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
; |
|
|
8) |
|
|
arcsin x |
dx; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
||||
9) |
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
dx; |
|
10) |
|
dx |
|
; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
7 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
11) |
|
|
|
ex |
|
dx; |
|
12) |
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
e |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x ln x |
|
|
|
|
|
|
|||||
Розв’язання. [3.4.1, 3.4.4, 3.3.1, 3.3.2.] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 d(2x 1) |
|
|
1 d(2x 1) |
|||||||||||||||||||||
1) (2x 1)10dx |
dx |
(2x 1)10 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 (2x 1)10d(2x 1) |
1 (2x 1)11 |
C. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
11 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. Інтегрування внесенням під знак диференціала |
149 |
|||||||||||
11) |
|
|
|
|
ex |
|
dx |
d(ex 1) |
ln(ex 1) C. |
|
|
|
||||||||||
e |
x |
1 |
e |
x |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
12) |
|
|
|
dx |
|
|
dx |
d(ln x) |
|
d(ln x) ln |
|
ln x |
|
C. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x ln x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.4. Знайти інтеграл внесенням під знак диференціала:
|
|
1) e5x 1dx; |
|
|
|
|
|
2) e2x2 1xdx; |
||||||||||
|
|
3) esin x |
cos xdx; |
|
|
|
|
|
4) |
2tg x dx |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos |
2 |
. |
|||||||||
Розв’язання. [3.4.1, 3.4.4, 3.3.3, 3.3.4.] |
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1) e5x 1dx |
1 |
e5x 1d(5x 1) |
|
1 |
e5x 1 C. |
|
|
|||||||||||
|
5 |
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5 |
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2) |
e2x2 1xdx |
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1 |
e2x2 1d(2x2 1) |
1 |
e2x2 1 |
C. |
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4 |
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4 |
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3) |
esin x |
cos xdx esin xd(sin x) esin x C. |
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4) |
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2tg xdx |
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2tg x d(tg x) |
2tg x |
C. |
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cos |
2 |
x |
ln 2 |
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13.5. Знайти інтеграл внесенням під знак диференціала:
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1) sin 3xdx; |
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2) cos x2 |
xdx; |
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3) |
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exdx |
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; |
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4) |
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dx |
. |
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cos |
2 |
e |
x |
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|
2 |
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x sin |
(ln x) |
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Розв’язання. [3.4.1, 3.4.4, 3.3.5–3.3.8.] |
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1) sin 3xdx |
1 |
sin 3xd(3x) |
1 |
cos 3x C. |
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3 |
3 |
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2) cos x2 |
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xdx |
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1 |
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cos x2d(x2 ) |
|
1 |
sin x2 C. |
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|
2 |
|
2 |
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3) |
exdx |
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d(ex ) |
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tg ex C. |
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||||||||||||||
cos |
2 |
e |
x |
cos |
2 |
e |
x |
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||||||||
4) |
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dx |
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d(ln x) |
ctg(ln x) C. |
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|||||||||||||||
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|
2 |
(ln x) |
|
2 |
(ln x) |
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|
x sin |
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|
|
sin |
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13.6. Знайти інтеграл внесенням під знак диференціала:
1) |
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dx |
; |
2) |
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dx |
; |
x |
2 |
|
2x |
2 |
||||
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8x 25 |
|
3 |
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