Задача №4.1.22.

В результате испытания 11-ти редукторов, отказы которых распределены нормально, получены следующие значения времени безотказной работы в часах: t₁=1500, t₂=1000, t₃=700, t₄=2000, t₅=1050, t₆=1000, t₇=1600, t₈=1900, t₉=800, t₁₀=1500, t₁₁=1850.

Требуется оценить Т и σ и определить для них двухсторонние интервалы с вероятностью α=0,95.

Решение

Для построения статистического ряда время испытаний разобьем на 10 интервалов (разрядов) продолжительностью 200 ч и для каждого разряда подсчитаем Q^*(t), λ^*(t), f^*(t).

Параметр	Разряды
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n^*	0	0	0	2	2	1	0	3	0	3
f^*·10^31/ч	0	0	0	0,909	0,909	0,455	0	1,364	0	1,364
λ^*10^31/ч	0	0	0	1	1,25	0,769	0	3,33	0	10
Q^*(t)	0	0	0	0,182	0,364	0,455	0,455	0,73	0,73	1
λэ10^31/ч	0,67	0,67	0,67	0,67	0,67	0,67	0,67	0,67	0,67	0,67
fэ·10^31/ч	0,586	0,512	0,448	0,398	0,342	0,302	0,26	0,236	0,2	0,17
Qэ	0,1254	0,235	0,331	0,415	0,488	0,552	0,608	0,657	0,7	0,74
qi	0	0	0	0,182	0,364	0,455	0,455	0,73	0,73	1
Uqi	-3,89	-3,89	-3,89	-0,84	-0,38	-0,1257	-0,1257	0,523	0,523	3,89
fн·10^31/ч	0,0383	0,1	0,227	0,42	0,64	0,814	0,857	0,747	0,54	0,32
Рн	0,9936	0,9803	0,9474	0,883	0,7794	0,6293	0,4602	0,3015	0,1685	0,0823
Qн	0,0064	0,0197	0,0526	0,117	0,2206	0,3707	0,5398	0,6985	0,8315	0,9177
λн·10^31/ч	0,0386	0,104	0,24	0,47	0,82	1,29	1,86	2,48	3,21	3,95
qi	0,1254	0,109	0,095	0,084	0,073	0,064	0,056	0,049	0,042	0,0375
qiн	0	0,0004	0,015	0,0142	0,0894	0,2501	0,3358	0,2247	0,0718	0,0111
λ^2iн	0,0044	0,0044	0,0165	21,764	1,05	1,11	3,69	0,113	0,79	67,83
λ^2iэ	1,37	1,199	1,045	1,253	1,784	0,1244	0,616	11,24	0,462	16,23

Поскольку за время испытаний отказали все изделия (100%), то оценка интенсивности отказов подсчитывалась с использованием выражения, приведенного для плана N, Б, ч (считая, что испытания прекратились после 11-го отказа).

Т.к. в данном случае N=r=1, то:

Частота отказов определялась для каждого разряда из выражения:

Вероятность отказа:

Если испытания проводились до отказа всех изделий, то оценка математического ожидания и среднеквадратичного отклонения могут быть определены из выражения:

Для определения математического ожидания и среднеквадратичного отклонения для каждого разряда подсчитаем

Для каждого разряда составим уравнение и эти уравнения сложим:

200=M-3,896 σ

400=М-3,896 σ

600=М-3,896 σ

800=М-0,846 σ

1000=М-0,386 σ

1200=М-0,1258 σ

1400=М-0,1258 σ

1600=М+0,5236 σ

1800=М+0,5236 σ

2000=М+3,896 σ ___

11000=10·М-8,205 σ

Полученные новые уравнения умножаем на соответствующий квантиль:

-778=-3,89М+15,132 σ

-1556=-3,89М+15,132 σ

-2334=-3,89М+15,132 σ

-672=-0,84М+0,706 σ

-380=-0,38М+0,1445 σ

-150,84=-0,1275М+0,0159 σ

-175,98=-0,1257М+0,0159 σ

836,8=0,523М+0,275 σ

941,4=0,523М+0,275 σ

7780=3,89М+15,135 σ ___

3511,38=-8,2М+61,95 σ

Решаем совместно уравнения:

10М-8,205σ=11000

-8,2М+61,95 σ=3511,38

Получаем: М=1286ч, σ=227ч

Для каждого разряда подсчитаем частоту, интенсивность и вероятность отказа:

Для определения доверительных интервалов при экспоненциальном законе распределения по таблице квантилей.

квадрат распределений

найдем где 2r=20

при

при

Суммарная наработка всех изделий

Для плана N, Б, r определим

Тысячная оценка интенсивности попала в доверительный интервал.

Для определения доверительного интервала для математического ожидания найдем по таблице квантилей распределения Стьюдента квантиль вероятности 0,05 при девяти степенях свободы:

t_α=2,262

Для определения доверительного интервала для среднеквадратичного отклонения по таблице квантилей для вероятностей P₁=0,05 и Р₂=0,95 при девяти степенях свободы.

Проверка непротиворечивости начинается с определения вероятности отказа для каждого разряда:

На основании расчетов определяем суммарную меру расхождения. Для экспоненциального закона: .Для нормального закона

Число степеней свободы при экспоненциальном законе n_э=10, а при нормальном законе n_н=9.

Вероятность противоречивости статистических данных экспоненциальному закону составила менее 1%.

Вероятность противоречивости статистических данных нормальному закону составила менее 1%.

Для проверки непротиворечивости теоретического и статистического распределений с помощью критерия Колмогорова определим величину D.

Величины максимального расхождения составили:

D_э=0,331, D_н=0,14

k-число разрядов

P(λ_э)=0,27; P(λ_н)=0,14

Т.к. P(λ)>0,1; то обе гипотезы верны.

Список литературы

1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. – М.: Наука, 1980. – 976 с.

2. Основы теории надежности автоматических систем управления: Учебное пособие для вузов / Л.П. Глазунов, В.П. Грабовецкий, О.В. Щербаков. – Л.: Энергоатомиздат, Ленингр. отд-ние, 1984. – 208 с.

3. Надежность устройств железнодорожной автоматики телемеханики и связи: Учебное пособие для вузов / В.Г. Коваленко, А.А. Новиков. – УрГАПС, Екатеринбург, 1995. – 77 с.

4. Половко А.М., Маликов И.М. Сборник задач по теории надежности – М.: Сов. радио, 1972. – 406 с.

29