векторная и аналитическая геометрия ЗАДАЧИ
.pdf
|
|
3 2 |
|
−2 |
−3 |
|
1 |
0 −3 |
|
2. Даны матрицы A= |
|
|
, B= |
|
|
и C= |
|
|
|
−1 5 |
4 |
1 |
0 |
−1 2 |
. Найти АВС |
||||
|
|
|
|
иВАС.
3.Доказать, что четырехугольник с вершинами А (1; 2; 0), В (4; -4; 2),
С(4; -3; 5), D (1; 3; 3) является прямоугольником. Будет ли он квадратом?
4.Параллелограмм построен на векторах ar =3 j +4k и b =4i −3 j +k. Вычис-
лить длину его высоты, опущенной из конца вектора b .
5. Объем параллелепипеда, построенного на векторах a ={1; 2; -3},
b ={x; 1; -2} и c = {4; -1; 3}, равен 6. Найти первую координату вектора b .
6. |
|
перпендикулярна к |
При каком значении С прямая 2x + y +3z −1=0 |
||
|
−4x +5y −z +2 =0 |
|
|
|
|
|
плоскости 8x +5y +Cz −1=0 ? |
|
7. |
Вычислить расстояние от точки М (-2; 1; -4) до плоскости, проходящей че- |
|
|
рез точки М1 (4; 1; -1), М2 (0; 2; 2) и М3 (0; 1; 0). |
x =2t +3 |
|
|
|
8. |
Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую y =−t −1 пер- |
|
|
|
|
|
|
z =2t +4 |
|
|
|
пендикулярно к плоскости 2x −3y +4z −1 = 0 .
9.Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС заданы cоответственно уравнениями x −4y +5 =0, 2x + y −8 =0 , x − y +2 =0. Составить уравнение вы-
соты треугольника, опущенной из вершины А.
10. Установить, какие линии определяются уравнениями:
а)3y2 +12y −x +9 =0,
b) y =2 − 3−x2 −2x . Изобразить эти линии на чертеже.
Вариант 10
1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом
x +2y −5z |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x +4y −5z =2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +2y +10z =−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
5 |
−4 |
|
2. Даны матрицы А= |
−2 |
|
|
|||||||||
−3 , В= |
, С= |
. Найти А(3В – С). |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
−1 |
3 2 |
||||
|
|
0 |
5 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
3. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
a = {2; 5; -4} и b ={0; 3;r -12}.
4. Проверить, что векторы a = {1; 4; 8}, b ={4; 7; -4} могут быть взяты за ребра куба. Найти координаты вектора c , совпадающего с третьим ребром куба.
5.На оси OX найти точку А такую, чтобы точки А, В (-2; -3; 4), С (-1; 2; -5)
иD (1; -4; 3) лежали в одной плоскости.
6.Составить уравнения прямой, проходящей через точку Р (-1; 2; -3) парал-
x −3y +4z −1=0
лельно прямой 5x + y −2z +3 =0.
7. Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки М1 (1;-3; 2),
x =2t +3
М2(2; 0; 3) параллельно прямой y =3t −4 .
z =−4t
3x −6y −2z +12 =0
8. Вычислить расстояние между плоскостями 9x −18y −6z +1 =0 .
9. Дана одна из вершин параллелограмма А (2; 3) и уравнения двух его сторон 3x − y +1 =0 , x + y +3 =0. Составить уравнения двух других сторон па-
раллелограмма и уравнение диагонали, проходящей через точку А.
10.Установить, какие линии определяются уравнениями:
а)3x2 − y2 +6x +6y −9 =0 ,
b)y =1+ 2 −x . Изобразить эти линии на чертеже.
Вариант 11
1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом
2x + y +2z =−4
x −3y +2z =2 .
3x − y +4z =−3
|
|
−2 4 |
|
−1 0 |
2 |
|
2 |
−3 |
1 |
|
2. Даны матрицы А= |
|
|
В= |
|
|
С= |
|
|
|
Найти |
|
, |
3 4 |
, |
−1 |
−5 |
. |
||||
|
3 2 |
|
−2 |
|
2 |
|
А(В+2С).
3. Доказать, что четырехугольник АВСD является трапецией, если
AB ={-1; 3; 0}, BC ={4; -2; 6}, CD ={-1; -2; -3}.
4.Даны точки А (-1; 3; 2), В (2; 7; 5), С (3; -7; 1). На оси OY найти точку D
такую, чтобы векторы AB и CD были перпендикулярны.
11
5.Даны вершины треугольной пирамиды А (5; -6; 1), В (8; 0; 3), С (6; 1; 5), D (9; 5; 3). Вычислить ее объем и площадь грани BCD.
6.Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям 4x − y +8z −5 =0 , 2x + y +3z −1 =0.
3x −5y +z −3 =0
7. Составить канонические уравнения прямой 2x +6y +3z +5 =0.
8. Найти проекцию точки Р (-3; -2; 3) на прямую, проходящую через точки
А(1; 3; -2) и В(-1; 2; 1).
9.Даны уравнения двух сторон прямоугольника 3x +4y −4 =0, 4x −3y +3 =0
иодна из его вершин А (2; -3). Вычислить площадь прямоугольника.
10.Установить, какие линии определяются уравнениями:
а) x2 +4y2 +10x −8y +13 =0 ,
b) y = 2 − x2 −9 . Изобразить эти линии на чертеже.
Вариант 12
1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом
x − y −2z =−4x +2y −z =−3.
2x + y +z =5
2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
2. Даны матрицы А= |
3 |
2 |
|
||||||
, В= |
−1 , С= 1 |
−1 . Найти АВС. |
|||||||
|
|
|
|
|
−2 |
−3 |
1 |
0 |
−1 |
|
|
3 |
|
||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3.Найти вектор xr, коллинеарный вектору a = i − j +2k и удовлетворяющий условию (xrar)=−9.
4.Даны вершины треугольника А (1; -2; -3), В (3; 1; 1), С (4; -2; -7). Вы-
числить длину его высоты, опущенной из вершины В.
5. |
Определить, какой является тройка векторов a ={1; -1; 0}, b ={4; -1; 8} и |
|||||||
|
c ={2; 3; 5} (правой или левой). Вычислить npb c. |
|
|
|
|
|
||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
x =mt −1 |
x −4 |
|
|
y |
|
z +2 |
|
6. |
При каком значении m прямые y =3t +2 , и |
|
= |
= |
перпендику- |
|||
−2 |
|
|
||||||
|
|
1 |
5 |
|
||||
|
z =t −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лярны?
12
7. Составить |
уравнение |
плоскости, |
проходящей |
через |
прямую |
||
2x − y +z +2 =0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
параллельно оси OY. |
|
|
|
|
|
+3y −z +2 =0 |
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Дана одна из вершин прямоугольного параллелепипеда А (1; -1; 2), три грани которого лежат на плоскостях −5y +2z +7 =0, 2x +10y +11z +1=0,
x +2y −2z −4 =0. Вычислить объем параллелепипеда.
9. Даны уравнения двух сторон параллелограмма 3x − y −6 =0, x +2y +5 =0 и
точка М (4; 2) пересечения его диагоналей. Составить уравнения двух других сторон параллелограмма.
10. Установить, какие линии определяются уравнениями:
а) −5x2 +4y2 +10x +24y +11=0,
b) x =2 + 4 − y . Изобразить эти линии на чертеже.
Вариант 13
1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом
2x +6y −7z =0
x −3y +5z =−1 .5x −3y +z =−3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
|
|
3 |
0 |
|
|
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
3 |
. Найти АВС. |
||||||||
2. Даны матрицы А= |
, В= |
−3 , С= |
|||||||||
−2 1 |
2 |
1 |
0 |
|
|
|
|
||||
|
4 |
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Даны две силы f1={1; -4; 5}, f2={3; 2; -2}, приложенные к одной точке.
Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения
М1(2; -3; 0) в положение М2(5; -1; 1).
4. Доказать, что четырехугольник с вершинами А (-3; 1; 0), В (2; -1; 14),
С (0; 1; 15), D(-5; 3; 1) является параллелограммом. Вычислить его площадь.
5.Объем треугольной пирамиды равен 5. Три ее вершины находятся в точках
А(1; -1; 1), В (-2; -3; 2), С (5; 0; 1). Найти координаты четвертой вер-
шины D, если известно, что она лежит на оси OZ.
6. Две грани куба лежат на |
плоскостях 4x −7y +4z +12 =0, |
|
8x −14y +8z −3 =0. Вычислить объем этого куба. |
||
7. Лежит ли прямая |
|
в плоскости 5x −2y −z +6 =0? |
x +2y +z =0 |
||
|
3x +4y +2z +1=0 |
|
|
|
|
|
13 |
|
8. Найти точку Q, симметричную точке Р (-2; 5; -4) относительно плоскости
4x − y +3z −1=0.
9. Даны уравнения двух сторон ромба 2x + y −11=0, 3x −4y −11=0 и точка
М (6;-1) пересечения его диагоналей. Составить уравнения диагоналей ромба.
10. Установить, какие линии определяются уравнениями:
а)9x2 + y2 +36x −8y +43 =0 ,
b) y =1− x2 +4 . Изобразить эти линии на чертеже.
Вариант 14
1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом
x +3y −2z =1
x −6y +2z =−3 .
2x −3y −4z =−1
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−1 |
|
|
1 |
0 |
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
−4 |
1 |
. |
|||||||
2. Даны матрицы А= |
−3 , В= |
−1 , С= |
||||||||
2 |
4 |
1 |
−5 1 |
0 |
|
|
|
|
||
|
5 |
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти (2А-В)С.
3.Даны два вектора AB ={-10; 8; 4} и AC ={-4; 8; 1}, совпадающие со сторонами треугольника АВС. Найти угол между стороной АС и медианой, проведенной из вершины С. Вычислить площадь треугольника АВС.
4.Вектор x , коллинеарный вектору a ={-5; 14; 2}, образует с осью OY тупой угол. Зная, что x =6, найти его координаты.
5.Объем треугольной пирамиды с вершинами в точках А (2; 1; -3),
В (0; 4; 1), С(7; 9; 1), D(x; 2; -3) равен 2. Найти первую координату точки D.
6. При каком значении А прямая |
|
=0 |
параллельна плоскости |
4x +5y −2z −1 |
|||
|
2x +3y +z =0 |
|
|
|
|
|
|
Ax −3y −z −5 =0?
x =3t +2
7. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую y =4t −2 пер-
z =−2t −3
пендикулярно к плоскости 2x +6y −z +2 =0.
8.На оси OХ найти точку, отстоящую от плоскости 20x −9y −12z +20 =0 на расстоянии d = 4.
14
9.Найти точку Q, симметричную точке Р(4; 3) относительно прямой, проходящей через точки М1(3; -2) и М2(5; -5).
10.Установить, какие линии определяются уравнениями:
а) x2 −3y2 +6x +12y −15 =0,
b) y =−3− 1−x . Изобразить эти линии на чертеже.
Вариант 15
1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом
x |
−2y −2z =−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + y +5z =4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x −3y −z =−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−3 |
0 |
−2 |
2 |
−1 4 |
|
|||
2. Даны матрицы A= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АВС и |
|
|
4 |
1 |
, B= |
3 |
4 |
, C= |
6 |
2 1 |
. Найти |
|||
|
|
|
|
|
|
ВАС.
3. Доказать, что четырехугольник ABCD является трапецией, если
AB ={0; -1; 2}, BC ={3;-6;3},CD ={-2; 5; -4}.
4.Параллелограмм построен на векторах ar =3i −4 j и b =5 j −4k . Вычислить его площадь и прbr ar.
5.Даны вершины пирамиды А (2; -5;1), В (1; 1; 0), С (3; -1; 1), D (2; 3; 2).
Вычислить ее объем и длину высоты, опущенной из вершины А.
6. Даны вершины треугольника А (1; -2; 1), В (3; 0; 5), С (3; 1; 2). Составить уравнения его медианы, проведенной из вершины С.
7. Доказать, что прямые |
x −1 |
= |
y +2 |
= |
z −1 |
, |
x −2 |
= |
y +2 |
= |
z −3 |
лежат в од- |
2 |
−3 |
|
1 |
−3 |
|
|||||||
|
|
4 |
|
|
2 |
|
ной плоскости и составить уравнение этой плоскости.
x +2y +4z −13 =0
8. Найти проекцию точки Р (3; 2; 0) на прямую x + y +3z −9 =0.
9. Даны уравнения двух сторон прямоугольника x +3y −11=0, 3x − y −8 =0и
одна из его вершин А (4; -1). Вычислить площадь этого прямоугольника. 10. Установить, какие линии определяются уравнениями:
а)16x2 −9y2 −32x −54y −209 =0,
b) y =2 + 9 −x2 . Изобразить эти линии на чертеже.
15
Вариант 16
1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом
|
|
|
3x +2y −4z =−7 |
|
|
x − y −z =0 |
. |
|
x + y +3z =6 |
|
|
|
|
|
2. Дана матрицa A = (1 2 |
3 4 ). Найти ААТ и АТА. |
|
3. Найти угол |
между |
диагоналями четырёхугольника АВСD, если |
AB ={0;6;−2}, BC ={−5;−3;1}, CD ={−1;−6;2}.
4.Вершины пирамиды находятся в точках А (1; 2; 0), В (2; 2; 4), С (8; 2; 8), D (3; 0; -3). Вычислить площадь сечения, проходящего через середину ребра ВС и две вершины пирамиды АВСD.
5.Лежат ли точки А1(3; 5; 1), А2(2; 4; 7), А3(1; 5; 3), А4(4; 4; 5) в одной
плоскости?
6.Составить уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые
x3−3 = 1y = z 2−1 и x3+1 = y1−1 = 2z .
7.Найти проекцию точки М (-2; 0; 3) на прямую x −2 4 = y−+15 = z 2+1.
x =3t −7 |
|
+ y −3z −1=0 |
перпенди- |
8. При каком значении m прямые y =mt +4 |
и x |
||
|
4x − y +2z −2 =0 |
|
|
z =5t +2 |
|
|
|
|
|
|
|
кулярны?
9.Даны вершины треугольника А (1; 2), В (3; 7), С (5; -3). Вычислить длину перпендикуляра, опущенного из вершины В на медиану, проведенную из вершины А.
10.Установить, какие линии определяются уравнениями:
а) 25x2 +16y2 −50x −96y −231=0,
b) y =−1+ 2 |
x2 −4x −5 . Изобразить эти линии на чертеже. |
3 |
Вариант 17 |
|
1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом
2x +3y +5z =8
x + y +z =4 .
−x +3y −z =8
16
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 3 |
|
1 |
−2 3 |
|
|
1 0 3 |
|
|
||
2. Даны матрицы А= |
|
|
|
|
|
|
, С= |
|
|
|
. Найти АВ+2С. |
||||||||
|
|
, В= |
4 2 7 |
|
7 1 4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7 2 |
|
|
|
|
|||||||
3. |
Даны векторы ar ={4; 3; -2} и b ={7; -1; 1}. Найти вектор x , зная, что он |
||||||||||||||||||
|
перпендикулярен к оси OZ и удовлетворяет условиям |
x a |
r |
r |
|||||||||||||||
|
= 6, x |
b = 23. |
|||||||||||||||||
4. |
Зная одну из вершин треугольника А (1; -6; 3) и векторы, совпадающие с |
||||||||||||||||||
|
двумя сторонами |
|
AB =3i +3 j и |
BC =4i +2 j +4k , найти остальные вер- |
|||||||||||||||
|
шины, вектор CA и площадь треугольника АВС. |
|
|
|
|
||||||||||||||
5. |
При каком значении λ векторы ar =i + j +λk , |
b ={0; 1; 0} и c ={3; 0; 1} |
|||||||||||||||||
|
компланарны? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + y −2z −11=0, |
||||||||
6. |
Две |
|
грани |
|
куба лежат |
на плоскостях |
|||||||||||||
|
4x +2y −4z +5 =0. Вычислить объём куба. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7. |
Составить |
уравнение |
плоскости, |
проходящей |
через |
прямую |
|||||||||||||
|
|
x −1 |
= |
y +1 |
= |
z +2 |
перпендикулярно плоскости 2x +3y −z −4 =0. |
||||||||||||
|
1 |
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +3y −z +7 =0
8. Составить параметрические уравнения прямой 2x −7y +z −1=0.
9.Доказать, что четыре точки А (-2; -2), В (-3; 1), С (7; 7), D (3; 1) служат вершинами трапеции. Составить уравнение средней линии трапеции.
10.Установить, какие линии определяются уравнениями а)9x2 +36y2 +54x −72y −207 =0,
b)x =9 −2 y2 +4y +8 . Изобразить эти линии на чертеже.
Вариант 18
1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом
2x + y −z =9
−3x − y −2z =9 .2x +z =−1
sin x
2. Даны матрицы А=
−cos x
АТА.
3. Дан куб АВСDA1B1C1D1,
ми AA1 и AC1 .
cos x |
и В= |
sin x |
−cos x |
||
sin x |
|
cos x |
sin x |
. Найти АВ, ВА, |
|
|
|
AB =1. Вычислить косинус угла между вектора-
17
4. Даны векторы: a ={2; 2; 1},b ={6; 3; -2}, c ={1; -2; 2}. Найти
прar (b ×cr).
5.Даны вершины пирамиды А (-5; -4; 8), В (2; 3; 1), С (4; 1; -2),
D (6; 3; 7). Найти длину высоты, опущенную на грань BCD.
6. Составить уравнения сторон AD и CD параллелограмма ABCD, если из-
вестны координаты вершин А (3; 0; -1), В (1; 2; -4), С (0, 7, -2).
7. Найти точку, симметричную точке М (7; -1; 2) относительно прямой
x =t
y =−2t −3
z =2t −1.
8. В треугольнике АВС даны уравнение стороны АВ: 4x + y −12 =0, уравнения высот ВН: 5x −4y −15 =0 и АН1: 2x +2y −9 =0. Составить уравнения
двух других сторон треугольника.
9. Найти расстояние между плоскостями 16x +12y −15z +50 =0 и 16x +12y −15z +25 =0
10. Установить, какие линии определяются уравнениями:
а)16x2 −9y2 −64x +18y −89 =0,
b) y =3−4 x −1. Изобразить эти линии на чертеже.
Вариант 19
1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом
2x − y +3z =8
x + y −z =9 .
−x + y +z =1
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
2. Дана матрица А= 3 |
−1 |
0 |
. Найти 3А2+А. |
|
0 |
|
|
0 |
2 |
3. Даны силы f1 = i − j +k , f2 = 2i + j +3k , приложенные к одной точке. Вы-
числить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда её точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из начала коор-
динат вrточку М (2; -1; -1).
4. Вектор x , перпендикулярный к оси OZ и к вектору a ={5; -12; 7}, образует острый угол с осью OX . Зная, что x =26, найти координаты вектора x .
18
5. Найти объем треугольной пирамиды, построенной на векторах a ={1; 2; 3}, |
||||||||||||||
br= {2, 4, 1} и c = {2; -1; 0}. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. Составить канонические уравнения прямой 2x −2y +3z −4 =0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x +3y −5z −4 =0. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
y +1 |
|
|
|
||||
7. Доказать, что прямая |
|
x +1 |
= |
|
= |
|
z −3 |
|
параллельна плоскости |
|||||
2 |
−1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||
2x + y − z = 0, а прямая |
x +1 |
= |
y +1 |
|
= |
z +3 |
лежит в этой плоскости. |
|||||||
|
−1 |
|
||||||||||||
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
8.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А (0; -5; 0) и В(0; 0; 2), перпендикулярно к плоскости x +5y +2z −10 =0.
9.Составить уравнения диагоналей квадрата, если две смежные стороны приняты за оси координат так, что весь квадрат расположен в третьем коорди-
натном угле. Сторона квадрата равна 3.
10. Установить, какие линии определяются уравнениями:
а)9x2 −25y2 −18x −100y −316 =0,
b) x =−4 +3 y +5 . Изобразить эти линии на чертеже.
Вариант 20
1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом
2x − y +3z =16
y +z =2 .x − y −z =1
|
1 |
|
|
2 |
0 |
|
|
3 |
|
2. Даны матрицы А= |
−1 , В= |
, С= |
−1 . Найти (АВ)С. |
||||||
−1 1 |
−3 1 |
2 |
3 |
3. Даны вершины треугольника АВС А (-1; -2; 4), В (-4; -2; 0), С (3; -2; 1).
Найти его внешний угол при вершине В.
4. Даны |
точки А (2; -1; 2), В (1; 2; -1) и С (3; 2; 1). Найти |
|
BC −2CA |
×CB. |
|
|
|
|
5. При каком значении x объём параллелепипеда, построенного на векторах |
||
ar={1; -1; 3}, br |
= {-2; 2; 1} и c = {х; -2; 5}, равен 7? Какую тройку обра- |
|
зуют векторы ar |
, b , c при х =3? |
x =4t +2 |
|
|
|
6. Найти угол между прямыми −x −2y +4 =0 |
и y =t −3 . |
|
|
x +4y +z −3 =0 |
|
|
|
z =t |
|
|
|
19