векторная и аналитическая геометрия ЗАДАЧИ
.pdf7.Составить уравнения перпендикуляра, опущенного из точки А (2; 3; 1) на прямую x2+1 = −y1 = z −3 2 .
8.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (1; 3; -2) перпендикулярно к плоскостям x +3y −z +7 =0 и 2x − y +4z +3 =0.
9.Даны три последовательные вершины параллелограмма: А (-2; 3), В (4; -5),
С (-3; 1). Составить уравнения его сторон и вычислить длину высоты, опу-
щенной из вершины С.
10. Установить, какие линии определяются уравнениями:
а)9x2 +49y2 +18x −98y −383 =0,
b) x = 2 − 6 −2y . Изобразить эти линии на чертеже.
Вариант 21
1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом
−x − y +z =−5
x +2y −z =3 .
3x +z =−11
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Дана матрица А= 2 |
3 . Найти А2+4А. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−2 |
|
r |
r |
r |
|
|
3. |
Вектор |
|
|
x , |
перпендикулярный |
к |
и |
||||||||
|
|
векторам a =3i +2 &j |
+2k |
||||||||||||
|
b =18i −22 j −5k , образует с осью OY тупой угол. Найти его координаты, |
||||||||||||||
|
зная, что |
|
x |
|
=14. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. |
Определить угол между диагоналями параллелограмма, построенного на век- |
||||||||||||||
|
торах ar |
={1; 0 ; |
|
1 |
} и b ={ 2 ; 0 ; −3 |
}. |
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
если ar =i −4 j , |
|
|
|
||
5. |
Какую тройку образуют векторы ar,b,cr, |
b =6i +3 j −2k , |
cr =i −2 j +2k ? Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a и c.
6.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Р (4; -3; 1) параллельно прямым 6x = 2y = 1z и x5+1 = y 4−3 = z −2 4 .
7.На оси OY найти точку, расстояние от которой до плоскости, проходящей
через точки А(1; 3; 1), В(-2; 5; -1), С(3; 1; 2) равно 4.
20
8. |
При каком значении B прямая |
x +1 |
|
= |
y −4 |
= |
z +2 |
|
параллельна плоскости |
|
−2 |
3 |
|
||||||||
|
3x +By −3z +7 =0 ? |
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
Q (-2; |
-9) |
|
||||
9. |
Найти точку, симметричную |
точке |
относительно прямой |
|||||||
|
2x +5y −38 =0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.Установить, какие линии определяются уравнениями:
а) x2 −4y2 +6x +5 =0,
b)y = 34 16 −x2 . Изобразить эти линии на чертеже.
Вариант 22
1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера или матричным способом
−x − y +z =−2
2x + y −3y =1 .3x +5z =19
|
1 |
3 |
|
−5 3 |
1 |
3 |
|
2. Даны матрицы А= |
|
|
|
|
|
|
. Найти А(ВС). |
2 |
, В= |
|
, С= |
2 |
5 |
||
|
5 |
2 −1 |
|
3.Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в котором АВ=1, ВС=СС1=2. Найти угол между векторами DB1 и BC1. (Указание: выбрать
систему координат так, чтобы одна вершина параллелепипеда совпадала с началом координат, а три лежали на осях координат.)
4.Вектор x , коллинеарный вектору ar =8i − j +4k образует с осью ОХ тупой угол. Зная, что x =12, найти его координаты.
5.Вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах a ={2; 1;-3}, r. r={1; -3; 1}, и длину высоты, опущенной из конца вектора
6.Найти проекцию точки А (4; -3; 1) на плоскость x +2y −z −3 =0.
7.При каком значении z прямые АВ и l будут перпендикулярными, если
|
А(1; -2; 1), В(0; -4; z), l: 3x + y −5z +1=0 ? |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x +3y −8z +3 =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
|
Составить |
|
уравнение плоскости, |
проходящей |
через прямую |
||||
|
|
x −2 |
= |
y −3 |
= |
z +1 |
перпендикулярно плоскости x +4y −3z +7 =0. |
|||
|
5 |
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
x +5y −7 =0, |
3x −2y −4 =0, |
|||
9. |
Стороны |
треугольника лежат на прямых |
7x + y +19 =0. Составить уравнение одной из средних линий треугольника. 10. Установить, какие линии определяются уравнениями:
21
а) x2 +2x −32y +33 =0 ,
b) x = −5 + 2 |
8 +2y − y2 . Изобразить эти линии на чертеже. |
3 |
|
|
Вариант 23 |
1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом
4x +3y −5z =−13
−3x − y +4z =7 .
2x + y −z =3
|
2 |
4 |
−1 |
|
2 |
0 |
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Даны матрицы А= |
3 |
1 |
5 |
, В= |
5 |
7 |
−8 |
. Найти 4А+В2. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−7 |
|
|
6 |
1 |
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||
3. |
Даны три вектора ar =−2i + j +k , b =i +5 j и cr =4i +4 j −2k. Вычислить |
npcr(3ar−2b) .
4.Зная две стороны AB ={-2; 2; 9}, BC={-2; 4; 4} треугольника АВС, вычислить длину высоты АD.
5.Векторы pr =i −2 j +k , qr =3i + j +zk и rr =7i +14 j −13k лежат в одной плоскости. Найти третью координату вектора q.
6. Найти точку пересечения прямой |
x |
= |
y −1 |
= |
z +1 |
с плоскостью |
2 |
|
|
||||
x +2y +3z −29 =0 . |
1 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
7. Даны вершины треугольника А (4; 1; 2), В (2; 0; 0), С (5; 1; 4). Составить уравнение плоскости, проходящей через сторону АВ, перпендикулярно к плоскости треугольника.
x =2t |
|
=0 |
перпендикулярными |
8. Проверить, являются ли прямые y =3t |
и y +z −8 |
||
z =t |
x −z +4 =0 |
|
или параллельными.
9. Даны вершины треугольника А (1; 2), В (4; 8), С (8; 2). Найти расстояние
от точки пересечения высот треугольника до стороны АС. 10. Установить, какие линии определяются уравнениями:
а)3x2 − y2 +6x +6y −9 =0 ,
b) y =1+ 2 −x . Изобразить эти линии на чертеже.
22
Вариант 24
1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом
5x − y +z =−7
x + y +z =3 .
x − y +z =−3
|
2 |
1 |
|
|
|
|
3 |
5 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Даны матрицы А= |
|
5 |
|
, С= −2 |
|
|
. Найти |
|||
3 |
, В= |
−1 |
−2 3 |
4 |
3 |
|||||
|
7 |
|
5 |
7 8 |
|
−2 8 |
−7 |
|
||
|
4 |
|
|
|
|
|
3АВ-С.
3.Вычислив внутренние углы треугольника АВС, где А (1; 1; -1), В (2; 3; 1), С(3; 2; 1), проверитьr , будет ли этот треугольник равнобедренным.
4.Найти вектор x, зная, что он перпендикулярен векторам a ={2; -3; 1} и
b ={1; -2; 3} и удовлетворяет условию x i +2 j −7k |
=10. |
|
|
|
|
5.Объём тетраэдра равен 3, три его вершины находятся в точках А (3; -1; 5),
В(4; 2; -3), С (2; 6; 7). Найти координаты четвёртой вершины D, если из-
|
вестно, что она лежит на оси OX. |
|
6. |
Составить уравнение плоскости, зная, что точка Р (4; -3; 12) служит основа- |
|
|
нием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость. |
|
7. |
Две грани куба лежат на плоскостях |
11x −2y −10z +15 =0 и |
|
11x −2y −10z −45 =0. Найти объём этого куба. |
|
8. |
Составить параметрические уравнения прямой |
|
2x −2y −z −4 =0. Соста- |
||
|
|
3x +3y +2z =0 |
|
|
|
вить уравнение плоскости, проходящей через данную прямую, параллельно
x
прямой y
z
=t −1
=t +2 .
=−t +1
9.Доказать, что точки А (-3; 8), В (1; 5), С (4; 1) могут служить тремя вершинами ромба. Составить уравнения диагоналей этого ромба.
10.Установить, какие линии определяются уравнениями:
а)3x2 − y2 +6x +6y −9 =0 ,
b) y =1+ 2 −x . Изобразить эти линии на чертеже.
Вариант 25
1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом
23
x + y −z =4
2x − y +3z =7 .4x +7y −11z =15
|
3 |
|
|
−5 |
4 |
|
|
1 |
8 |
|
. Найти В(АС). |
2. Даны матрицы А= |
4 |
, В= |
|
, С= |
|
||||||
−7 1 |
3 −2 |
2 |
9 |
|
3. Найтиrуголr между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах ar =2i + j , b =−j +2k .
4. |
Проверить, лежат ли точки А (-1; 3; 5), В (2; 4; -7), С (3; -1; 4) и |
|||||||||||
|
D (4; 7; -2) в одной плоскости? |
|
|
|
||||||||
5. |
Даны точки А (3; 2; 4), |
В (-1; |
-3; 0) |
и С (-2; |
4; 8). Найти |
|||||||
|
AC ×(2AB −3CB). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. |
При каком значении А плоскость Ax −2y +4z +5 =0 параллельна прямой |
|||||||||||
|
x + y =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y −z =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Составить уравнения прямой, проходящей через точку М (3; -4; 0) и точку |
|||||||||||
|
пересечения прямой |
x |
= |
y −1 |
|
= |
z =1 |
с плоскостью x + y −z +2 =0. |
||||
|
|
−3 |
|
|||||||||
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
||||
8. |
Найти проекцию точки А (2; -1; 3) на плоскость 5x −2y +z +15 =0. |
|||||||||||
9. |
Стороны |
параллелограмма |
|
лежат |
на |
прямых |
x − y −4 =0 и |
|||||
|
3x + y −4 =0.Зная координаты одной из вершин А (1; 4), составить урав- |
нения двух других сторон и найти координаты вершины, противолежащей вершине А.
10. Установить, какие линии определяются уравнениями:
а)3x2 − y2 +6x +6y −9 =0 ,
b) y =1+ 2 −x . Изобразить эти линии на чертеже.
Вариант 26
1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом
x +2y −z =3
−x +4z =7 .
3x + y +4z =22
24
|
|
|
0 |
1 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
−1 |
2 |
0 |
|
|||||
2. Даны матрицы А = |
1 −1 3 , С = |
0 , В = |
1 1 0 . |
||||||
|
2 0 2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
−1 −1 0 |
|
|
2 |
1 |
|
|||||
Найти АС+3В. |
|
1 |
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти вектор x, зная, что x a, a ={1;0;1}, xr b, b ={0;2;−1}, |
проекция век- |
||||||||
тора x на вектор c ={1;2;2}равна 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Доказать, что четырёхугольник с вершинами А (1; 2; 0), В (5; 2; 6), |
||||||||
|
С (3; 0; 3), D (-1; 0; -3) является параллелограммом. Найти его площадь. |
||||||||
5. |
Вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах |
r |
r |
||||||
a |
=i −3j +k, |
||||||||
|
r |
r |
r |
r r |
r |
r |
r |
|
|
|
b |
=2i |
+ j |
−3k, c |
=i |
+2 j |
+k. |
|
|
6.Лежат ли точки А (0; 0; 2), В (4; 2; 5), С (12; 6;11) на одной прямой?
7.Проверить, могут ли точки А (0; 0; 2), В (3; 0; 5), С (1; 1; 0) и D (4; 1; 2)
служить вершинами тетраэдра. В случае положительного ответа составить уравнение грани АВС.
8.Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (-2; 3; 7) парал-
2x + y −z =0
лельно прямой 4x − y +3z −7 =0.
9. Стороны АВ и ВС параллелограмма заданы уравнениями 2x − y +5 =0 и x −2y +4 =0. М (1; 4) – точка пересечения его диагоналей. Составить
уравнения двух других сторон параллелограмма и найти длины его высот. 10. Установить, какие линии определяются уравнениями:
а) 25x2 −4y2 +50x +64y −331=0;
b) x =−2 |
9 + y2 . Изобразить эти линии на чертеже. |
3 |
|
|
Вариант 27 |
1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом
2x + y −z =−6
3x +4y +5z =8.
x − y −z =−3
|
|
|
|
|
2 |
−3 |
|
|
−3 |
1 |
4 |
|
|
|
|
, В = 4 |
−8 . Найти АВ и ВА. |
||||||
2. Даны матрицы А = |
|
||||||
|
2 |
7 |
−1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
7 |
5 |
25
3. В треугольнике АВС вершины имеют координаты: А (1; 3; 4), В ( 32 ; 3; 12 ),
С (8; 3; 5). Найти острый угол между медианой ВD и стороной АС.
4. Найти вектор x, зная, что x a, a ={−1;1;0}, xr b, b ={−4;−3;4}, xr образует
сосью OY тупой угол и x =27.
5.Найти объем пирамиды А1А2А3А4, если А1 (1; 2; 0), А2(3; 0; -3),
А3(5; 2; 6), А4(8; 4; -9).
|
x +1 y |
|
z −2 2x − y +z −11=0 |
|
|||||||||||||
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Будут ли прямые |
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
параллельными? |
|||
3 |
−1 |
4 |
+ |
y |
− |
z |
− |
1 |
= |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
7.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (2; -1; 5) перпендикулярно к плоскостям 3x −2y +z +7 =0 и 5x −4y +3z +1=0.
8.Составить уравнения перпендикуляра, опущенного из точки А (1; 0; -1) на прямую x −110 = y2−1 = 3z .
9.Составить уравнения сторон треугольника АВС, если известны координаты вершины А (0; 2) и уравнения высот ВН: x + y =4 и СН: y =2x.
10.Установить, какие линии определяются уравнениями:
а) y2 −4y +2x +6 =0 ,
b)y =−7 + 52 16 +6x −x 2 . Изобразить эти линии на чертеже.
Вариант 28
1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом
x + y +z =25
2x +2y −3z =−15.2x − y +4z =52
|
|
|
|
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−4 , С = |
|
|
|
||||
2. Даны матрицы А = |
2 1 |
−3 |
, В = |
|
3 |
4 |
|
. Найти |
||
−2 4 |
0 |
|
|
|
|
1 |
−2 |
|
||
|
|
|
|
1 |
−2 |
|
|
|
|
|
АВС.
3. Даны точки А (-2; 3; -4), В (3; 2; 5), С (1; -1; 2), D (3; 2; -4). Вычислить npCD (AB +DB).
4.Зная две стороны AB ={−3;−2;6}, BC ={−2;4;4} треугольника АВС, вычислить длину высоты АD.
26
5. Найти объём пирамиды, построенной на векторах a ={2;3;5}, b ={1;1;1} и c ={−1;3;−1}. Является ли треугольник, построенный на векторах a и c равнобедренным?
6.Даны две вершины параллелограмма АВСD: С (-2; 3; -5) и D (0; 4; -7) и точка пересечения диагоналей М (1; 2; −27 ). Составить уравнения стороны
АВ.
7.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М1 (0; 1; 3) и М2(2; 4; 5) параллельно оси OX. Построить её.
8.На оси OY найти точку, отстоящую от плоскости 3x −2y +6z −11=0 на
расстоянии d =3.
9. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон: x +2y =4 и x +2y =10и уравнение одной из его диагоналей:
y = x +2.
10.Установить, какие линии определяются уравнениями:
а) x2 −12x −4y +32 =0 ,
b) y = −53 9 −x2 . Изобразить эти линии на чертеже.
Вариант 29
1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом
3x + y −z =7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x +2y −3z =−15. |
|
|
|
|
|
|
|
−x − y +4z =40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, В = −3 |
|
1 . Найти АВ. |
|||
2. Даны матрицы А = |
2 |
3 |
−1 |
0 |
|||
0 |
1 |
4 |
|
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3. Проверить, могут ли векторы ar =7i +6 j −6k и b =6i +2 j +9k быть рёбрами куба. В случае положительного ответа, найти третье ребро куба.
4.В треугольнике с вершинами А (4; -14; 8), В (2; -18; 12), С (12; -8; 12)
найти длину высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ.
5. Какую тройку образуют векторы ar =2i −3 j +k , b =i + j −k , cr =4i −8 j −k ? Найти npcv(ar×3b) .
x − y +3z −7 =0
6. Составить параметрические уравнения прямой 2x + y −z +2 =0.
27
7.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки Р (2; 0; -1) и Q (1; -1; 3) перпендикулярно к плоскости 3x +2y −z +5 =0.
8. Вычислить расстояние между плоскостями 11x −10y −2z −4 =0, 22x −20y −4z +7 =0 .
9. Даны две вершины треугольника АВС: А (-4; 3) и В (4; -1) и точка пересе-
чения его высот М (3; 3). Найти координаты вершины С. 10. Установить, какие линии определяются уравнениями:
а) x2 −4y2 +2x +72y −327 =0,
b) x = −2 y +1 +6 . Изобразить эти линии на чертеже.
Вариант 30
1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом
2x − y +4z =17
x + y −z =1 .x +2y −2z =2
|
3 |
1 |
−3 |
8 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Даны матрицы А= |
−3 |
6 |
|
, В= |
4 |
−2 |
|
||
|
, С= |
3 5 . Найти (2А-В)С. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
||
|
0 |
7 |
|
|
|
3. Векторы |
r |
r |
1 |
;3 |
служат сторонами треугольника |
|
AB = 3 j |
−k |
и AC = 8; |
||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
АВС. Найти острый угол между медианой АМ и стороной АС.
4.Найти площадь четырехугольника ОАВС, если: О (0; 0; 0), А (6; -4; 0),
В(3; 0; 1), С (6; 2; 3).
5.Найти длину высоты пирамиды ОАВС, опущенную из вершины С, если:
О(0; 0; 0), А (2; 4; 0), В (2; 2; 1), С (4; 14; 9).
6.Составить уравнения прямой, проходящей через точку N (5; -1; -3) парал-
2x +3y +z −6 =0
лельно прямой 4x −5y −z +2 =0 .
7. Дана одна из вершин прямоугольного параллелепипеда А (1; 1; -1), три грани которого лежат на плоскостях 7x +6y −6z +3 =0, 6x +2y +9z +8 =0,
6x −9y −2z −10 =0. Вычислить объём этого параллелепипеда.
28
8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (2; 3; -1) и пря-
x =t −3
мую y =2t +5 .
z =−3t +1
9.Точки А (1; 2) и С (3; 6) являются противоположными вершинами квадрата. Вычислить координаты двух других вершин квадрата.
10.Установить, какие линии определяются уравнениями:
а)36x2 −16y2 −72x −160y −940 =0 ,
b) x = 1 |
49 − y2 . Изобразить эти линии на чертеже. |
7 |
|
29