- •Введение
- •Методические указания
- •по самостоятельной работе студентов
- •1. Матрицы и операции над ними
- •2. Определители
- •5. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •7. Скалярное произведение векторов
- •8. Векторное произведение векторов
- •9. Смешанное произведение векторов
- •10. Уравнение прямой на плоскости
- •11. Уравнение плоскости в пространстве
- •12. Уравнение прямой в пространстве
- •13. Кривые второго порядка
- •Варианты контрольной работы № 1. «Алгебра матриц»
- •Библиографический список
Решение
æ |
2 |
1 |
ö |
|
æ100 |
ö |
æ 850 |
ö |
|
|
´ |
ç |
÷ |
, |
общая стоимость сырья Q = |
||||||
Затраты сырья S = АС= ç |
3÷ |
ç200 |
÷ |
= ç |
÷ |
|||||
èç1 |
3 |
4ø÷ |
|
ç |
÷ |
ç1300 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
è150 |
ø |
è |
ø |
|
|
æ 850 ö
BS = (10 15)´ ç ÷ = 20350.
çè1300÷ø
Итак, общие затраты предприятия на производство 100 единиц продукции первого вида, 200 единиц продукции второго вида и150 единиц продукции третьего типа составляют 20350 условных денежных единиц.
2. Определители
Каждой квадратной матрице А порядка n можно поставить в соответствие число, называемое определителем и обозначаемое А . Определитель первого порядка матрицы (а11) – это само число а11.
|
|
|
|
|
Определителем |
|
|
|
второго |
порядка, соответствующим |
матрице |
||||||
|
|
|
æa |
a |
ö |
, называется |
число, |
определяемое |
следующим |
образом: |
|||||||
|
A = ç 11 |
12 |
÷ |
||||||||||||||
ç |
a22 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
èa21 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
A |
|
= |
|
a11 |
a12 |
|
= . = a × a |
22 |
- a |
21 |
× a |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для матрицы А третьего порядка определитель можно вычислить по
формуле, которая называется формулой треугольников:
a11 |
a12 |
a13 |
|
a21 |
a22 |
a23 |
= a11 × a22 × a33 + a12 × a23 × a31 + a21 × a32 × a13 - |
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
-a13 × a22 × a31 - a23 × a32 × a11 - a21 × a12 × a33 . |
Вэтой формуле первые три слагаемых представляют произведения
элементов, получаемые по левой схеме. Следующие три произведения
9
получаются по правой схеме, их берут со знаком минус. Символически это записывается следующим образом и легко для запоминания:
= |
|
– |
|
|
(Основания |
|
(Основания |
||
треугольников |
|
треугольников |
||
параллельны |
|
параллельны |
||
главной диагонали) |
|
побочной |
||
|
|
|
диагонали) |
|
Примеры |
4 |
2 |
1 |
|
2.1. Вычислить определители: 8 |
||||
1 , 6 |
7 |
- 3. |
||
7 |
4 |
4 |
5 |
|
|
0 |
Решение
8 1 = 8×4 - 7 ×1 = 32 - 7 = 25. 7 4
4 2 1 6 7 - 3 = 4 ×7 ×5 + 6 ×4 ×1+ 2 ×(-3) ×0 - [ 0 ×7 ×1+ 4 ×(-3) ×4 + 6 ×2 ×5 ]=
0 4 5
=140 + 24 - 0 - [0 - 48 + 60]=164 -12 =152 .
3.Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера.
|
|
Система n |
|
|
|
линейных |
уравнений mс неизвестными |
имеет |
вид |
|||||
ìa11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 , |
|
|
|
|
||||||||||
ï |
|
+ a22 x2 + + a2n xn |
|
= b2 , |
|
|
|
|
||||||
ïa21 x1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
í........................................... |
|
|
|
|
||||||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïa |
x |
+ a |
m 2 |
x |
2 |
+ ... + a |
mn |
x |
n |
= b |
, |
|
|
|
î |
m1 1 |
|
|
|
|
m |
|
|
|
10
|
|
|
|
|
|
æ a |
a |
... |
a ö |
|
|
|
|
|
|
|
ç 11 |
12 |
|
1n ÷ |
|
или в матричном виде |
AX = B , где А= |
ç a21 |
a22 |
... |
a2n ÷ |
– матрица коэффициен- |
||||
ç |
|
|
÷ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
ç ... ... |
... |
... ÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
am 2 |
... |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
èam1 |
amn ø |
|
||
|
æ x |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
тов, |
ç x2 ÷ |
– вектор-столбец неизвестных, а В – вектор-столбец правых час- |
||||||||
X = ç |
... |
÷ |
||||||||
|
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
è xn ø |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
æb |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç 1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
тей |
çb2 |
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç... |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
çb |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è m ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
Система |
|
уравнений, |
в |
которой количество |
уравнений |
равно числу |
||||||||
неизвестных (m = n), имеет |
единственное |
решение, если |
|
A |
|
¹ 0 , |
и не |
имеет |
||||||
|
|
|||||||||||||
решений, если |
|
A |
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Система |
2-х линейных |
уравнений |
с двумя |
неизвестными |
имеет вид |
ìía11 x1 + a12 x2 = b1 , îa21 x1 + a22 x1 = b2 .
Решением системы двух линейных уравненийс двумя неизвестными
будет упорядоченная пара |
чисел |
, y0 ) |
, |
при |
подстановке которых |
вместо |
||
|
|
(x0 |
|
|
|
|
|
|
соответствующих |
неизвестных |
все |
|
уравнения |
системы |
обращаются |
||
тождества. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Система 3-х |
линейных |
уравнений |
с |
тремя |
неизвестными |
имеет вид |
ìïa11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , ía21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , ïîa31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 .
Решением системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными
называется упорядоченная тройка чисел( x0 , y0 , z0 ) , при подстановке которых вместо соответствующих неизвестных все уравнения системы обращаются в тождества.
11
Каждое неизвестное системы линейных уравнений |
можно найти по |
|||||||||||
формуле Крамера: |
xi = |
Di |
, где D – это определитель системы, составленный из |
|||||||||
|
||||||||||||
|
|
D |
|
|||||||||
коэффициентов |
неизвестных D = |
|
A |
|
¹ 0 , а Di = |
|
Ai |
|
– это |
определитель, |
||
|
|
|
|
который получается из матрицыА заменой i-го столбца на столбецВ правых частей.
Нахождение неизвестных системы двух линейных уравнений с двумя
неизвестными по формулам Крамера:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х = |
D1 |
, |
|
х |
2 |
= |
D2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
D |
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где D = |
|
a11 |
a12 |
|
, |
D ¹ 0 , D1 = |
|
b1 |
|
a12 |
|
, D2 = |
|
|
a11 |
b1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a21 |
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Нахождение неизвестных системы трех линейных уравнений с тремя |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
неизвестными по формулам Крамера: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х = |
D1 |
, |
|
х |
2 |
= |
D2 |
, х = |
D3 |
, |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
D |
|
|
|
D |
|
3 |
|
|
|
D |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
b1 |
|
a12 |
|
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
a |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
a22 |
|
a23 |
|
|
|
11 |
1 |
13 |
|
|||||||||||||||||
где D = |
, D ¹ 0 , |
|
D1 = |
|
|
|
, |
D2 = |
a21 |
b2 |
a23 |
, |
||||||||||||||||||||||||||
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
b3 |
|
a32 |
|
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
b3 |
a33 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
a11 |
a12 |
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
D3 = |
a21 |
a22 |
b2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
a31 |
a32 |
b3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Примеры |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.1. Решить систему íì2x1 + 3x2 |
= 1 по формулам Крамера: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
î3x1 - 2x2 |
= 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение
12
x = |
|
|
D |
1 |
|
, x |
2 |
= |
D2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
D |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
D = |
|
2 |
|
3 |
|
= -4 - 9 = -13 ¹ 0 Þ система имеет единственное решение. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
- 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
D1 = |
|
1 3 |
|
= -2 - 24 = -26 , D2 = |
|
2 1 |
|
=16 - 3 =13 , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
8 |
- 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x = |
- 26 |
= |
2 , |
|
|
x |
|
= |
13 |
|
|
= -1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
-13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì3x1 + 2x2 - x3 = -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3.2. Решить систему íïx1 + x3 = 3 |
|
|
|
|
|
по формулам Крамера: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îï- x1 + x2 + x3 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
|
|
D |
1 |
|
, x |
2 |
= |
D2 |
, x |
3 |
= |
D3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
D |
|
D |
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
-1 |
|
= -8 ¹ 0 Þ система имеет единственное решение. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
D = |
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
-1 2 -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 -1 -1 |
|
|
|
|
3 2 -1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
D1 = |
3 0 1 |
= -8 , D2 = |
1 3 1 |
= 8 , |
D3 = |
|
1 0 3 |
|
= -16 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 0 1 |
|
|
|
|
-1 1 0 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
- 8 = |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 = - |
1, |
|
|
|
-16 = |
2. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
= -8 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x1 = - 8 |
|
|
|
|
x2 = |
-8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
4. Обратная матрица
Матрица A называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля, т. е. A ¹ 0 . Матрица A называется вырожденной, если ее определитель
равен нулю |
|
A |
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|||
Матрица A-1 называется обратной |
для невырожденной квадратной |
|||||
матрицы A , если A-1 × A = A× A-1 = E . |
|
|
||||
Алгебраическим дополнением Aij |
элемента aij |
называется число, |
||||
определяемое равенством Aij = (-1)i + j × M ij . |
|
|
Минором Мij , соответствующим элементу aij , называется определитель,
полученный из данного определителя путем вычеркивания из негостроки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
æ a |
a |
ç 11 |
12 |
Обратная матрица A-1 для невырожденной матрицыA = ça21 |
a22 |
ç |
a32 |
èa31 |
a13 ö÷ a23 ÷ a33 ÷ø
|
|
|
|
|
|
|
|
æ A |
A |
A |
ö |
|
|
-1 |
|
|
1 ç |
11 |
21 |
31 |
÷ |
||||
имеет вид: A |
|
= |
|
|
|
|
|
ç A12 |
A22 |
A32 |
÷ . |
|
|
|
|
A |
|
|
|||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ç A |
A |
A |
÷ |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
è |
13 |
23 |
33 |
ø |
|
ìa x |
+ a x |
|
|
+ a x |
|
|
= b , |
|||||||
Систему линейных уравнений |
ï |
11 |
1 |
12 |
|
2 |
13 |
|
3 |
1 |
|||||
ía21 x1 + a |
22 x2 |
+ a23 x3 |
= b2 , можно решить не |
||||||||||||
|
ïa |
31 |
x |
+ a |
32 |
x |
2 |
+ a |
33 |
x |
3 |
= b . |
|||
|
î |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
только по формулам Крамера, но и с помощью обратной матрицы; для этого
необходимо записать уравнение в матричной : формеА × Х = В , где
æ a |
a |
a |
ö |
ç 11 |
12 |
13 |
÷ |
A = ça21 |
a22 |
a23 ÷ – матрица |
|
ç |
a32 |
a33 |
÷ |
èa31 |
ø |
æ b |
ö |
ç 1 |
÷ |
неизвестных, В = çb2 ÷ – матрица |
|
çb |
÷ |
è 3 |
ø |
æç х1 ö÷
коэффициентов, Х = ç х2 ÷ – матрица
çè х3 ÷ø
свободных членов. Чтобы найти матрицу
14
неизвестных, необходимо найти обратную матрицу A-1 , а затем умножить ее на матрицу свободных членов, т. е. Х = A-1 × В
Примеры
æ1 |
-1 |
2 |
ö |
|
ç |
|
1 |
0 |
÷ |
4.1. Найти обратную матрицу для матрицы A = ç2 |
÷ . |
|||
ç |
1 |
1 |
|
÷ |
è |
-1ø |
Решение
Вычислим определитель матрицы А:
1 -1 2
A = 2 1 0 = -1 + 4 - 2 - 2 = -1 ¹ 0 Þ обратная матрица существует.
1 1 -1
Найдем алгебраические дополнения Aij всех элементов матрицы А:
A = (-1)1+1 × |
1 0 |
= -1, |
|
A = (-1)1+2 × |
2 0 |
|
= 2 , |
A = (-1)1+3 × |
2 1 |
=1, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
|
|
|
|
|
1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
1 |
-1 |
|
|
13 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
A = (-1)2+1 × |
|
-1 2 |
|
=1, |
A = (-1)2+2 |
× |
|
|
1 2 |
|
= |
3 , |
A = (-1) 2+3 |
× |
|
|
|
1 -1 |
|
|
|
|
= -2 , |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21 |
|
|
|
|
|
|
1 |
-1 |
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
1 |
-1 |
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
A = (-1)3+1 × |
|
-1 2 |
|
= -2 , |
A = (-1)3+2 |
× |
|
1 2 |
|
= 4 |
, |
A = (-1)3+3 |
× |
|
1 -1 |
|
|
= 3 . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
31 |
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
Составим обратную матрицу A-1 для матрицы А: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
æ-1 1 - 2 ö |
æ 1 -1 2 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
-1 |
|
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A |
|
= |
|
× ç 2 |
|
|
|
|
3 |
|
4 ÷ = |
ç |
- 2 3 |
- |
4÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
ç |
-1 2 |
- |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
è 1 |
|
|
|
|
- 2 3 ø |
è |
3ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Выполняя |
|
проверку A-1 × A = E , |
|
убедимся в правильности выполненных |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вычислений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ 1 |
|
-1 2 ö |
æ1 |
-1 2 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç- 2 3 - 4÷ × ç2 1 |
|
|
|
0 ÷ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è -1 2 - 3 |
ø |
è1 1 |
|
|
|
-1ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
(1 - 2 + 2) (-1 -1 + 2) (2 + 0 - 2) ö æ1 0 0ö |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ç(-2 + 6 - 4) (2 + 3 - 4) (-4 + 0 + 4)÷ = ç0 1 0÷. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è (-1 + 4 - 3) (1 + 2 - 3) (-2 + 0 + 3) ø è0 0 1ø |
15