Метод вариации произвольных постоянных.
(1)
(2)
Пусть
- однородное решение (2), будем искать однородное решение (1) в виде .
(3)
Определитель (3) – определитель Вронского для системы т.к.в 0 не обращаются, то (3) имеет единственное решение.
(4)
Примеры:
1) , , ,
, , .
а)
б)
, ,
,
, ;
, ;
О: , ,
(1)
, где 1-кратность собственного числа .
2)
, , ,
a)
б)
, ,
, ,
, ,
Дифференциальные уравнения
Критерий Рауса-Гурвица
(*)
Составим матрицу:
- матрица Гурвица
Теорема.
Для того чтобы все корни (*) имели необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы Гурвица были положительными.
Уравнение колебаний.
Рассмотрим пружину:
- свободные колебания
, -сила сопротивления
резонанс
Краевые (граничные) задачи.
Колебание струны.
(1)
Пусть , тогда
Значение при котором (1) имеет ненулевые решения называется собственным числом уравнения.
Соответствующие решения называются собственными функциями.
- собственные числа (1)
- собственные функции (1)
Некоторые сведения о приближённых решениях.
(1)
(2)
(1)(2)
Метод последовательных приближений.
- нулевое приближение