§ 4.7.2. Периодические несинусоидальные сигналы
В цепях электросвязи, электронных и полупроводниковых устройств используются периодические несинусоидальные токи и напряжения, т.е. сигналы, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону (рис.4.8).
Рис.4.8. Несинусоидальные сигналы.
Из математики известно, что несинусоидальная периодическая функция может быть представлена в виде гармонического ряда Фурье:
,
где
– постоянная составляющая,
– амплитуда синусоидальной составляющейk‑ ой гармоники,
– амплитуда косинусной составляющейk‑ ой гармоники.
Существует вторая форма записи ряда Фурье:
,
где
,
.
Пример разложения в ряд Фурье сигналов, изображенных на рис 4.8:
Последовательность прямоугольных импульсов:
;
Последовательность треугольных импульсов:
.
Гармоника, частота которой равна частоте несинусоидальной периодической функции, называется основной. Остальные гармоники – высшие.
Действующее значение несинусоидальных токов и напряжений – это величины, измеряемые амперметром и вольтметром.
Действующее значение периодической функции тока и напряжения, представленной рядом Фурье, определяется через действующие значения всех гармоник:
,
.
Пример.Напряжение источника ЭДС задано в виде ряда Фурье:
В.
Вольтметр электромагнитной системы, подключенный к источнику, покажет действующее значение напряжения:
В.
Мощность в линейных электрических цепях с негармоническими напряжениями и токами
Активная мощность несинусоидального периодического тока равна сумме активных мощностей постоянной составляющей и всех гармоник:
,
где
.
Реактивная мощность определяется как сумма реактивных мощностей отдельных гармоник:
,
причем, реактивная мощность от постоянной
составляющей тока и напряжения равна
нулю
.
Полная мощность равна произведению
действующих значений несинусоидального
напряжения и тока
.
Расчет линейной цепи с несинусоидальными сигналами
Расчет линейной цепи с несинусоидальными сигналами базируется на принципе наложения, согласно которому он проводится для каждой из гармонических составляющих в отдельности.
1. Заданные несинусоидальные токи, напряжения, ЭДС представляются гармоническим рядом.
2. Рассчитывают цепь последовательно
от действия нулевой, первой и других
гармоник, проверяя правильность расчета
для каждой из гармоник подсчетом баланса
мощностей, при этом
,
.
3. Записывают результат в виде суммы мгновенных значений всех составляющих (в виде гармонического ряда).
Пример.Электрическая цепь состоит из
последовательно соединенных сопротивления
Ом, индуктивностиL= 0,159 Гн и
конденсатораС= 7,08 мкФ.
Цепь питается от источника напряжения:
В.
Частота первой гармоники f = 50 Гц. Найти мгновенное значение тока в цепи.
Решение. Расчет цепи производим символическим методом отдельно для каждой гармоники тока. Комплексные амплитуды напряжения гармоник:
В;
В;
В.
Определяем сопротивления цепи токам 1, 3 и 5-й гармоник:
;
Ом;
Ом.
Ом;
Ом;
Ом.
Расчет тока для первой гармоники:
А;
Расчет тока для третьей гармоники:
А.
Расчет тока для пятой гармоники:
А.
Мгновенное значение несинусоидального тока в цепи
А.