2. Правила выполнения и оформления контрольных работ

При выполнении контрольных работ требуется строгое соблюдение указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, могут быть не зачтены.

1. Каждая контрольная работа выполняется в тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного. Необходимо оставлять поля шириной 3-4 см для замечаний рецензента.

2. На обложке тетради должно быть ясно написаны фамилия и инициалы студента, группа, шифр, номер контрольной работы, название дисциплины и адрес студента. В конце работы ставится дата ее выполнения и подпись.

3. В работу включаются все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту.

4. Решения задач располагаются в порядке возрастания их номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач.

5. Условия задач приводятся полностью. Решение излагается подробно и аккуратно, объясняются все действия по ходу решения и делаются необходимые чертежи.

6. После получения прорецензированной работы, как незачтенной, так и зачтенной, исправляются отмеченные рецензентом ошибки и выполняются все рекомендации рецензента.

3. Вопросы для самопроверки к контрольной работе

1. Дайте определение функции. Что называется областью определения функции? Какие функции называются нечетными, четными, периодическими и каковы особенности их графиков?

2. Сформулируйте определение предела функции при стремлении аргумента к конечному пределу и к бесконечности.

3. Как связано понятие предела функции с понятиями ее односторонних пределов?

4. Какая функция называется бесконечно малой и бесконечно большой? Какова их связь? Свойства бесконечно малых.

5. Основные свойства пределов.

6. Что такое первый и второй замечательные пределы?

7. Сформулируйте определения непрерывности функции в точке и на интервале. Какие точки называются точками разрыва функции?

8. Сформулируйте определение производной функции. Каков ее механический и геометрический смысл?

9. Запишите основные правила дифференцирования и таблицу производных.

10. Сформулируйте теоремы Ролля и Лагранжа. Каков их геометрический смысл?

11. Каковы признаки возрастания и убывания функции?

12. Что такое экстремумы функции? Как они находятся?

13. Как находятся интервалы выпуклости и вогнутости функции?

14. Какая линия называется асимптотой графика функции? Как найти вертикальные и наклонные асимптоты?

15. Что называется первообразной функцией и неопределенным интегралом?

16. Каковы основные свойства неопределенного интеграла?

17. Напишите таблицу неопределенных интегралов.

18. Запишите формулы замены переменных и интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

19. Запишите простейшие рациональные дроби и изложите схему разложения рациональных дробей в сумму простейших.

20. Изложите метолы интегрирования тригонометрических и иррациональных выражений.

21. Что называется определенным интегралом и каковы его свойства?

22. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.

23. Как производится замена и интегрирование по частям в определенном интеграле?

24. Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции, длины дуги плоской кривой, объема тела вращения.

25. Что такое дифференциальное уравнение первого порядка? Что является его решением, общим решением? Как ставится задача Коши для уравнения первого порядка?

26. Что называется уравнением с разделяющимися переменными, однородным уравнением, линейным уравнением, уравнением Бернулли? Каковы методы их решения?

27. Какие частные случаи уравнений второго порядка допускают понижение порядка? Какие при этом делают замены переменных?

28. Какое уравнение называется линейным однородным уравнением второго порядка? Какова структура его общего решения?

29. Что такое характеристическое уравнение, соответствующее однородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами? Как записать фундаментальную систему решений в зависимости от корней характеристического уравнения? Каково будет общее решение?

30. Сформулируйте теорему о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.

31. В чем состоит метод вариации произвольных постоянных для решения неоднородного дифференциального уравнения второго порядка?

32. В чем состоит метод неопределенных коэффициентов решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида? Что это за специальный вид правой части, допускающий применение метода неопределенных коэффициентов?

4. Примеры решения задач к контрольной работе

Пример 1. Найти пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

а) ; б);

в) ; г).

Решение. а) Знаменатель и числитель в дроби стремятся к бесконечности при . Имеем неопределенность вида. Разделив числитель и знаменатель нав наибольшей степени, т.е. на, получим

т.к. при каждая из дробей,стремится к нулю.

б) Имеем неопределенность вида . Умножим числитель и знаменатель на выражение. Получим

в) Воспользуемся первым замечательным пределом

Тогда

.

г) Имеем неопределенность вида , поэтому воспользуемся вторым замечательным пределом

После перехода к новой переменной , получим

.

Пример 2. Исследовать функцию на непрерывность. Определить точки разрыва, если они есть. Построить график.

.

Решение. Данная функция является кусочно-элементарной и на каждом "куске" определена во всех точках, а потому и непрерывна. Остается исследовать функцию на непрерывность в местах "склейки" элементарных "кусков", т.е. в точках

, .

1) .. Найдем односторонние пределы при . и значение функции в этой

точке:

Поскольку все три полученных значения совпадают, то при функция непрерывна.

2) Исследуем функцию на непрерывность в точке .

Поскольку односторонние пределы функции при конечны, но не совпадают, в этой точке имеет место разрыв первого рода.

Построим график функции.

Рис. 1.

Пример 3. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.

Решение. Исследование функции будем проводить по следующему плану.

1) Найдем область определения функции.

Поскольку представляет собой дробь, то знаменатель дроби должен быть отличен от нуля, т.е. Таким образом,

2) Определяем точки пересечения графика функции с координатными осями. Единственной такой точкой будет точка .

3) Исследуем функцию на наличие свойства четности или нечетности.

Очевидно, что и , поэтому функция не является ни четной, ни нечетной.

4) Рассмотрим периодичность функции.

Функция не является периодичной, поскольку у периодичной функции не может быть конечного числа точек разрыва, если они есть.

5) Исследуем функцию на наличие у ее графика асимптот.

а) Вертикальные асимптоты.

Вертикальную асимптоту мы можем искать лишь в виде . Для доказательства того, что вертикальная прямая будет асимптотой, вычислим пределы справа и слева приот функции.

,

Поскольку среди найденных пределов получились бесконечности, то действительно будет вертикальной асимптотой.

б) Наклонные асимптоты.

Наклонные асимптоты будем искать в виде прямых линий с уравнениями при и .

.

Таким образом, прямая с уравнением является асимптотой при. Те же самые значения пределов для и получим и при , поэтому найденная прямая является асимптотой и при .

6) Найдем интервалы возрастания, убывания функции, точки экстремума.

Для исследования функции на возрастание, убывание, экстремумы находим ее производную.

Стационарными точками являются и , при которых . Других критических точек, отличных от стационарных, у функции нет. При . функция возрастает, при убывает.

7) Найдем интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба. Для этого найдем .

Точкой, где меняет знак, является точка , следовательно, является точкой перегиба. Если , то функция выпукла, если , то функция вогнута.

8) Результаты исследования знаков ии соответствующего поведения функции на интервалах оформлены в виде таблицы.

					0 точка перегиба

9) Строим график функции, нанося предварительно асимптоты, точки пересечения графика с координатными осями, точки экстремума и перегиба графика и соединяя их плавной кривой, соответствующей проведенному и зафиксированному в таблице исследованию элементов поведения функции на отмеченных интервалах.

Рис. 2.

Пример 4. Интегрирование по частям. Найти неопределенный интеграл:

Решение. Полагаем , , тогда , . В силу формулы интегрирования по частям , имеем

Применяя к последнему интегралу еще раз формулу интегрирования по частям, положим теперь ,

Замечание. В интегралах вида , за функцию следует брать и соответственно.

Пример 5. Интегрирование дробно-рациональной функции. Найти интеграл:

Решение. Метод интегрирования дробно-рациональных функций заключается в разложении данной функции в сумму многочлена и простейших дробей и последующем нахождении интегралов от каждого из слагаемых этого разложения. Рассмотрим два этапа решения на нашем примере.

Первый этап. Подынтегральная функция имеет вид , где и многочлены 5 и 4 степеней соотвественно:

,

Однако, прежде чем искать разложение дроби на сумму простейших дробей, следует выделить из этого выражения целую часть (т.е. некоторый многочлен) и правильную дробь (т.е. такую дробь, в которой степень числителя меньше степени знаменателя). С этой целью преобразуем знаменатель .

после чего разделим многочлен $P(x)$ на $Q(x)$:

Таким образом, получим:

Последняя дробь уже является правильной, поскольку степень числителя равна трем, а степень знаменателя равна четырем.

Многочлен имеет корень кратности два, а также пару комплекно-сопряженных корней , поэтому разложение дроби

следует искать в виде

где числа , , , могут быть определены при помощи метода неопределенных коэффициентов. Приведем дроби, стоящие в правой части (2), к общему знаменателю.

после чего приравняем числители в тождестве (3).

Положив в тождестве (4) , найдем, что . Остальные коэффициенты разложения (2) можно определить, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной в левой и правой частях тождества (4). В результате такого сравнения получим систему линейных уравнений относительно неизвестных , , следующего вида

Из этой системы последовательно находим , , . Таким образом, разложение подынтегральной функции (1) принимает вид

Второй этап. После проделанных преобразований нахождение исходного интеграла сводится к нахождению суммы табличных интегралов, либо интегралов, приводящихся к табличным. Из формулы (5) последовательно получаем

Для нахождения последнего интеграла в формуле (6)

проведем еще ряд несложных преобразований.

Окончательно получаем

.

где – произвольная постоянная.

Замечание. В случае, когда заданная подынтегральная функция представляет собой правильную дробь, производить деление числителя на ее знаменатель не нужно, а следует сразу переходить к разложению этой дроби в сумму простейших дробей.

Замечание. При разложении правильной дроби в сумму простейших дробей с помощью метода неопределенных коэффициентов следует иметь в виду следующее обстоятельство. Если многочлен, стоящий в знаменателе исходной дроби имеет вещественный корень кратности , то этому корню должна соответствовать (в разложении на простейшие дроби) группа членов, состоящая в точности из слагаемых следующего вида

При этом не исключено, что после применения метода неопределенных коэффициентов какие-то из чисел могут оказаться равными нулю.

Пример 6. Интегрирование иррациональных функций. Найти интеграл

Решение. Легко видеть, что подстановка преобразует подынтегральное выражение к дробно-рациональному виду. В самом деле, если , то , откуда , , . Поэтому

Дальше можно применять уже известный метод интегрирования дробно-рациональных функций, однако, в данном случае удобнее применить следующий искусственный прием, который быстро приводит к цели:

Пример 7. Интегрирование тригонометрических функций. Найти интеграл

Решение. Выполним подстановку , тогда , следовательно,

Пример 8. Найти интеграл

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение, применив формулу понижения, известную из тригонометрии.

.

Пример 9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: , .

Решение. Сделаем чертеж.

Рис. 3.

Найдем абсциссы точек пересечения линий: , . Для этого приравняем правые части уравнений: . Решая его, найдем: , . Воспользуемся формулой площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями , , , :

В нашем случае площадь фигуры можно получить как разность площадей , и двух криволинейных трапеций, ограниченных линиями и соответственно. В результате получим

кв.ед.

Пример 10. Вычислить объем тела, которое получается при вращении вокруг оси фигуры, ограниченной линиями , , , .

Решение. Сделаем чертеж.

Рис. 4.

Воспользуемся формулой объема тела, полученного от вращения вокруг оси $OX$ криволинейной трапеции, ограниченной линиями , , , :

В нашей задаче объем тела равен

куб.ед.

Пример 11. Найти частное решение дифференциального уравнения

),

с начальным условием .

Преобразуем уравнение следующим образом

.

Очевидно, что данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим их, представив производнуюкак отношение дифференциалов

; .

Проинтегрируем обе части последнего равенства

.

.

Пропотенцировав полученное равенство, получим общее решение дифференциального уравнения, где С – произвольная постоянная величина.

.

Величину С найдем из начального условия y(1)=2

, откуда С=2.

Подставив найденное значение в общее решение, получим частное решение, удовлетворяющее начальному условию

, или .

Пример 12. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Данное уравнение является однородным уравнением первого порядка. Поделив почленно обе части уравнения на x, приведем уравнение к виду

.

Для сведения этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными, сделаем замену переменной по формуле . Отсюда , . Подставив эти представления в дифференциальное уравнение, получим

, или .

Разделим переменные и проинтегрируем

.

, где С – неопределенная постоянная. Пропотенциировав последнее равенство и вернувшись к исходным переменным, получим общее решение данного уравнения в виде функции, заданной неявно

, или, домножив на х

.

Пример 13. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Нетрудно видеть, что данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Перепишем его в стандартном виде, разделив обе части равенства на х.

.

Произведем замену переменной по формуле , где u и v – неизвестные функции, зависящие от х

.

Подставив все это в уравнение, получим

, или, .

Функцию v(x) подберем таким образом, чтобы .

Это равенство является уравнением с разделяющимися переменными

; ; , откуда .

Подставив эту функцию в уравнение, получим , или, , откуда

, .

Таким образом - общее решение данного уравнения.

Пример 14. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка

.

Данное уравнение не содержит в явном виде переменную y, поэтому сделаем замену переменной . Отсюда. Подставив все это в исходное уравнение, сведем его к уравнению первого порядка

, откуда ; ; .

Вернувшись к старой переменной y, получим

; ; , откуда .

Полученное равенство задает общее решение исходного дифференциального уравнения. Здесь и - произвольные постоянные величины.

Пример 15. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка

.

Уравнение не содержит в явном виде переменной х, поэтому произведем замену переменной по формуле

, откуда , где .

Подставив все это в исходное уравнение, сведем его к дифференциальному уравнению первого порядка относительно переменной p

.

Преобразуем его к виду , откуда получим два равенства

или .

Первое равенство преобразуем к виду , откуда

(С – произвольная постоянная).

Найдем теперь p из второго уравнения, являющегося уравнением с разделяющимися переменными ; ; ;

.

Вернувшись к исходным переменным , получим ; ; ;

- общее решение исходного уравнения (и- произвольные постоянные величины). Отметим, что полученные ранее решения видаявляются частным случаем последнего семейства функции (при=0).

Пример 16. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка

,

удовлетворяющее начальным условиям y(0)=1; .

Данное уравнение является линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Соответствующее однородное уравнение

.

Характеристическое уравнение

имеет два равных действительных корня .

Фундаментальная система решений

; .

Общее решение однородного уравнения имеет вид линейной комбинации фундаментальных решений

.

Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде суммы общего решения однородного уравнения и некоторого частного решения неоднородного уравнения, соответствующего правой части ,

.

Частное решение неоднородного уравнения для данной правой части f (x) будем искать в виде , гдеa, b, c – неизвестные пока постоянные.

Найдем производные ;и подставив их в неоднородное уравнение, получим

,или.

Последнее равенство должно выполняться тождественно, поэтому приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x многочленов, стоящих слева и справа от знака последнего равенства

.

Решив эту систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными, получим значения констант ; ; .

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид

.

Общее решение неоднородного уравнения

.

Для определения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям, найдем

и подставим у и в начальные условия y(0)=1;.

, или ,откуда

; .

Таким образом, искомое частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, имеет вид

.