- •1.Множества. Функции. Логическая символика.
- •2.Сложная функция. Обратная функция. Основные элементарные функции.
- •Гиперболические функции:
- •3. Предел числовой последовательности.
- •4. Предел функции. Односторонние пределы.
- •5. Непрерывность функции. Классификации точек разрыва. Теорема о непрерывных на отрезке функциях.
- •Классификация точек разрыва.
- •6. Бесконечно малые функции и их свойства.
- •7. Бесконечно большие функции и их свойства.
- •8. Свойства пределов функции.
- •9. Первый замечательный предел.
- •10.Второй замечательный предел.
- •11. Сравнения бесконечно малых функций, основные эквивалентности.
- •12. Определение производной. Механический и геометрический смысл производной.
- •13. Основные свойства производных.
- •14. Производная сложной функции. Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости функции.
- •1)Теорема:
- •2) Теорема:
- •15. Производная обратной функции. Производная показательно-степенной функции.
- •16. Производные основных функций: sin(X), cos(X), tg(X), ctg(X), lg(X), arcsin(X), arcos(X), arctg(X), arcctg(X), ax, xn и гиперболических функций.
- •17. Производная функции заданной параметрически.
- •18. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Свойства дифференциала.
- •19.Производные и дифференциалы высших порядков. Производные высших порядков от функции заданной параметриески.
- •20. Уравнения касательной и нормали к кривой.
12. Определение производной. Механический и геометрический смысл производной.
Определение:
Предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).
Определение через предел:
Пусть в некоторой окрестности точки x0R определена функция f:U(x0)R→R. Производной функции fв точке x0 называется предел, если он существует,
Механический смысл производной:
Пусть т.М движется неравномерно и прямолинейно пусть момент времени t точка находилась в положении А и за время ∆t переместилась в положение B, тогда за время ∆t точка прошла путь ∆s равная очевидно Uср=∆s/∆t.
lim(∆s/∆t)=U(t)(при ∆t→0), то U(t)=s’(t), s’’=a(t).
Геометрический смысл производной:
Если функция f:U(x0)→R имеет конечную производную в точке x0 то в окрестности U(x0) её можно приблизить линейной функцией.Функцияf1 называется касательной к f в точке x0 Число f ‘(x0) является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.
13. Основные свойства производных.
1) Производная const=0, y=C, y’=0;
2) Производная суммы равна сумме производных:
[U(x)+V(x)]’=U’(x)+V’(x);
3)( U(x)/ V(x))’=( U’(x)*V(x)+U(x)*V’(x))/V2(x);
4)(U(x)*V(x))’=U’(x)*V(x)+U(x)*V’(x).
Пусть y(x)=U(x)*V(x)
14. Производная сложной функции. Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости функции.
1)Теорема:
Если функции y = y(u), u = u(x) дифференцируемы (т.е. существуют производные y'u, u'x), тогда сложная функция y = y(u(x)) дифференцируема и y'x = y'u u'x.
Доказательство:
Если аргумент x получит приращение Δx, то функция u получит приращение Δu = u(x + Δx) − u(x), а функция y получит приращение Δy = y(u + Δu) − y(u). Но тогда, воспользовавшись свойствами предела функции, получаем
2) Теорема:
Если функция f(x) дифференцируема в некоторой точке a, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство:
По определению производной
Это предельное равенство означает, что выражение под знаком предела можно представить в виде
где α(x) – бесконечно малая функция при x → a. Тогда
Следовательно, f(x)→f(a) при x → a. Заметим, что дифференцируемость функции в некоторой точке означает ее гладкость в окрестности этой точки, что влечет за собой непрерывность функции в рассматриваемой точке. Однако обратное утверждение несправедливо – функция, обладающая свойством непрерывности в некоторой точке, не обязательно дифференцируема в этой точке.
15. Производная обратной функции. Производная показательно-степенной функции.
I) Производная обратной функции:
Теорема:
(Пусть функция f(x) непрерывна и строго монотонна в окрестности точке x0. Если существует производная обратной x=f(y) в точке y0, то существует производная самой функции в точке x0 и y’x=1/x’y ).
Если обратная функция x = g(y) дифференцируема и g'(y) ≠ 0, то функция y=f(x) дифференцируема, и y’=1/g’(y).
Доказательство:
Если аргументx получит приращение Δx, то функция f получит приращение Δy = f(x + Δx) − f(x). С другой стороны, для обратной функции g приращения Δx, Δy связаны следующим образом: Δx=g(y + Δy) − g(y). Тогда:
II) Производная показательно-степенной функции называется функция вида y[U(x)]V(x).
1. Первый способ:
То есть вначале производная берется как от степенной функции, а потом как от показательной.
Замечание: Порядок следования слагаемых неважен: можно вначале взять производную от показательной функции, а затем как от степенной, так как от перестановки слагаемых сумма не меняется:
2. Второй способ: