Математика(КР-3)-3семестр
.pdfГОУВПО “Воронежский государственный технический университет”
Кафедра “Прикладная математика”
N95-2008
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к контрольной работе № 3
по высшей математике для студентов инженерно – технических специальностей
заочной формы обучения
divFdV FndS
V S
Воронеж 2008
Составители: канд. физ.-мат. наук канд. физ.-мат. наук канд. техн. наук ст. преп.
УДК 517.2 (07)
А.П. Бырдин, Н.В. Заварзин, А.А. Сидоренко, Л.П. Цуканова
Методические указания к контрольной работе №3 по высшей математике для студентов инженерно– технических специальностей заочной формы обучения / ГОУВПО “Воронежский государственный технический университет”; cост. А.П. Бырдин, Н.В. Заварзин, А.А. Сидоренко, Л.П. Цуканова. Воронеж, 2008. 48 с.
Методические указания предназначены для студентовзаочников инженерно - технических специальностей и содержат рекомендации к работе над курсом высшей математики, программу курса с указанием литературы, примеры решения задач и двадцать вариантов контрольных заданий.
Ил.2. Табл.1. Библиогр.:5 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. В.Н. Потапов
Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. В.Д. Репников
Печатается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
ГОУВПО “Воронежский государственный технический университет”, 2008
2
ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ К ИЗУЧЕНИЮ КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, включающая его изучение по рекомендованным учебникам, решение задач с помощью учебных пособий, самопроверка и только затем - выполнение контрольных работ. Завершающим этапом изучения отдельных частей курса высшей математики является сдача зачетов и экзаменов в соответствии с учебным планом.
При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется вписывать определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т.д. Курс высшей математики разбит на темы и пункты, в которых указана литература, рекомендуемая для изучения.
Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь. В пособии [2] имеется большое количество решенных задач, с которыми студентам рекомендуется ознакомиться при изучении соответствующего материала.
После изучения определенной темы по учебнику и решения достаточного количества задач рекомендуется воспроизвести по памяти определения, формулы, формулировки теорем. Необходимый минимум вопросов для самопроверки приведен на страницах 5 - 7.
Зачет контрольной работы преподавателем осуществляется при выполнении следующих требований:
правильном и подробном решении задач в контрольной работе,
3
умении достаточно быстро и без помощи пособий решать задачи, аналогичные задачам, предложенным в контрольной работе,
твердом знании основных формул и определений, перечисленных в вопросах для самопроверки.
Если в процессе изучения теоретического материала или при решении задач у студентов возникают вопросы, справиться с которыми самостоятельно не удается, то за помощью можно обратиться к преподавателю на консультации.
Выбор варианта контрольной работы студентом производится по двум последним цифрам номера студенческого билета в соответствии со следующей таблицей.
Предпоследняя цифра x |
Предпоследняя цифра x |
|
совпадает с одной из цифр: |
совпадает с одной из цифр: |
|
|
0, 2, 4, 6, 8. |
1, 3, 5, 7, 9. |
|
|
|
x1 |
– 1–й вариант |
x1 – 11–й вариант |
x2 |
– 2–й вариант |
x2 – 12–й вариант |
x3 |
– 3–й вариант |
x3 – 13–й вариант |
x4 |
– 4–й вариант |
x4 – 14–й вариант |
x5 |
– 5–й вариант |
x5 – 15–й вариант |
x6 |
– 6–й вариант |
x6 – 16–й вариант |
x7 |
– 7–й вариант |
x7 – 17–й вариант |
x8 |
– 8–й вариант |
x8 – 18–й вариант |
x9 |
– 9–й вариант |
x9 – 19–й вариант |
x0 |
– 10–й вариант |
x0 – 20–й вариант |
|
|
|
|
|
4 |
ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
При выполнении контрольных работ требуется строгое соблюдение указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, могут быть не зачтены.
1.Контрольная работа выполняется в тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного. Необходимо оставлять поля для замечаний рецензента.
2.На обложке контрольной работы должны быть написаны фамилия и инициалы студента, шифр, название дисциплины, номер и вариант контрольной работы, адрес студента. В конце работы ставится дата ее выполнения и подпись.
3.В работу включаются все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту.
4.Решения задач располагаются в порядке возрастания их номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач.
5.Условия задач приводятся полностью. Решения излагаются подробно и аккуратно, объясняются все действия по ходу решения и делаются необходимые чертежи.
6.После получения проверенной работы исправляются отмеченные рецензентом ошибки и выполняются все рекомендации рецензента.
ПРОГРАММА КУРСА "ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА" ДЛЯ СТУДЕНТОВ – ЗАОЧНИКОВ
ИНЖЕНЕРНО – ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ (ТРЕТИЙ СЕМЕСТР)
Дифференциальные уравнения
1. Постановка задачи. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. Уравнения первого порядка (общие понятия) 3, гл. XIII, §1-3 .
5
2. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли [3, гл. XШ, §§4,5,7,8].
3.Способы понижения порядка дифференциального уравнения [3, гл. XIII, §§ 17,18, 2, гл. IV, §2, п. 2-4].
4.Линейные уравнения второго порядка. Общие свойства
[3, гл. XIII, §§ 20, 23].
5.Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение однородного уравнения. Частное решение неоднородного уравнения с правой частью специального вида. Метод вариации произвольной постоянной
[3, гл. XIII, §§ 21,23,24].
6.Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод исключения [3, гл. XIII, §§ 29,30].
Функции нескольких переменных
7.Функции нескольких переменных. Область определения. Предел функции. Непрерывность [1, гл. VIII,
§§1-4].
8.Частные производные. Полный дифференциал и его связь с частными производными. Производная по направлению, градиент [1, гл. VIII, §§ 5-8, 12-15].
9.Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия. Наибольшее и наименьшее значения [1, гл. VIII, §§ 17-18].
Кратные и криволинейные интегралы
10.Понятие двойного интеграла. Геометрический смысл. Свойства двойных интегралов. Вычисление двойного интеграла посредством сведения его к двукратному [3, гл.
XIV, §§ 1-3].
11.Переход к полярным координатам в двойном интеграле [3, гл. XIV, § 5].
6
12.Геометрические и физические приложения двойного интеграла [3, гл. XIV, §§ 4, 7-10].
13.Понятие тройного интеграла, его геометрический смысл и свойства. Вычисление тройного интеграла посредством сведения его к трехкратному [3, гл. XIV, §§
11,12].
14.Переход к цилиндрическим и сферическим координатам в тройном интеграле [3, гл. XIV, §13].
15.Геометрические и физические приложения тройного интеграла [3, гл. XIV, § 14].
16.Понятие криволинейного интеграла, его свойства. Вычисление криволинейного интеграла посредством сведения его к определенному [3, гл. XV, § 1,2].
17.Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования [3, гл. XV,
§§3-4].
18. Приложения криволинейного интеграла [3, гл.XV,
§ 2].
19.Понятие поверхностного интеграла, его свойства. Вычисление поверхностного интеграла путем сведения его к двойному интегралу. Приложения поверхностного интеграла
[3, гл. XV, §§5-6].
20.Формула Стокса [3, гл. XV, § 7].
21.Формула Остроградского-Гаусса [3, гл. XV, § 8].
22.Элементы теории поля [3, гл. XV, § 9].
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ №3
1.Дайте определение дифференциального уравнения. Как определяется порядок дифференциального уравнения?
2.Дайте определение общего и частного решений дифференциального уравнения.
7
3.Сформулируйте задачу Коши.
4.Дайте классификацию дифференциальных уравнений 1-го порядка и укажите способы их решения.
5.Приведите типы дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка и укажите способы понижения порядка таких уравнений.
6.Дайте определение линейного дифференциального уравнения второго порядка. Сформулируйте теорему об общем решении такого уравнения.
7.Как находится общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?
8.Как находится частное решение неоднородного уравнения с правой частью специального вида?
9.Как находится решение неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных?
10.Запишите систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Как находится общее решение таких систем методом исключения?
11.Дайте определения функции двух переменных, ее области определения и непрерывности.
12.Дайте определения частных производных функции двух переменных.
13.Запишите формулу полного дифференциала для функции двух переменных.
14.Дайте определения производной по направлению и градиента функции двух переменных.
15.Сформулируйте необходимые и достаточные условия экстремума функции двух переменных.
16. Как вычисляются наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области?
17. Дайте определение двойного интеграла в прямоугольной системе координат.
8
18. |
Запишите |
формулу |
преобразования |
двойного |
||
интеграла |
от |
прямоугольных |
координат |
к |
полярным |
|
координатам. |
|
|
|
|
|
|
19. |
Запишите формулу вычисления площади плоской |
|||||
фигуры и объема тела с помощью двойного интеграла. |
||||||
20. |
Дайте |
|
определение |
тройного |
интеграла в |
|
прямоугольной системе координат. |
|
|
||||
21. |
Запишите |
формулу |
преобразования |
тройного |
интеграла от прямоугольных координат к цилиндрическим и сферическим координатам.
|
|
22. |
Запишите |
формулу |
вычисления |
объема тела с |
||||||||||||
помощью тройного интеграла. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
23. |
Дайте определение криволинейного интеграла. |
|||||||||||||||
|
|
24. |
Запишите |
формулу |
вычисления криволинейного |
|||||||||||||
интеграла посредством сведения его к определенному. |
||||||||||||||||||
|
|
25. |
Запишите формулу Грина. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
26. |
Дайте определение поверхностного интеграла. |
|||||||||||||||
|
|
27. |
Запишите |
формулу вычисления |
поверхностного |
|||||||||||||
интеграла путем сведения его к двойному интегралу. |
||||||||||||||||||
|
|
28. |
Запишите формулы Стокса и Остроградского-Гаусса. |
|||||||||||||||
|
|
29. |
Дайте определение ротора, дивергенции, циркуляции. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача №1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти общее решение уравнения. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1. xy 2 3x2 y2 y |
2. xy' x 2y |
|||||||||||||||||
3. |
2xyy y2 4x2 |
|
4. |
(xy x2) y y2 |
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5. |
x |
|
y |
|
|
2x |
|
y |
0 |
6. |
xy |
y xtg x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
7. |
2xy y2 (2xy x2) y 0 |
|
8. xy y xe y x |
|||||||||
9. |
x2 y2 xy x2 y 0 |
|
10. xy x y 0 |
|||||||||
11. 2x2 y 4xy y2 0 |
|
12. y2 4xy 4x2 y 0 |
||||||||||
13. 2 y2 xy (x2 xy y2) y 0 |
14. (3x2 y2) y 2xy |
|||||||||||
|
|
|
y |
|
|
16. x2 y (x y) y |
||||||
15. xy y ln |
|
|
|
|
1 0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||
17. x2 y 2xy 3y2 |
|
18. x2 y2 2xyy 0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 |
|
19. |
xy' y |
xy |
|
|
|
20. xy' y |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача №2 |
|
|
||
|
Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее |
|||||||||||
начальному условию y(x0 ) y0 . |
|
|
|
|||||||||
1. |
xy 2y 3x , |
y(1) 0 . |
|
|
||||||||
2. |
y y cos x sin x cos x , |
y(0) 1. |
|
|
||||||||
3. |
(1 x2) y xy 1, |
y(0) 1. |
|
|
||||||||
4. |
y 2xy 2x3 , |
y(1) e 1. |
|
|
||||||||
5. |
(1 x2) y 2xy (1 x2)2, |
y(0) 1. |
|
|
||||||||
|
y yctgx |
|
|
y3 |
|
|
|
|
||||
6. |
|
|
, |
y |
1. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
sin x |
|
2 |
|
|
|||
7. |
xy (x 1) y 3x2e x , |
y(1) 1. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|