86-2008(методичка-математика)
.pdfГОУВПО “Воронежский государственный технический университет”
Кафедра “Прикладная математика”
№86-2008
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к контрольной работе № 2
по высшей математике для студентов инженерно – технических специальностей заочной формы обучения
divFdV FndS
V S
Воронеж 2008
Составители: канд. физ.-мат. наук канд. физ.-мат. наук канд. физ.-мат. наук канд. техн. наук ст. преп.
УДК 517.2 (07)
А.П. Бырдин, Н.В. Заварзин, Н.В. Рогова, А.А. Сидоренко, Л.П. Цуканова
Методические указания к контрольной работе №2 по высшей математике для студентов инженерно– технических
специальностей |
заочной формы обучения |
/ ГОУВПО |
“Воронежский |
государственный технический |
университет”; |
cост. А.П. |
Бырдин, Н.В. Заварзин, |
Н.В. Рогова, |
А.А. Сидоренко, Л.П. Цуканова. Воронеж, 2008. |
48 с. |
Методические указания предназначены для студентовзаочников инженерно - технических специальностей и содержат рекомендации к работе над курсом высшей математики, программу курса с указанием литературы, примеры решения задач и двадцать вариантов контрольных заданий.
Ил. 4. Табл.1. Библиогр.: 5 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. В.Н. Потапов
Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. В.Д. Репников
Печатается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
ГОУВПО “Воронежский государственный технический университет”, 2008
2
ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ К ИЗУЧЕНИЮ КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, включающая его изучение по рекомендованным учебникам, решение задач с помощью учебных пособий, самопроверка и только затем - выполнение контрольных работ. Завершающим этапом изучения отдельных частей курса высшей математики является сдача зачетов и экзаменов в соответствии с учебным планом.
При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется вписывать определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т.д. Курс высшей математики разбит на темы и пункты, в которых указана литература, рекомендуемая для изучения.
Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь. В пособиях [2], [4] имеется большое количество решенных задач, с которыми студентам рекомендуется ознакомиться при изучении соответствующего материала.
После изучения определенной темы по учебнику и решения достаточного количества задач рекомендуется воспроизвести по памяти определения, формулы, формулировки теорем. Необходимый минимум вопросов для самопроверки приведен на страницах 5 - 6.
Зачет контрольной работы преподавателем осуществляется при выполнении следующих требований:
правильном и подробном решении задач в контрольной работе,
3
умении достаточно быстро и без помощи пособий решать задачи, аналогичные задачам, предложенным в контрольной работе,
твердом знании основных формул и определений, перечисленных в вопросах для самопроверки.
Если в процессе изучения теоретического материала или
при решении задач у студентов возникают вопросы, справиться с которыми самостоятельно не удается, то за помощью можно обратиться к преподавателю на консультации.
Выбор варианта контрольной работы студентом производится по двум последним цифрам номера студенческого билета в соответствии со следующей таблицей.
Предпоследняя цифра x |
Предпоследняя цифра x |
|
совпадает с одной из цифр: |
совпадает с одной из цифр: |
|
|
0, 2, 4, 6, 8. |
1, 3, 5, 7, 9. |
|
|
|
x1 |
– 1–й вариант |
x1 – 11–й вариант |
x2 |
– 2–й вариант |
x2 – 12–й вариант |
x3 |
– 3–й вариант |
x3 – 13–й вариант |
x4 |
– 4–й вариант |
x4 – 14–й вариант |
x5 |
– 5–й вариант |
x5 – 15–й вариант |
x6 |
– 6–й вариант |
x6 – 16–й вариант |
x7 |
– 7–й вариант |
x7 – 17–й вариант |
x8 |
– 8–й вариант |
x8 – 18–й вариант |
x9 |
– 9–й вариант |
x9 – 19–й вариант |
x0 |
– 10–й вариант |
x0 – 20–й вариант |
|
|
|
4
ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
При выполнении контрольных работ требуется строгое соблюдение указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, могут быть не зачтены.
1.Контрольная работа выполняется в тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного. Необходимо оставлять поля для замечаний рецензента.
2.На обложке контрольной работы должны быть ясно написаны фамилия и инициалы студента, шифр, название дисциплины, номер и вариант контрольной работы, адрес студента. В конце работы ставится дата ее выполнения и подпись.
3.В работу включаются все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту.
4.Решения задач располагаются в порядке возрастания их номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач.
5.Условия задач приводятся полностью. Решения излагаются подробно и аккуратно, объясняются все действия по ходу решения и делаются необходимые чертежи.
6.После получения проверенной работы исправляются отмеченные рецензентом ошибки и выполняются все рекомендации рецензента.
ПРОГРАММА КУРСА “ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА” ДЛЯ СТУДЕНТОВ –- ЗАОЧНИКОВ
ИНЖЕНЕРНО – ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ (ВТОРОЙ СЕМЕСТР)
Исследование функций с помощью производных
1. Условия возрастания и убывания функции. Точки экстремума Необходимое и достаточные признаки существования экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке
5
[1, гл. 5, §§1-6].
2. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты кривых. Общая схема построения графиков функций [1, гл. 5, §§9-11].
Неопределенный интеграл
3.Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям
иподстановкой [1, гл.10, §§1-4,6].
4.Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций. Интегрирование некоторых иррациональных выражений [1, гл. 10, §§5,7-10,12].
Определенный интеграл
5.Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла [1, гл.11,
§§1-3].
6.Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница [1, гл.11, §4].
7.Вычисление определенного интеграла интегрированием по частям и подстановкой. Приближенное
вычисление |
определенного интеграла по формулам |
прямоугольников, трапеций и Симпсона [1, гл.11, §§5-6,8]. |
|
8. Приложение интегралов к вычислению площадей, длин |
|
дуг кривых, |
объемов тел и площадей поверхностей вращения. |
[1, гл.12, §§1,3,5,6].
Несобственный интеграл
9. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Основные свойства. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости [1, гл. 11, § 7].
6
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 2
1.Каковы признаки возрастания и убывания функции? Что называется экстремумом функции? Как найти максимумы
иминимумы функции? Сформулируйте два правила.
2.Приведите пример, показывающий, что обращение производной в нуль не является достаточным условием экстремума функции.
3.Чем отличается максимум (минимум) функции, заданной на некотором отрезке, от ее наибольшего (наименьшего) значения?
4.Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке? Всегда ли они существуют?
5.Как находятся интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции? Приведите примеры.
6.Что называется асимптотой кривой?
7.Как находятся вертикальные и наклонные асимптоты графика функции?
8.Каковы основные пункты общей схемы исследования функции и построения ее графика?
9.Дайте определение первообразной функции и неопределенного интеграла.
10.Напишите таблицу основных интегралов.
11.Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.
12. Выведите формулу замены переменной в неопределенном интеграле.
13.Выведите формулу интегрирования по частям.
14.Запишите простейшие рациональные дроби I-IV типов. Вычислите неопределенные интегралы от простейших рациональных дробей I-III типов.
15. Изложите правило разложения правильной
7
рациональной дроби на простейшие методом неопределенных коэффициентов.
16.Интегрирование иррациональных выражений.
17.Интегрирование тригонометрических выражений. Универсальная тригонометрическая подстановка.
18.Определенный интеграл и его свойства. Геометрический смысл определенного интеграла.
19.Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.
20.Интегрирование заменой переменной и по частям в определенном интеграле
21.Несобственные интегралы первого и второго рода.
22.Теоремы оценки сходимости несобственных интегралов первого и второго рода.
23. Формула площади криволинейной трапеции в декартовой системе координат.
24.Формулa площади криволинейной трапеции в полярной системе координат.
25.Формула длины дуги кривой в декартовой системе координат.
26.Формула объема тела вращения.
|
|
|
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2 |
||||
|
|
|
|
Задача № 1 |
|
|
|
|
Найти критические точки первого рода и интервалы |
||||||
монотонности функции |
y y(x) . |
|
|
|
|||
1. |
y |
x2 2x 2 |
. |
2. |
y e1/ (5 x) . |
||
|
|||||||
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
3. |
y x ln(1 x2 ). |
4. |
y |
4x x2 4 |
. |
||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x |
8
5. y |
x2 x 1 |
. |
6. y x2 2 ln x. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7. y ln |
|
1 x |
. |
8. y x3e x 2 / 2. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
9. |
y |
ln |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
y ln (1 x2 ). |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
y |
|
|
x 1 |
. |
12. |
y (x 1)e3x 1. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
13. |
y |
|
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
14. |
y x |
|
ln x |
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
9 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||
|
y |
|
|
x2 |
|
|
. |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
x3 |
|
|||||||||||||
15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4x2 1 |
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
||||||||||||||||||
17. |
y |
(x 2) |
2 |
. |
18. |
|
y x ln x. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
19. |
y |
x |
2 6 |
. |
|
|
|
|
20. |
y |
x2 |
|
3x 2 |
. |
|||||||||||||||||
x |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача № 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследовать на экстремум функцию |
y y(x) . |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. y |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
2. y |
x |
2 |
|
|
(x 5). |
|
|||||||||||||||
(x 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3. y e2x x 2 . |
4. y |
x3 4 |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
9
5. |
y |
|
|
|
|
|
x3 |
|
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
4 1 |
|
|
|
|||||||||
7. |
y x2 |
1 |
|
. |
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|||||
9. |
y |
4 2x |
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 x2 |
|
|
|
||||||||||||
11. |
y x e1/ x . |
|
|
|
||||||||||||
13. |
y |
e2x |
1 |
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
e x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
15. |
y |
|
|
|
5x4 |
3 |
. |
|
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y |
|
5x |
|
|
|
||||||||||
17. |
|
|
. |
|
|
|
||||||||||
|
4 x2 |
|
|
|
||||||||||||
19. |
y |
|
|
2(x 1) |
2 |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. y x ln (x2 4).
8. y x ln 2 x.
10. |
y x2e x 2 / 2. |
||||
12. |
y |
|
x5 |
. |
|
x |
4 1 |
|
|||
|
|
|
|
||
14. |
y x e x . |
|
|
||
16. |
y |
4e x2 |
1 |
. |
|
|
|
|
|||
|
e x2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
18. |
y (x 2)e1 x . |
||||
20. |
y (x 1)e2x . |
Задача № 3
Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки
перегиба графика функции |
y y(x) . |
||||
1. y |
x2 |
|
. |
2. y ln(x2 2x 6). |
|
(x 2) |
2 |
||||
|
|
|
10