- •1. Расчет оболочек
- •1.1. Безмоментная теория оболочек
- •1.1.1. Основные определения
- •1.1.2. Основные соотношения безмоментной теории оболочек вращения
- •1.1.3. Осесимметричное нагружение оболочки вращения
- •1.2. Балочная теория оболочек
- •1.2.1. Основные определения и допущения
- •1.2.2. Определение нормальных напряжений
- •2. Статическая устойчивость элементов летательных аппаратов
- •2.1. Основные подходы к исследованию устойчивости упругих систем
- •2.2. Устойчивость стержней
- •2.3.2. Устойчивость прямоугольной пластины, сжатой вдоль одной оси
- •2.3.3. Устойчивость прямоугольной пластины при сдвиге
- •2.3.4. Устойчивость прямоугольной пластины при комбинированном нагружении
- •3. Динамика конструкций летательных аппаратов
- •3.1. Общие уравнения динамики упругих систем
- •3.1.1. Расчетные схемы конструкций летательных аппаратов
- •3.1.2. Принцип Д'Аламбера–Лагранжа
- •3.1.3. Уравнения Лагранжа второго рода
- •3.1.4. Уравнения колебаний упругой системы с конечным числом степеней свободы
- •3.1.5. Уравнения колебаний упругой системы с бесконечным числом степеней свободы
- •3.2. Методы и примеры исследования динамики упругих систем
- •3.2.1. Система с одной степенью свободы
- •3.2.2. Система с конечным числом степеней свободы
- •3.2.3. Системы с бесконечным числом степеней свободы
- •3.2.4. Формула Рэлея
- •3.2.5. Метод матричной итерации
|
|
|
|
56 |
|
|
g11 |
g12 |
g1s |
– матрица гибкости (или податливости) – матри- |
|
G= g21 |
g22 |
g2s |
|||
ца влияния. |
|||||
|
|
|
|||
|
gs 1 |
gs 2 |
g ss |
|
Матрица гибкости является обратной матрице жесткости K=G−1. Поэто-
му при умножении уравнения (3.29) слева на G−1 и перегруппировке членов получим уравнение (3.26).
3.1.5. Уравнения колебаний упругой системы с бесконечным числом степеней свободы
Бесконечное число степеней свободы имеют расчетные схемы, построенные с использованием континуального подхода, при котором параметры распределены непрерывно.
Выше при решении задач статики рассматривались некоторые континуальные расчетные схемы (стержни, пластины, оболочки), для которых были получены соответствующие дифференциальные уравнения. Эти уравнения в общем случае можно представить в векторной форме:
|
L r = p, |
(3.30) |
|
|
|
|
|
где r – вектор (вектор-столбец) перемещений точки системы; |
|
||
|
|
p – вектор (вектор-столбец) распределенной внешней нагрузки, действующей на элемент системы;
L – линейный дифференциальный оператор в виде квадратной матрицы, размерность которой равна размерности векторов r и p.
Для решения задач динамики континуальных расчетных схем необходимо в дифференциальные уравнения статики в соответствии с принципом Д'Аламбера добавить силы инерции:
L r |
|
, |
(3.31) |
= p−m r¨ |
где m – удельная масса рассматриваемого элемента, отнесенная к единице длины, площади или объема.
При этом граничные условия остаются такими же, как и в задачах статики, но для решения задач динамики с помощью уравнений (3.31) дополнительно должны быть заданы начальные условия (в момент времени t=0): векторы
перемещений r и векторы скоростей для всех точек системы r˙ .
Приведем для примера дифференциальные уравнения поперечных колебаний стержня и пластины, которые получаются из соответствующих дифференциальных уравнений изгиба.