15

Рассчитать момент инерции исследуемого тела с помощью теоремы Штейнера

J3 = J + m1d 2 ,

где J – момент инерции данного тела относительно оси, проходящей через его центр масс, рассчитанный (теоретически) в задании 2.

Сравнить значения J3 , полученные теоретически и экспериментально. Сделать выводы.

Контрольные вопросы

1.Какое движение называется вращательным?

2.Что понимается под моментом инерции, что характеризует момент инерции и от чего он зависит?

3.Прочитайте теорему Штейнера.

4.Чему равен момент инерции шара массы m и радиуса R относительно оси, расположенной на расстоянии а от его центра?

5.Чему равна кинетическая энергия вращающегося тела?

6.В каких системах выполняется закон сохранения полной механической энергии?

7.От каких величин зависит момент силы относительно оси?

8.Пояснить понятие центра инерции (центра масс) тела.

9.Записать и объяснить уравнение динамики вращательного движения.

10.Зависит ли период колебания диска с исследуемым телом от положения тела относительно оси вращения диска?

11. Сопоставьте направление векторов угловой скорости и углового ускорения при замедленном и ускоренном вращении

16

Лабораторная работа № 17

«Изучение вращательного движения на маятнике Обербека»

Цель работы – экспериментальное определение моментов инерции тел; проверка основного закона динамики вращательного движения.

Правила техники безопасности

1.Необходимо визуально убедиться в надежном креплении крестовины на оси.

2.Нить, раскручивающая крестовину, не должна иметь повреждений, на концах нити необходимы петли для подвеса груза и крепления на крестовине.

3.Следует быть внимательным и осторожным при вращении крестовины.

4.При проведении опытов с грузиками на крестовине предварительно убедиться в их надежном креплении.

Описание установки

Маятник Обербека представляет собой крестовину1 (рис. 7), с которой жестко связан шкив 2, имеющий возможность вращаться относительно своей горизонтальной оси симметрии. Намотанная на шкив нить с прикрепленным на ней

	грузом 4 создает необходимый вращатель-
m 0	ный момент M z . Ускорение движения мо-

			1
		d	2
			3
	T2		m 0
h	T1	m 1	4

p

Рис. 7

жет изменяться как путем изменения массы m1 груза 4, так и за счет изменения момента инерции маятника, передвижением грузов 3, массой m0 каждый, ближе или дальше от оси вращения. Груз 4 в процессе своего движения испытывает на себе действие двух сил: силы тяжести P и реакции нити T1. Учитывая направление этих сил, основное уравнение динамики поступательного движения (второй закон Ньютона) применительно к грузу 4 можно записать в виде

P - T1 = m1a ,

(17.1)

где а – ускорение груза 4.

По третьему закону Ньютона величина реакции нитиT1 должна равняться величине силы натяжения нити T2 , приводящей маятник во вращательное движение. На основании этого из формулы (17.1) находим

T2 = P - m1a =m1(g - a) ,

где g – ускорение свободного падения.

Вращательный момент M z , если пренебречь трением в подшипниках и сопротивлением воздуха, определится следующим образом.

17

							d	m d
			M	Z	= T			=1	(g - a),	(17.2)
						2
		d			2			2
где T – вращающая сила;			– плечо силы (d - диаметр шкива).
2	2
	Вращательный момент M Z				вызывает вращение маятника Обербека.
де	Основное уравнение динамики вращательного движения записывается в ви-
					M z	= J z ×e,				(17.3)

где J z – момент инерции рассматриваемой системы относительно оси вращения; e – угловое ускорение.

Из уравнения (17.3) можно определить момент инерция J z маятника (так называемый динамический метод определения момента инерции). Выразим угловое ускорение e маятника через ускорение поступательного движения груза4. Ускорение a поступательного движения груза 4, равное по величине тангенциальному ускорению at образующей поверхности шкива 2, связано с угловым ус-

корением маятника формулой

	a = e				d					(17.4)
		2
Поступательное движение груза4 является равноускоренным,										поэтому
справедливо соотношение		a ×t2
	h =
							,			(17.5)
		2
где t –- время прохождения грузом 4 расстояния h .
Используя формулы (17.2)–(17.5), нетрудно получить выражение для расче-
та момента инерции системы относительно оси вращения z :
	m d 2		æ gt 2						ö
J Z =	1		ç						÷	(17.6)
	4h	ç							- h÷.
		è 2							ø

Кроме определения моментов инерция, с помощью маятника Обербека можно проверить основной закон динамики вращательного движения(17.3). Из уравнения (17.3) следует, что при J Z = const

			M z1	=	e1	,
			M z2
					e2
где M z1 и M z 2	-	вращающие моменты,		создаваемые грузами с массами m1 и m2
соответственно;	e1 и e2 – соответствующие моментам M z1 и M z 2 угловые уско-
рения маятника.
Если грузы с массами m1 и m2 опускать с одной и той же высоты h , то со-
отношения (17.2)		и (17.5) позволяют определить

					18
					æ			2 × h	ö
				m	ç g	-			÷
	M							t2
		z1		1	è				ø
			=				1			,	(17.7)
	M				æ				ö
		z 2						2 × h
				m	ç g	-			÷
				2	è			t22	ø
где t1 и t2 – время опускания грузов				m1 и		m2 соответственно с высоты h .

Выражение для отношения угловых ускорений маятника следует из формул

(17.4) и (17.5):

e		t 2
1	=	2	.	(17.8)
e2
		t12

ЗАДАНИЕ 1. Определение момента инерции J z 0 системы

шкив-крестовина без грузов 3

1.Снять грузы 3 с крестовины 1.

2.С помощью лабораторных весов определять массу m1 груза 4.

3.Подвесить груз 4 к нити и вращением крестовины 1 намотать нить на шкив 2, подняв груз 2 на высоту h относительно пола.

4.Опустить маятник и, одновременно включив секундомер, измерить время t падения груза 4 до нижней точки, результат измерений занести в таблицу.

5.Повторить опыт 10 раз.

6.Измерить диаметр шкива 2 с помощью штангенциркуля.

7.По формуле (17.6) вычислить значение J z 0 для каждого опыта.

8.	Определить среднее значение JZ 0
					n
					åJ z0i
			Jz 0	=	i=1	.
					n
9.	Считая измерения прямыми, оценить абсолютную погрешность результата
			n	J z0 - J z 0i )2
		å(
		D J z 0	i=1	=			×ta,n
				n(n -1)
	при заданной	доверительной вероятностиa = 0,7 . Значение коэффициента
	Стьюдента ta, n	для данного числа опытов n (см. в табл. 3 приложения).
10.	Записать окончательный результат в виде
		J z0 = Jz0 ± D J z0.

19

ЗАДАНИЕ 2. Определение момента инерции J z1 системы

шкив-крестовина с грузами 3

1.С помощью лабораторных весов определить массу m0 грузов 3.

2.Грузы 3 закрепить на концах крестовины.

3.Измерить расстояние R от середины грузов до оси вращения.

4.Определить момент инерции J z1системы шкив-крестовина с грузами 4, его погрешность, повторив действия, указанные в пунктах 3-10 задания 1.

5.Определить момент инерции J ¢z одного из грузов, закрепленных на крестовине, по формуле

¢

J z1 - J z 0

J z =

.

4

6.

Определить относительную погрешность результата e

¢

D J z1

+ D J z 0

e¢ =

D J z

=

¢

J z1

- J z0

J z

и абсолютную погрешность

¢

D J z

¢

¢

¢

7.

Считая груз 3 материальной

D J z= e

× J z .

¢

по

точкой, определить его момент инерции J z

формуле

2

¢

= m0 × R

,

J z

где R – расстояние до оси вращения, определенное в пункте 3 данного задания.

8.Сравнять значения J ¢z , полученные теоретически и экспериментально. Сделать вывод.

ЗАДАНИЕ 3. Проверка основного закона динамики вращательного движения

1.Массу груза 4, используемого в задании 1 и 2 принять за m1 .

2.По данным, полученным в задании 2, рассчитать среднее значение времени падения груза 4 с высоты h и принять его за t1 , т.е.

n

åti

t = i=1 .
1	h

3.Не изменяя положение грузов3, произвести измерение времени падения груза 4 массой m2 с той же высоты h , что и в задании 2. Опыт повторить 10 раз.

4.Найти среднее значение t2 .