- •Міністерство освіти і науки україни
- •Розділ 1. Інтерполяція функцій
- •1.1. Постановка задачі інтерполяції
- •1.2. Наближене відновлення функції за допомогою інтерполяційного многочлена Лагранжа
- •Питання для самоперевірки
- •Завдання до лабораторної роботи № 1
- •Таблиця варіантів
- •Розділ 2. Чисельне диференціювання функцій за допомогою інтерполяції кубічним сплайном
- •Питання для самоперевірки
- •Індивідуальне завдання № 1
- •Розділ 3. Чисельне інтегрування
- •3.1. Загальні положення
- •3.2. Квадратурна формула Сімпсона
- •Точки поділу
- •Питання для самоперевірки
- •Завдання до лабораторної роботи № 2
- •Варіанти завдань
- •Розділ 4. Наближене розв’язання задачі коші для звичайних диференціальних рівнянь
- •4.1. Метод Ейлера
- •Питання для самоперевірки
- •8.3. Метод Рунге-Кутта четвертого порядку точності
- •Питання для самоперевірки
- •Завдання до лабораторної роботи № 3
- •Індивідуальне завдання № 2
Питання для самоперевірки
Сформулюйте задачу Коші для звичайних диференціальних рівнянь 1-го порядку.
Дайте геометричну інтерпретацію розв’язку задачі Коші. Запишіть формули методу Ейлера.
Як отримано формули методу Ейлера?
В чому полягають достоїнства й недоліки методу Ейлера?
Як визначається похибка методу Ейлера?
8.3. Метод Рунге-Кутта четвертого порядку точності
Нехай дано диференціальне рівняння з початковою умовою. Виберемо крок, позначившиі,. Розглянемо числа:
;
;
;
Тоді значення шуканої функції визначається за формулою
,
де ;.
Похибка цього методу – величина порядку .
На рисунку 4 приведена блок-схема програми наближеного розв’язання задачі Коші для диференціальних рівнянь першого порядку методом Рунге-Кутта четвертого порядку точності.
В даній блок-схемі: x0 – лівий кінець інтервалу; xn – правий кінець інтервалу; n – кількість відрізків розбиття; y0 – початкова умова; h – шаг сітки; yi – значення шуканої функції; f(xi;yi) – значення правої частини диференціального рівняння y'=f(x,y) в точці (xi;yi); k1i, k2i, k3i, k4i – допоміжні числа.
Приклад. Розв’яжемо методом Рунге-Кутта задачу Коші: ;;на інтервалі (0;0,4).
Розв’язок. Покажемо початок процесу.
Для обчислюємо послідовно
,
,
,
.
Звідси .
Отже .
Аналогічно обчислюються подальші наближення.
Отримані значення занесені в таблицю
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 | |
1 |
1,1103 |
1,2427 |
1,3996 |
1,5836 | |
1 |
1,1103 |
1,2428 |
1,3997 |
1,5836 |
Питання для самоперевірки
В чому полягають достоїнства й недоліки методу Рунге-Кутта? Який порядок похибки методу?
Як розв’язується методом Рунге-Кутта задача Коші для рівняння більш високого порядку?
Завдання до лабораторної роботи № 3
Розв’яжіть рівняння методом Ейлера
Шифр по вертикалі |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
0 | |
1 |
0,4 |
|
|
|
|
|
1 | |
2 |
-0,3 |
|
|
|
|
|
2 | |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
3 | |
4 |
0,3 |
|
|
|
|
|
4 | |
5 |
1 |
|
|
|
|
|
5 |
|
6 |
-1 |
|
|
|
|
|
6 | |
7 |
0,3 |
|
|
|
|
|
7 |
|
8 |
2 |
|
|
|
|
|
8 |
|
9 |
-1 |
|
|
|
|
|
9 |
|
шифр по горизонталі
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
Номер правої частини |
2 |
4 |
5 |
8 |
1 |
3 |
9 |
0 |
7 |
6 |
1 |
-2 |
1 |
-2 |
2 |
2 |
-1 |
1,05 |
-2 |
0.5 | |
|
0,2 |
0,2 |
0,1 |
0,2 |
0,1 |
0,2 |
0,05 |
0,1 |
0,4 |
0,2 |
Інтервал |
[0;2] |
[0;2] |
[1;2] |
[1;3] |
[0;1] |
[1;3] |
[1;1,5] |
[0;1] |
[0;4] |
[1;3] |