Глава 2. Случайные величины

Литература: 1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.М.: «Высшая школа», 2002. Гл. 4, 6.

2. Данко П.Е., Попов. А.Г., Кожевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: «Высшая школа», 1997. Ч. 1.Гл. 5.

3. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. М.: «Высшая школа», 1982. Ч.2. Гл. 3.

4. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевскмй В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: «Высшая школа», 1991. Гл. 3.

1. Дискретные случайные величины

Случайной величинойназывается величина, принимающая в результате испытания одно и только одно числовое значение, зависящее от случайных факторов, которые заранее не могут быть учтены.

Случайные величины могут быть двух видов: дискретные и непрерывные.

Случайная дискретная величинаможет принимать только отдельные изолированные значения. Например, дискретной случайной величиной является число студентов в аудитории.

Случайная дискретная величина Х считается заданной, если указано множество значений, которые она может принимать и вероятности появления каждого из этих значений. Эти соотношения между возможными значениями х_iи вероятностями их появленияp_i называютсязаконом распределения случайной дискретной величины.

Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.Математическим ожиданием дискретнойслучайной величиныназывается сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности: М(Х)==x₁p₁+x₂p₂+…+x_np_n.

Свойства математического ожидания:

1) М(С)=С, где С – некоторое число.

2) М(СХ)=СМ(Х).

3) М(Х+У)=М(Х)+М(У).

4) М(Х-У)=М(Х)-М(У).

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией случайной дискретной величины Хназывается математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:D(X)= M[X-M(X)]²илиD(X)= M(X²)-[M(X)]².

Свойства дисперсии:

1) D(C)=0.

2) D(CX)=C²D(X).

3) D(X+Y)=D(X)+D(Y).

4) D(X-Y)=D(X)+D(Y).

Средним квадратическим отклонениемслучайной величины называют квадратный корень из дисперсии:σ(Х)=

Наиболее распространенными видами распределения дискретной случайной величины являются биноминальное и показательное.

Случайная величина Х имеет биноминальное распределение, если она принимает целочисленные значения от 0 допс вероятностямиp_n(m)= p ^m q ^n-m. При этом М(х)=np,D(x)=npq.

Дискретная случайная величина называется распределенной по закону Пуассона, если ее возможными значениями являются все целые неотрицательные числа, а вероятность того, что случайная величина примет значениеm, определяется формулой Пуассонаp_n (m) [a^m/m!] e^-a, гдеa=np. При этомM(x)=np=a,D(x)=np=a.

1.1. Вероятность нормального расхода электроэнергии в некотором районе города равна 0,6. а) Составить закон распределения случайной величины Х – числа дней нормального расхода электроэнергии в ближайшие 4 дня; б) найти интегральную функцию распределения случайной величины Х и построить ее график; в) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение Х.

Решение.а) Число дней расхода электроэнергии Х – это дискретная случайная величина. Ее возможные значения по условию х₁=0, х₂=1, х₃=2, х₄=3, х₅=4. Вероятность каждого возможного значения найдем по формуле Бернулли:

р₁=р₄(0)=

р₂=р₄(1)=

р₃=р₄(2)=

р₄=р₄(3)=

р₅=р₄(4)=

Теперь составим ряд распределения

xi	0	1	2	3	4
Pi	0,0256	0,1536	0,3456	0,3456	0,1296

и построим многоугольник распределения

б) Рассмотрим интервал х(-; 0]. Событие Хх для этого интервала является невозможным, так как нет ни одного отрицательного значения Х. Следовательно, р₁(Хх)=0. На следующем интервале х(0;1] для Хх имеем Х=0. Вероятность этого события равна 0,0256; р₂(Хх)=0,0256. На интервале х(1;2] Х может принимать значения Х=0 и Х=1. Следовательно, р₃(Хх)=0,0256 + 0,1536=0,1792. Аналогично, р₄(Хх)=0,0256 + 0,1536 + 0,3456=0,5248; р₅(Хх)=0,0256 + 0,1536 + 0,3456 + 0,3456= 0,8704 и р₆(Хх)=0,0256 + 0,1536 + 0,3456 + 0,3456 + 0,1296=1.

Таким образом, интегральная функция распределения F(x) имеет вид:

F(x)=

Построим график этой функции

в) Математическое ожидание числа дней нормального расхода электроэнергии найдем по формуле М(Х)=х₁·р₁+ х₂·р₂+…+ х_n·р_n, т.е

М(Х)=0·0,0256 + 1·0,1536 + 2·0,3456 + 3·0,3456 + 4·0,1296=2,4.

Дисперсию вычисляем по формуле D(Х)=М[X-M(X)]²:

D(X)=(0-2,4)²·0,0256 + (1-2,4)²·0,1536 + (2-2,4)²·0,3456 + (3-2,4)²·0,3456 + (4-2,4)²·0,1296=0,96.

Среднее квадратичное отклонение:

1.2. Вини Пуху захотелось полакомиться мёдом. Если он заберётся на дерево, то вероятность укуса пчелой равна 0.4. Составить закон распределения случайной величины Х, если наш герой забирается на 5 деревьев.

Решение. Х- количество укусов пчелой. Случайная величина Х имеет биноминальное распределение.

Р(х=0)=р*q⁵ =0.07776;

Р(х=1)= 5*0.4*0.6⁴=0.2592;

Р (х=2)=10*0.16*0.216*=0.3456;

Р(х=3)= 10*0.064*0.36=0.2304;

Р(х=4)=5*0.0256*0.6=0.0768;

Р(х=5)= 0.01024;

х	0	1	2	3	4	5
р	0,07776	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,01024

3. Идёт охота на дикого зверя с помощью ловушки. Вероятность попасть в ловушку для волка-0.3, для медведя-0.5, для лисы и зайца-0.6. Найти закон распределения нормальной величины х - числа попавших в ловушку зверей.

Решение. р₁=0,3; q₁=0,7; р₂=0,5; q₂=0,5; р₃=0,6; q₃=0,4;

р(х=0)=р₁р₂р₃=0.7*0.5*0.4=0.14; р(х=1)=р₁q₂q₃+q₁p₂q₃+q₁q₂p₃=0.41; Р(х=2)= 0.36; Р(х=3)= 0.09.

х	0	1	2	3
p	0,14	0,41	0,36	0,09

4. В книге кулинарных рецептов имеется 6 рецептов приготовления первого блюда, 4 – второго блюда. Пять раз подряд выписывают наудачу взятые рецепты. Случайная величина х – число рецептов первых блюд. Составить закон распределения величины х, найти математическое ожидание и дисперсию.

Решение.

n=5, p=6/10=3/5=0.6, q=2/5=0.4.

p₅(0)=0.010024, M(x)=n*p=5*0.6=3,

p₅(1)=0.0768, D(x)=n*p*q=0.6*0.4*5=1.2.

p₅(2)=0.2304,

p₅(3)=0.3456,

p₅(4)=0.2592,

p₅(5)=0.07776.

X	0	1	2	3	4	5
р	0.01024	0.0768	0.2304	0.3456	0.2592	0.07776

1.5. Идёт игра в дартс. Вероятность попадания в центр для участника А-0,8, В-0,7. Всего пять попыток. Составить законы распределения числа попаданий для обоих игроков, если первым кидает игрок А, а также закон распределения общего числа попаданий.

Решение.

Число попаданий участника			0		1	2		3
Вероятность участника А			0,008		0,096	0,384		0,512
Вероятность участника В			0,09		0,42	0,49		--------
Общее число попаданий	0	1		2	3	4	5
Вероятность	0,00072	0,012		0,0788	0,2544	0,4032	0,25088

1.6. Предлагаются следующие правила игры: если играющий достанет из полного набора домино фишку, сумма очков на которой равна 3, 6 или 9, то получит приз в размере 9, 6 или 3 у.е. соответственно. В противном случае он отдает 2 у.е. Стоит ли соглашаться на игру?

Решение. Фишку с суммой равной 3 можно достать двумя способами: (0+3),(1+2); 6-четырьмя способами (0+6),(1+5),(2+4),(3+3); 9-двумя способами (3+6),(4+5).

М(х)=9*2/28+6*4/28+3*2/28-2*20/28=8/28=2/7 т.к. математическое ожидание больше нуля, то можно сделать вывод о том, что играть стоит.

1.7. Сколько раз в среднем нужно бросать игральную кость до появления 6.

Решение. пусть р - вероятность появления 6, вероятность первого успеха отсюда равна q=1-p. Чем больше количество испытаний, тем больше искомая вероятность.

Количество испытаний	1	2	3	………	n
Вероятность	p	pq	Pq^2	………	p*q^n-1

Суммарная вероятность равна p+pq+pq² +pq³ +….+pq^n-1=p(1+q+q²+…+ + q^n-1);

(1+q+q²+…q^n-1)=1/(1-р)т.о. р/1-q=p/1-1+p=1; среднее число испытаний m до первого успеха по определению равно (М(х)):

(1) m=pq+2pq+3pq²…+npq^n-1.

Для нахождения суммы такого ряда применим способ суммирования геометрических рядов:

(2) qm= pq+2pq² +3pq³…+npq^n-1q;

Вычитая (2) из (1) получим:

m-qm= p+pq+pq²+…+pq^n-1 ;

m(1-q)=1; при этом 1-q=1 следовательно mp=1, откуда m=1/p=1/6.

Возможно другое решение задачи:

Если первое испытание неудачно, то условное среднее число испытаний равно 1+m, а если первое испытание удачно, то условное среднее число испытаний равно 1, т.о. n=p*1+q(1+m)=1+qm, откуда m=1/p=1/6.

1.8. Человеку предлагают сыграть в игру, заключающуюся в том, что из колоды в 36 карт достают две карты по одной и возвращают обратно. Выигрыш, номиналом в 4$ происходит тогда, когда появляется хотя бы один козырь. За игру человек платит 2$. Выгодно ли это?

Решение. Х=-; 2 и событие А – появление козыря.

р()=3/4*3/4=9/16; р(А)=7/16.

Тогда, М(Х)= 2*(7/16)+ (-2)*(9/16)= - 1/4.

М(х)=-1/4<0 следовательно играть не выгодно.

1.9. Выигрыш происходит в том случае, если из полного набора домино достают фишку, сумма очков которой равна 3, 6 или 9 и равен 3, 6 или 9 соответственно. Проигрыш равен 2. Выгодно ли играть и какова плата за участие, чтобы оно было безобидным.

Решение. Х=-; 3;6;9; три очка можно получить как 0+3 или 1+2

шесть как 0+6,1+5,2+4 или 3+3,

девять очков как 3+6 или 4+5.

Остальные 20 случаев проигрышные.

М(х)=9*2/28+6*4/28+3*2/28-2*20/28=2/7>0 значит это выгодно.

Допустим, что а – безобидное участие в игре. Х=-а; 3-а;6-а;9-а

М(х)=2/7-а откуда М(х)=0 т.о. а безобидно при а =2/7.

10. Абитуриент сдает 2 вступительных экзамена по математике и физике. Составить закон распределения случайной величины Х, числа полученных пятерок, если вероятность получения пятерки по математике равна 0,8, а по физике – 0,6.

Решение. Возможные значения Х есть 0, 1, 2.

Причем,

р(Х=0)=р()=0,2*0,4=0,8; р(Х=1)=р()=0,8*0,4+0,2*0,6=0,44;

р(Х=2)= р(А₁А₂)=0,8*0,6=0,48.

Х	0	1	2
р	0,08	0,44	0,48

1.11. Согласно американским статистическим таблицам смертности, вероятность того, что 25-летний человек проживет еще один год, равна 0,992 (следовательно, вероятность того, что он умрет, равна 0,008). Страховая компания предлагает такому человеку застраховать свою жизнь на год на сумму 1000$; страховой взнос равен 10$. Найти математическое ожидание прибыли компании.

Решение. Величина прибыли Х есть случайная величина со значениями +10$ и -990$. Составим таблицу распределения вероятностей:

х	+10	-990
р	-0,992	0,008

М(Х)=10*0,992-990*0,008=2.

Ожидаемая средняя прибыль положительна, что дает возможность страховой компании продолжить дело, оставляя резервный капитал для выплаты страховых сумм, производить административные расходы, получать прибыль.

12. Игра в рулетку. На колесе рулетки имеется 38 одинаково расположенных разметок: 00, 0, 1, 2,…,36. Игрок может поставить 1$ на любой номер. Если его номер выиграл, игрок получает 36$ (35$ выигрыша плюс 1$ ставки). Найти математическое ожидание выигрыша.

Решение. Составим таблицу распределения вероятностей:

х	-1	+35
р	37/38	1/38

М(Х)= - 37/38+35/38= - 1/19.

Игра не является «справедливой», игорный дом должен обеспечивать себе средний доход на «накладные расходы» и риск.

12. Найти M(Z) и D(Z) для случайной величины Z, если Z=3X-4Y и M(X)=2, D(X)=3, M(Y)=6, D(Y)=5.

Решение. M(Z)=M(3X-4Y)=M(3X) – M(4Y)=3M(X) – 4M(Y)=3*3 – 4*6= = -18.

D(Z)=D(3X-4Y)=D(3X) – D(4Y)=9D(X)+16D(Y)=9*3+16*5=107.

1.14. Распределение дискретной случайной величины Х определяется следующим образом: p(x_i)=1/5,i= -2, -1, 0, 1, 2. Найти распределение и математическое ожидание величины: а) у=-х; б) у=х.

1.15. Распределение случайной величины Х определяется формуламиp(x=k)=C/k(k+1),k=1,2,… Найти а) постоянную С; б) p(x3).

16. Распределение дискретной случайной величины Х определяется формулами p(x=k)=4/k(k+1)(k+2),k=1,2,… Найти математическое ожидание величины Х.

1.17. Человек потерял четыре пуговицы от пиджака в траве. Вероятность того, что он окончит свой поиск после очередной найденной пуговицы, равна 0,3. Составить закон распределения числа пуговиц, которые найдёт человек.

1.18. Имеются три урны. В первой два белых и один черный шар, во второй три белых и один черный, в третьей – четыре белых и один черный. Заключается пари. Выигрыш происходит при появлении белого шара. Найти:

а) минимальный выигрыш, если проигрыш равен 600.

б) минимальный проигрыш при выигрыше в 200.

в) возможен ли в данной ситуации спор с равными суммами.

1.19. Случайная величина Х задана рядом распределения

х	-2	-1	0	1	2	3
р	0,1	0,15	0,25	0,25	0,15	0,1

Найти р(х-1), р(-1 х 2), р(х 2). Найти М(х), D(x). Построить таблицу распределения для случайной величины у=2х+3. Найти М(у), D(y).

1.20. Найти M(Z) и D(Z) для случайной величины Z, если Z=6X+2Y и M(X)=2, D(X)=3, M(Y)=6, D(Y)=5.

1.21. За дом внесен страховой взнос 200 рублей. Вероятность ему сгореть в данной местности для такого типа домов оценивается, как 0,01. В случае, если дом сгорит, страховая компания должна выплатить за него 10000 рублей. Какую прибыль в среднем ожидает получить компания? На какую прибыль сможет рассчитывать компания, если для получения страховой суммы в размере 10000 она будет брать взнос 100 рублей.

1.22. Вероятность того, что студент учится на «хорошо» и «отлично» равна 0,6. Составить закон распределения числа студентов, которые учатся на «хорошо» и «отлично» среди четырех студентов.

1.23. В ящике среди 6 деталей 4 стандартные. Извлечены 3 детали. Составить закон распределения извлеченных стандартных деталей.

1.24. В урне 5 белых и 25 черных шаров. Вынули 2 шара одновременно. Найти закон распределения числа белых шаров (среди вынутых), математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение.

1.25. В ящике 4 шара с номерами 1, 2, 3, 4. Извлечены 2 шара. Составить закон распределения случайной величины Х – суммы выпавших очков на этих двух шарах.

2. Непрерывные случайные величины

Случайной непрерывной величинойназывается такая случайная величина, которая может принимать любые значения из конечного или бесконечного интервала. Например, размер детали массового производства.

Характеристиками непрерывной случайной величины являются математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение. М(Х)=;D(Х)=; (Х)=.

Вероятность попадания случайной величины Х в интервал определяется по формуле р(а < Х < b)=

Наиболее распространенными видами распределения непрерывной случайной величины являются равномерное, показательное и нормальное.

Равномерным распределением непрерывной случайной величиныназывается распределение, при котором все ее значения находятся в интервалеа,b, а плотность распределения постоянна и равна(х)=.

Числовые характеристики М(Х)=,D(X)=.

Показательным (экспоненциальным) распределениемнепрерывной случайной величины называется распределение, дифференциальная функция которого имеет вид:(х)=0, при х0;(х)=е^-хпри х0, а числовые характеристики М(Х)==1/,D(X)= 1/².

Нормальным распределениемслучайной непрерывной величины называется распределение, дифференциальная функция которого имеет вид:(х)=, где а- математическое ожидание случайной величины,- среднее квадратичное отклонение.

Вероятность того, что случайная нормально распределенная величина Х примет значение, находящееся в интервале (α; β) вычисляется по формуле

р(α < Х < β)=Ф(- Ф(,

где Ф(Х) – функция Лапласа.

1. Время ожидания поезда распределено равномерно в интервале [0,5] (мин.). Найти плотность вероятности времени ожидания, функцию распределения, среднее время ожидания и вероятность того, что ожидающий будет ждать поезд не более трёх минут.

Решение.

x)= 0 при х0; x)= 1/5 при 0 х 5; x)= 0 при х5.

F(x)= 0 при х0; Fx)= x/5 при 0 х 5; Fx)= 1 при х5.

M(x)== 5²/10=25/10=2,5;р(x 3)=р(0 х 3)==3/5.

2.2. Вероятность того, что во время лекции преподаватель объяснит дополнительный материал, равна 0,01. Определить среднее время лекций без дополнительного материала и вероятность того, что в течение пяти «пар» преподаватель ни разу не изложит его.

Решение. М(х)= 1/=100 мин., при этом по времени 5 учебных «пар» равны 400мин.

Тогда, р(400)=1-е^-0.01*400=0.0183.

2.3. Количество слов и выражений в лексикологической программе компьютера подчинено закону нормального распределения со средним значением равным 500 и средним отклонением – 36. Найти вероятность того, что наудачу выбранная машина имеет в памяти от 400 до 550 слов и выражений.

Решение.a=500, =36,

Р(400 х 550)=Ф(- Ф(= Ф(- Ф(= 0,9150.

2.4. Ведутся испытания новейшей ракеты. Ошибка наведения – случайная величина, нормально распределённая с параметрами а=24 и =4м. Найти вероятность того, что наведение произведено:

а) с ошибкой, не превышающей 8м;

б) с ошибкой меньше 5м.

Решение.

а) р(| х <8)=Р(-8< х <8)= Ф() - Ф()= - Ф(4) + Ф(8) = = - 0,499968+0,5=0,000032.

б) Р(х <5)=Р(0<х<5)= -Ф(4,8)+Ф(6)=0,0000008.

2.5. Функция плотности удара во время тренировки спортсмена по боксу имеет вид: x)= 0 при х0; x)= 12x при 0 х 1/4; x)= 0 при х1/4.

Найти F(x), построить графики функций, математическое ожидание, дисперсию, вероятность того, что х будет в пределах от 0 до 2, а также вероятность того, что х будет не меньше двух.

Решение. F(x)= 0 при х0; Fx)= 6x² при 0 х 1/4; Fx)= 1 при х1/4.

2.6. Вследствие некачественной установки операционной системы в работе компьютера случаются «зависания» этой системы. Допустим, что 3 часа - это время работы компьютера до первого «зависания», а среднее число неисправностей за сутки равно 8. Работа до «зависания» распределена по показательному закону: р(t)=, t0. При этом на перегрузку системы достаточно 0,5 часа, после чего компьютер работает до «зависания». Найти вероятность того, что промежуток времени, между двумя «зависания» , больше пяти часов.

Решение. t-промежуток времени, равный трём. Случайная величина распределена по показательному закону и плотность вероятности для нее имеет вид: f(x)= e^-8(t-0,5) при t 0.5; f(x)=0 при t 0.5.

Тогда функция распределения имеет вид: F(x)= 1 –e^-8(t-0,5)приt0.5;F(x)=0 приt0.5.

Искомую вероятность того, что промежуток То между двумя «зависания» будет больше пяти часов при условии, что перегрузка длится 0,5 часа вычисляется по формуле:

Р(5<T<)=1-F(To), откуда Р(То>5)=1-1+e^-8(5-0.5)=0.23^-15 т.о. вероятность очень мала.

2.7. f(x)= acosx при -/2х/2 и f(x)=0 при -/2х/2.

Найти параметр а, все характеристики случайной величины Х, р(0 х /2).

Решение. Для нахождения параметра а воспользуемся следующим свойством плотности распределения f(x)

==2а = 1; а = 1/2.

Таким образом, f(x)= cosx при -/2х/2 и f(x)=0 при -/2х/2.

М(х) = 1/2 =0;

D(x)=²/2 – 2 – 0 = ² /2 – 2.

P(0<X</4)= 1/2=.

8. Затаривание мешков с сахаром произведено без систематических ошибок. Случайные ошибки подчинены нормальному закону со среднеквадратическим отклонением =200г. Найти вероятность того, что затаривание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 100г.

Решение. В задаче рассматривается случайная величина Х – ошибка взвешивания, а – математическое ожидание, нормативное значение веса мешка сахара.

Требуется найти:

р(а-100 х  а+100)= Ф() – Ф()=2Ф()=2Ф(0,5)= =0,383.

8. Время ожидания автобуса Х измеряется в минутах и распределено равномерно на отрезке [0;30]. Определить среднее время ожидания автобуса, дисперсию и вероятность того, что ждать придется не более 10 минут.

Решение. МХ оценивается по формуле МХ=; МХ==15(мин)

DX оценивается по формуле DX=;DX=900/12=75;

р(Х10)==10/30=1/3.

8. Интенсивность отказов прибора =10^-3 . Оценить среднюю наработку на отказ Т и вероятность безотказной работы в течение 500 часов.

Решение. Х – время поступления первого отказа.

Тогда, р(Хt)= 1 – e^-0,001t ; t 0; f(t)= e^-0,001t ; Т=МХ=1/=1000 ч. – средняя наработка на отказ.

Вероятность безотказной работы в течение 500 часов:

р(х  500)= е^-0,5 =0,6055.

8. Плотность распределения случайной величины задана формулами()=0 при х1 и()=С/х⁴при х1. Найти: а) постоянную С; б) плотность распределения величины=1/; в) р( 0,10,3).

2.12. Случайная величина ξ имеет показательное распределение с параметром λ: р (ξх)= 1- е^-х(х0). Найти плотность распределения случайной величины: а) ₁ =; б) ₂ =²; в) ₃ =1/ln.

2.13. Случайная величинаимеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Какое из двух событий0,7или0,7имеет большую вероятность?

14. Известно, что N(0,1). Что больше р₁=(-0,5-0,1) или р₂=(12).

15. Упаковочный аппарат расфасовывает стиральный порошок в пакеты, средний вес которых 930 гр., а стандартное отклонение – 20 гр. Какая доля пакетов будет иметь вес до 900гр.?

16. Срок работы электрических компонент подчиняется нормальному распределению со средней продолжительностью работы 80ч и стандартным отклонением 30ч. Допустим, производитель решил заменить все компоненты, которые вышли из строя до гарантийного срока работы, составляющего 45ч. Какую долю общего выпуска составит эта часть продукции.

2.17. Случайная величина Х– время полёта пассажирского самолёта из пункта А в пункт В. Величина Х имеет распределение от 10 мин до 40 мин. Найти математическое ожидание, дисперсию, вероятность того, что полёт займёт более 20мин и менее 18мин.

18. Найти функцию распределения числа абитуриентов, прошедших по конкурсу, если поступает 6 человек и вероятность пройти равна 0,2 для каждого. Также вычислить вероятность того, что поступят не менее одного и не более пяти человек

19. Высота дерева, выросшего в парке, подчинено нормальному закону с параметрами а=16футтов, =100футтов. Найти вероятность того, что высота дерева: а) не менее 15,8ф; б) не более 16,25ф; в) от 15,75ф до 16,3ф.

20. Стрельба ведется из точки О вдоль прямой ОХ. Средняя дальность полета снаряда равна 400 м. Предполагается, что дальность полета распределена нормально со среднеквадратическим отклонением 80 м. Найти вероятность того, что снаряд даст перелет от 120 м до 160 м.

21. Функция распределения F(x) непрерывной случайной величины равна 0 при х0; х⁶ при 0 х 1; 1 при х1. Найти математическое ожидание МХ, дисперсию DX, р(0 х 0,1).

22. Случайная величина Х имеет нормальное распределение N(1,2). Найти: а) р(х1); б) р(-1х1); в) р(-2х-12); г) р(-4х-14).

Ответы. 1.14. а) М(Х)=0;

х	-2	-1	0	1	2
р	1/5	1/5	1/5	1/5	1/5

б) М(Х)=6/5;

х	0	1	2
р	1/5	2/5	2/5

1.15.а)С=1;б)3/4 . Указание. Воспользоваться формулами: 1/k(k+1)=1/k– 1/(k+1) ир(x=k)=1;1.16. М(х)=2. Указание. Воспользоваться формулами 2/k(k+1)(k+2)=1/k(k+1)– 1/(k+1)(k+2)ир(x=k)=1;1.17.

Число пуговиц	1	2	3	4
Вероятность	0,3	0,21	0,147	0,343

1.18. а) 212;б)565;в)нет;1.19. 0,1; 0,8; 0,1; МХ=0,5;DX=2,05; МY=4;DY=11,2;1.20.MZ=24;DZ=128;1.21.а)400;б)0;2.11. а)С=3;б)()=3х² (0х1);в)0,026;2.12. а)е^-х/2, х0 ;б)2х(х0);в) ² (х);2.13. р(0,7)= 0,4839р(0,7)=0,5160;2.14. р₁=0,1616р₂=0,1359;2.15. 6,68%;2.16.12,1%.;2.17. МХ=25;DX=75; р(х20)=2/3; р(х18)=3/5;2.18.р(1х5)=0,736256;2.19. а)0,97772;б)0,9936;в)0,9924;2.20.0,00112;2.21.МХ=6/7;DX=3/196; 0,000001;2.22. а)0,5;б)0,3413;в)0,6826;г)0,9544.

Таблица 1

Значения функции p(m)=e^-a

a \ m	0	1	2	3	4	5	6	7
0,1	0,90484	09048	00452	00015	00000	00000	00000	00000
0,2	81873	16375	01638	00109	00006	00000	00000	00000
0,3	74082	22225	03334	00333	00025	00002	00000	00000
0,4	67032	26813	05363	00715	00072	00006	00000	00000
0,5	69653	30327	07582	01264	00158	00016	00001	00000
0,6	54881	32929	09879	01976	00296	00036	00004	00000
0,7	49659	34761	12166	02839	00497	00070	00008	00001
0,8	44933	35946	14379	03834	00767	00123	00016	00002
0,9	40657	36591	16466	04940	01112	00200	00030	00004
1	36788	36788	18394	06131	01533	00307	00051	00007
2	13534	27067	27067	18045	09022	03609	01203	00344
3	04979	14936	22404	22404	16803	10082	05041	02160
4	01832	07326	14653	19537	19537	15629	10420	05954
5	00674	03369	08422	14037	17547	17547	14622	10445
6	00248	01487	04462	08924	13385	16062	16062	13768
7	00091	00638	02234	05213	09123	12772	14900	14900

Таблица 2

Значения функции p(mk)=e^-a

a \ k	0	1	2	3	4	5	6	7
0,1	0,90484	99532	99985	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000
0,2	81873	93248	99885	99994	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000
0,3	74082	96306	99640	99973	99998	1,0000	1,0000	1,0000
0,4	67032	93845	99207	99922	99994	1,0000	1,0000	1,0000
0,5	60653	90980	98561	99825	99983	99999	1,0000	1,0000
0,6	54881	87810	97689	99664	99961	99996	1,0000	1,0000
0,7	49659	84420	96586	00425	99921	99991	99999	1,0000
0,8	44933	80879	95258	99092	99859	99982	99998	1,0000
0,9	40657	77248	93714	98654	99766	99966	99996	1,0000
1	36788	73576	91970	98101	99634	99941	99992	99999
2	13534	40601	67668	85712	94735	98344	99547	99890
3	04979	19915	42319	64723	81526	91608	96649	98810
4	01832	09158	23810	43347	62792	81548	88876	94778
5	00674	04-43	12465	26503	44049	61596	76218	86663
6	00248	01735	06197	15120	28506	44568	60630	74398
7	00091	00730	02964	08177	17299	30071	44971	59871

Таблица 3

Значения функции (х)=

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	0,3989	3989	3989	3988	3986	3984	3982	3980	3977	3973
0,1	3970	3965	3961	3956	3951	3945	3939	3932	3925	3918
0,2	3910	3902	3894	3885	3876	3867	3857	3847	3836	3825
0,3	3824	3802	3790	3778	3765	3752	3739	3726	3712	3697
0,4	3683	3668	3652	3637	3621	3605	3589	3572	3555	3538
0,5	3521	3503	3485	3467	3448	3429	3410	3391	3372	3352
0,6	3332	3312	3292	3271	3251	3230	3209	3187	3166	3144
0,7	3123	3101	3079	3056	3034	3011	2989	2966	2943	2920
0,8	2897	2874	2850	2827	2803	2780	2956	2732	2709	2685
0,9	2661	2637	2613	2589	2565	2541	2516	2492	2468	2444
1,0	2420	2396	2371	2347	2323	2299	2275	2251	2227	2203
1,1	2179	2155	2131	2107	2083	2059	2036	2012	1989	1965
1,2	1942	1919	1895	1872	1849	1826	1804	1781	1758	1736
1,3	1714	1691	1669	1647	1626	1604	1582	1561	1539	1518
1,4	1497	1476	1456	1435	1415	1394	1374	1354	1334	1315
1,5	1295	1276	1257	1238	1219	1200	1182	1163	1145	1127
1,6	1109	1092	1074	1057	1040	1023	1006	0989	0973	0957
1,7	0940	0925	0909	0893	0878	0863	0848	0833	0818	0804
1,8	0790	0775	0761	0748	0734	0721	0707	0694	0681	0669
1,9	0656	0644	0632	0620	0608	0596	0584	0573	0562	0551
2,0	0540	0529	0519	0508	0498	0488	0478	0468	0459	0449
2,1	0440	0431	0422	0413	0404	0396	0387	0379	0371	0363
2,2	0355	0347	0339	0332	0325	0317	0310	0303	0297	0290
2,3	0283	0277	0270	0264	0258	0252	0246	0241	0235	0229
2,4	0224	0219	0213	0208	0203	0198	0194	0189	0184	0180
2,5	0175	0171	0167	0163	0158	0154	0151	0147	0143	0139
2,6	0136	0132	0129	0126	0122	0119	0116	0113	0110	0107
2,7	0104	0101	0099	0096	0093	00091	0088	0086	0084	0081
2,8	0079	0077	0075	0073	0071	0069	0067	0065	0063	0061
2,9	0060	0058	0056	0055	0053	0051	0050	0048	0047	0046
3,0	0044	0043	0042	0040	0039	0038	0037	0036	0035	0034
3,1	0033	0032	0031	0030	0029	0028	0027	0026	0025	0025
3,2	0024	0023	0022	0022	0021	0020	0020	0019	0018	0018
3,3	0017	0017	0016	0016	0015	0015	0014	0014	0013	0013
3,4	0012	0012	0012	0011	0011	0010	0010	0010	0009	0009
3,5	0009	0008	0008	0008	0008	0007	0007	0007	0007	0006

Таблица 4

Значения функции Ф(х)=

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	0,0000	0040	0080	0120	0160	0199	0239	0279	0319	0359
0,1	0398	0438	0478	0517	0557	0596	0636	0675	0714	0753
0,2	0793	0832	0871	0910	0948	0987	1026	1064	1103	1141
0,3	1179	1217	1255	1293	1331	1368	1406	1443	1480	1517
0,4	1554	1591	1628	1664	1700	1736	1772	1808	1844	1879
0,5	1915	1950	1985	2019	2055	2088	2123	2157	2190	2224
0,6	2257	2291	2324	2357	2389	2422	2454	2486	2517	2549
0,7	2580	2611	2642	2673	2708	2734	2764	2794	2823	2852
0,8	2881	2910	2939	2967	2995	3023	3051	3078	3106	3133
0,9	3159	3186	3212	3238	3264	3289	3315	3340	3365	3389
1,0	3413	3438	3461	3485	3508	3531	3554	3577	3599	3621
1,1	3643	3665	3696	3708	3729	3749	3770	3790	3810	3830
1,2	3894	3869	3883	3907	3925	3944	3962	3980	3997	4015
1,3	4032	4049	4066	4082	4099	4115	4131	4147	4162	4177
1,4	4192	4207	4222	4236	4251	4265	4279	4292	4306	4319
1,5	4332	4345	4357	4370	4382	4394	4406	4418	4429	4441
1,6	4452	4463	4474	4484	4495	4505	4515	4525	4535	4545
1,7	4554	4564	4573	4582	4591	4599	4608	4616	4625	4633
1,8	4641	4649	4656	4664	4671	4678	4686	4693	4699	4706
1,9	4713	4719	4726	4732	4738	4744	4750	4756	4761	4767
2,0	4772	4778	4783	4788	4793	4798	4803	4808	4812	4817
2,1	4821	4826	4830	4834	4838	4842	4846	4850	4854	4857
2,2	4861	4864	4868	4871	4875	4878	4881	4884	4887	4890
2,3	4893	4896	4898	4901	4904	4906	4909	4911	4913	4916
2,4	4918	4920	4922	4925	4927	4929	4931	4932	4034	4936
2,5	4938	4940	4941	4943	4945	4946	4948	4949	4951	4951
2,6	4953	4955	4956	4067	4959	4960	4961	4962	4963	4964
2,7	4965	4966	4967	4968	4969	4970	4971	4972	4973	4974
2,8	4974	4975	4976	4977	4977	4978	4979	4979	4980	4981
2,9	4981	4982	4982	4983	4984	4984	4985	4985	4986	4986

x		x		x		x
3,0	0,49865	3,5	0,49977	4,0	0,499968	4,5	0,4999966
3,1	0,49903	3,6	0,49984	4,1	0,499979	4,6	0,4999979
3,2	0,49931	3,7	0,49989	4,2	0,499987	4,7	0,4999987
3,3	0,49952	3,8	0,49993	4,3	0,499991	4,8	0,4999992
3,4	0,49966	3,9	0,49995	4,4	0,499995	4,9	0,4999995

38