Тема 2. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

2.1.Способы представления гармонических колебаний

2.2.Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения

2.3.Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

2.4.Фигуры Лиссажу (частные случаи)

2.1.Способы представления гармонических колебаний

Гармонические колебания можно представить несколькими способами:

• аналитический:

x = Acos(ωt +φ0 ) ; υx = υm cos(ωt +φ0 ) ; ax = −am sin(ωt + φ0 ) ;

•графический (рис. 1.2 и 1.3);

•геометрический, с помощью вектора амплитуды (метод векторных диаграмм).

Рассмотрим подробнее последний способ (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Пусть гармоническое колебание описывается уравнением xr= Acos(ωt +φ0 ) . Проведем прямую Оx (опорную) и построим вектор

A , направленный из точки О под углом φ0 к опорной линии.

Обозначим через x0 проекцию вектора A на опорную линию в момент времени t = 0:

x0 = Acos φ0 .

Вращение происходит против часовой стрелки, т.е. ω> 0 . За промежуток времени t вектор амплитуды повернется на угол ωt и займет новое положение. Его проекция на опорную линию равна: x = Acos(ωt +φ0 ) . За время, равное периоду колебаний Т, вектор ампли-

17

туды повернется на угол 2π и проекция вектора совершит полное колебание около положения равновесия (точка О). Следовательно, вращаю-

щийся вектор амплитуды полностью характеризует гармоническое колебание.

Проекция кругового движения на ось у также совершает гармоническое колебание y = Asin(ωt +φ) . Таким образом, равномерное движе-

ние по окружности можно рассматривать как два колебательных гармонических движения, совершаемых одновременно в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Этим представлением широко пользуются при сложении колебаний.

2.2. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения

Пусть точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинакового периода, направленных вдоль одной прямой.

Сложение колебаний будем проводить методом векторных диаграмм (рис. 2.2). Пусть колебания заданы уравнениями

x1 = A1 cos(ωt + φ1 ) и x2 = A2 cos(ωt + φ2 ) .

(2.2.1)

Рис. 2.2

Отложим из точки О вектор A1 под углом φ1 к опорной линии и r

вектор A2 под углом φ2. Оба вектора вращаются против часовой стрелки с одинаковой угловой скоростью ω, поэтому их разность фаз не зави-

сит от времени ( φ2 −φ1 = const ). Такие колебания называют когерент-
ными.	r
Нам известно, что суммарная проекция вектора A равна сумме

проекций на эту же ось. Поэтому результирующее колебание может

18

быть изображено вектором амплитуды A = A1 + A2 , вращающимся во-
																r
круг точки О с той же угловой скоростью ω, что и A1 , и A2																		. Результи-
рующее колебание должно быть также гармоническим с частотой ω:
							x = Acos(ωt +φ) .
По правилу сложения векторов найдем суммарную амплитуду:
A2 = (x + x		2	)2	+ ( y + y		2	)2 = x2	+ 2x x		2	+ x2		+ y2		+ 2 y y		2	+ y2 =
1					1		1		1			2		1	1			2
= A2 cos2	φ	+ 2 A A cos φ cos φ						2	+ A2 cos2			φ	2	+ A2 sin 2		φ		+
1	1			1	2		1		2						1		1

+2 A1 A2 sin φ1 sin φ2 + A22 sin 2 φ2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 ×

×1 cos(φ2 −φ1 ) − 1 cos(φ2 + φ1 ) + 1 cos(φ2 −φ1 ) + 1 cos(φ2 + φ1 ) =

2 2 2 2

= A2 + A2				+ 2 A A cos(φ						2	−φ ).
	1		2		1	2					1
Результирующую амплитуду найдем по формуле
A2 = A2 + A2 + 2A A cos(φ							2	−φ ) .				(2.2.2)
1			2	1	2						1
Начальная фаза определяется из соотношения
tgφ =			A1 sin φ1		+ A2 sin φ2				.			(2.2.3)
		A cos φ
					+ A	cos φ		2
			1	1	2

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания.

Из (2.2.2) следует, что амплитуда А результирующего колебания зависит от разности начальных фаз φ2 −φ1 . Возможные значения А ле-

жат в диапазоне | A2 − A1 |≤ A ≤ A2 + A1 (амплитуда не может быть отрицательной).

Рассмотрим несколько простых случаев.
1. Разность	фаз	равна		нулю		или	четному числу π, то есть
φ2 −φ1 = 2πn , где n = 0, ±1, ± 2, ±3, ... . Тогда cos(φ2 −φ1 ) =1 и
			A = A1 + A2 ,					(2.2.4)
так как A = A2	+ A2	+2 A A		=	(A + A )2		= A + A , т.е. амплитуда ре-
1	2	1	2		1	2	1	2

зультирующего колебания А равна сумме амплитуд складываемых колебаний (колебания синфазны) (рис. 2.3).

19

Рис. 2.3 2. Разность фаз равна нечетному числу π, то есть

φ2 −φ1 = π(2n +1) , где n = 0, ±1, ± 2, ±3, .... Тогда cos(φ2 −φ1 ) = −1. От-

сюда
A = A2 − A1 .	(2.2.5)

На рис. 2.4 изображена амплитуда результирующего колебания А, равная разности амплитуд складываемых колебаний (колебания в про-

тивофазе).

Рис. 2.4

3. Разность фаз изменяется во времени произвольным образом:

x1 = A1 cos[ω1t + φ1 (t)],							(2.2.6)
x	2	= A	cos[ω	t + φ	2	(t)].
		2	2

Из уравнения (2.2.6) следует, что A ≠ const и будет изменяться в соответствии с величиной cos(φ2 −φ1 ) . Поэтому при сложении некоге-

рентных колебаний не имеет смысла говорить о сложении амплитуд, но в некоторых случаях наблюдаются вполне определенные закономерно-

сти. Для практики особый интерес представляет случай, когда два скла-

дываемых колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с

периодически изменяющейся амплитудой.

20

Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, назы-

ваются биениями. Строго говоря, это уже не гармонические колебания.

Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а	частоты
равны ω и ω+ ω, причем ω<< ω. Начало отсчета выбираем	так, что-

бы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:
x1 = Acos ωt;
x2 = Acos(ω+	ω)t.		ωt << 2ωt .
Сложим эти выражения, пренебрегая	ωt , так как
	2	ωt) cosωt .	2
x = A[cosωt +cos(ω+ ω)t]= (2 Acos			(2.2.7)
		2

Результирующее колебание (2.2.7) можно рассматривать как гармоническое с частотой ω и амплитудой Аб, которая изменяется по следующему периодическому закону:

A =	2 Acos ωt	;	(2.2.8)
б	2

x = Aб cos ωt .

Характер зависимости (2.2.8) показан на рис. 2.5, где сплошные жирные линии дают график результирующего колебания, а огибающие их – график медленно меняющейся по уравнению (2.2.7) амплитуды.

Рис. 2.5

Определение частоты тона (звука определенной высоты) биений между эталонным и измеряемым колебаниями – наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т.д.

21

Вообще, колебания вида x = A(t) cos[ωt +φ(t)] называются модули-

рованными. Частные случаи: амплитудная модуляция и модулирование по фазе или частоте. Биение – простейший вид модулированных колебаний.

Любые сложные периодические колебания S = f (t) можно пред-

ставить в виде суперпозиции одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амплитудами, начальными фазами, а также частотами, кратными циклической частоте ω:

S(t) = f (t) = A20 + A1 cos(ω+ φ1 ) + A2 cos(2ωt + φ2 ) +... + An cos(mωt + φn ) .

Представление периодической функции в таком виде связывают с понятием гармонического анализа сложного периодического колебания,

или разложения Фурье (то есть представление сложных модулированных колебаний в виде ряда (суммы) простых гармонических колебаний). Слагаемые ряда Фурье, определяющие гармонические колебания с частотами ω, 2ω, 3ω, ..., называются первой (или основной), второй,

третьей и т.д. гармониками сложного периодического колебания.

2.3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Пусть некоторое тело колеблется и вдоль оси x, и вдоль оси y, т.е. участвует в двух взаимноперпендикулярных колебаниях:

x = A1 cos(ω1t + φ1 ) ;			y = A2 cos(ω2t + φ2 ) .			(2.3.1)
Найдем уравнение результирующего колебания. Для простоты
примем ω1 = ω2 = ω.
Разность фаз между обоими колебаниями равна:						φ = φ2 −φ1 .
Чтобы получить уравнение траектории, надо исключить из этих
уравнений время t.
Упростим выражения, выбрав начало отсчета так, чтобы φ1 = 0 , т.е.
x = A1 cos ωt ;			y = A2 cos(ωt + φ) .
	x	= cos ωt или sin ωt = 1 −		x2	.
	A			A2
1				1

Распишем второе уравнение через косинус суммы:

y

= cos ωt cos

φ−sin ωt sin

φ =

x

cos φ−sin

φ 1 −

x2

.

A

A2

A2

2

1

1

y

x

2

x

2

2

Отсюда

A

−

A cos

=

−sin φ 1

−

A2

φ

.

2

1

1

22

Возведем обе части в квадрат:

y2

+

x2

cos

2

φ−

2xy

cos φ

= sin

2

φ −

x2

sin

2

φ

;

A2

A2

A A

A2

2

1

1

2

1

y

2

+

x2

(cos

2

φ

+sin

2

φ) −

2xy

cos φ = sin

2

φ.

A2

A2

A A

2

1

1

2

Окончательное уравнение:

y2

+

x2

−

2xy

cos(φ

− φ ) = sin 2 (φ

− φ ) . (2.3.2)

A2

A A

A2

2

1

2

1

2

1

1

2

В результате мы получили уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно x и y произвольно (рис. 2.6).

Рис. 2.6

2.4. Фигуры Лиссажу (частные случаи)

Рассмотрим некоторые частные случаи решений уравнения (2.3.2).

1. Начальные фазы колебаний одинаковы:

φ1 = φ2 , т.е. φ2 −φ1 = 0.

Тогда уравнение (2.3.2) примет вид:

y

2

x

2

2xy

x

y

2

+

−

= 0 или

−

= 0 ;

A2

A2

A A

A

A

2

1

1 2

1

2

отсюда получим уравнение результирующего колебания:
y =	A2	x .	(2.4.1)
	A
1
Это уравнение прямой, проходящей через начало			координат

(рис. 2.7, а). Следовательно, в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми начальными фазами будут происходить колебания вдоль прямой, проходящей через начало координат.

23

а

б

в

Рис. 2.7

Такие колебания называются линейно поляризованными.

2. Начальная разность фаз равна π. Тогда cos π = −1, следовательно

y2

x2

2xy

= 0

;

A2

+

A2 +

A A

2

1

1

2

x

y

2

= 0 .

A

+

A

1

2

Уравнение колебания в этом случае

y = −

A2

x .

(2.4.2)

A

1

То есть точка тоже будет колебаться вдоль прямой, проходящей через начало координат, но прямая лежит в других четвертях по сравнению с первым случаем (рис. 2.7, б).

Амплитуда результирующего колебания в обоих случаях равна:

A =

A2

+ A2

.

(2.4.3)

1

2

3. Начальная разность фаз равна π/2. Проанализируем уравнение

π

=1;

π

= 0 .

(2.3.2), учитывая, что sin

сos

2

2

y2

+

x2

−

2xy

cos

φ = sin

2

φ,

A2

A2

A A

2

1

1

2

x2

+

y2

=1.

(2.4.4)

A2

A2

1

2

Это уравнение эллипса с полуосями А1 и А2 (рис. 2.7, в). Случай эллип-

тически поляризованных колебаний.

При A1 = A2 получим уравнение окружности (циркулярно-

поляризованные колебания).

4. Все остальные разности фаз дают эллипсы с различным углом наклона относительно осей координат.

24

Необходимо отметить, что все рассматриваемые случаи, все кривые – это эллипсы (даже прямая – частный случай эллипса).

Фигуры, получаемые при сложении взаимно перпендикулярных колебаний разных частот, называются фигурами Лиссажу (Ж. Лиссажу (1822–1880) – французский физик). В простейших случаях можно сравнить частоты по виду фигур.

В приведенных выше примерах рассматривались простейшие случаи, когда ω1 = ω2 = ω. Если ω1 ≠ ω2 , то в результате будут получаться

уже не эллипсы, а более сложные фигуры Лиссажу. В табл. 1 приведены несколько фигур Лиссажу для разных соотношений частот колебаний и заданной разности фаз Δϕ.

							Таблица 1
	ω1				Угол сдвига фаз	ϕ
	ω2	0°		45°	90°	135°	180°
1:1

1:2

2:1

1:3

2:3

25