Методы опримальных решений Трофимов
.docМЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
Перечень вопросов и задач к экзамену по дисциплине
Теоретические вопросы:
-
Необходимое условие безусловного минимума 1-го порядка для функции одной переменной
-
Достаточное условие безусловного минимума 2-го порядка для функции одной переменной
-
Необходимое условие безусловного минимума 1-го порядка для функции нескольких переменных
-
Определение градиента функции нескольких переменных. Свойства градиента.
-
Задача линейного программирования (ЛП). Целевая функция и ограничения задачи ЛП. Множество допустимых решений. Оптимальное значение и оптимальное решение задачи ЛП.
-
Задача ЛП для модели оптимального распределения ресурсов.
-
Задача ЛП для модели оптимального распределения капитала.
-
Двойственная задача ЛП. Правило построения двойственной задачи ЛП. Теорема двойственности.
-
Теорема чувствительности оптимального значения задачи ЛП к возмущению правых частей ограничений.
-
Теорема чувствительности оптимального значения задачи ЛП к возмущению всех параметров задачи.
-
Теневые цены ресурсов. Связь между теневыми и рыночными ценами ресурсов. Характеристика товара с нулевой теневой ценой.
-
Формула численного дифференцирования для нахождения 1-ой производной функции одной переменной.
-
Формула численного дифференцирования для нахождения градиента функции нескольких переменных.
-
Геометрический способ решения задачи ЛП. Многогранник допустимых решений задачи ЛП. Линии уровня целевой функции.
-
Метод градиентного спуска с постоянным шагом для задач безусловной оптимизации функции нескольких переменных.
-
Формула массива в Excel. Их отличие от обычных функций Excel. Примеры формул массива для работы с матрицами.
-
Сервисная функция «Поиск решения» в Excel. Настройка параметров сервиса: выбор метода, не отрицательность переменных, получение теневых цен.
-
Создание и использование пользовательских функций Excel. Модули VBA.
-
Решение задачи о выборе срока депозита на условиях простой процентной ставки при наличии инфляции.
-
Решение квадратной системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Крамера.
-
Классификация задач принятия оптимальных решений.
Задачи
-
Найти безусловный минимум функции двух переменных 2x12+2x1x2+x22-2x1+3x2. Проверить решение с помощью Excel.
-
Найти безусловный минимум функции двух переменных 2x12+x1x2+x22-2x1+3. Проверить решение с помощью Excel.
-
Решить систему Ax = b линейных уравнений 4-го порядка методом обратной матрицы в Excel, где
A= [1 3 2 4; 2 -1 -3 -5; 2 1 3 -1; 3 2 1 0],
b = [2 1 4 -1]
Решить систему Ax = b линейных уравнений 4-го порядка методом Крамера в Excel
A= [1 3 2 4; 2 -1 -3 -5; 2 1 3 -1; 3 2 1 0],
b = [2 1 4 -1]
Выполнить матричные операции в Excel: |A|, A*B, A-1 , (A*B)T
A= [1 3 2; -1 -3 -5; 1 3 -1],
B= [1 2 4; 2 -1 -5; 0 3 -1; 3 1 0].
-
Найти производную функции f(x)=x3-x+cos(3x-2) в точке x0=2. Проверить ответ с помощью численного дифференцирования в Excel, при этом принять шаг дифференцирования eps=0,0001.
-
Найти градиент функции f(x1, x2)=(x1+x2)/(x12+1)в точке x0=(1,1). Проверить ответ с помощью численного дифференцирования в Excel , при этом принять шаг дифференцирования eps=0,0001.
-
Цех производит 4 продукта, используя 3 ресурса. Запасы ресурсов b = (30, 20, 50). Технологическая матрица производства A = [3 5 4 2; 2 1 4 3; 6 1 4 3]. Найдите оптимальный план производства x, если цены на продукты равны c = [3 2 4 1]. Найдите оптимальный доход цеха. Найдите теневые цены ресурсов ui , i=1,2,3. Определите, как изменится оптимальный доход, если объем запасов изменится на величину Δb = (1, -1, 0.5). Используйте сервисную функцию «Поиск решения» MS Excel.
-
Цех производит 5 продуктов, используя 3 ресурса. Запасы ресурсов b = (30, 20, 50). Технологическая матрица производства A = [3 5 4 2 2; 2 1 4 3 3; 6 1 4 3 1]. Найдите оптимальный план производства x, если цены на продукты равны c = [3 2 4 1 3]. Найдите оптимальный доход цеха. Найдите теневые цены ресурсов ui , i=1,2,3. Определите, как изменится оптимальный доход, если объем запасов изменится на величину Δb = (1, -1, 0.5). Используйте сервисную функцию «Поиск решения» MS Excel.
-
Имеется рейтинговая функция f(x1, x2)=(x1+x2)/(x12+1), которую надо максимизировать, и начальная точка x0=(1,1). Используя метод наискорейшего спуска с постоянным шагом найти в малой окрестности точки x0 новую точку
x1 = x0 + * ∂f(x0). Параметр =0.1. Вектор ∂f(x0) является градиентом функции f в точке x0.
-
Имеется рейтинговая функция f(x1, x2)=(x1+x2)/(x12+1), которую надо максимизировать, и начальная точка x0=(1, 2). Используя метод наискорейшего спуска с постоянным шагом найти в малой окрестности точки x0 новую точку x1 = x0 + * ∂f(x0). Параметр =0.1. Вектор ∂f(x0) является градиентом функции f в точке x0.