3.3. Векторно-матричная запись уравнения диффузии и его решение

Запишем алгоритм формирования матрицы A:

В программе все элементы матрицы формируются согласно условиям задания. Если таковые отсутствуют, то элементам матрицы по умолчанию присваиваются нули.

Зададим параметры:

Получим решение:

^T =	0	1	2	3	4	5
0	4.783·10^11	4.789·10^11	4.795·10^11	4.801 10^11	4.807·10^11	4.813·10^11

Сравнив решенияивидим полное совпадение результатов. Время на их получение методом прогонки и при непосредственном решении векторно-матричного уравнения приблизительно одинаковое, если используются достаточно мощные персональные компьютеры. Это же можно сказать и о точности получаемых решений для данной задачи, имеющей сравнительно небольшой объем исходной информации, определяемой в основном матрицейА. Однако при увеличении размерности матрицы А временные затраты на получение решения методом прогонки значительно меньше, чем при решении векторно-матричного уравнения. Число арифметических операций, необходимых для получения решения в последнем случае (их число равно где— размерность матрицыА) намного превосходит их число при решении методом прогонки. Это приводит к увеличению времени счета.

Список литературы

1. Богомолов Г.И., Красников П.В. Метод конечных разностей в решении задач диффузии: Метод. указания к лаб. работе по курсу «Спецглавы высшей математики». М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.

2. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975.

3. Титов К.В. Решение одного класса нелинейных дифференциальных уравнений // Современные естественно-научные и гуманитарные проблемы: Сб. тр. М.: Логос, 2005.

4. Титов К.В. Решение задач математической физики в среде MathCAD. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006.

Оглавление

Предисловие 3

1. Введение в численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 4

1.1. Метод Эйлера 5

1.2. Метод Адамса 8

1.3. Метод разложения решения в ряд Тейлора 11

1.4. Сравнительный анализ численных результатов, полученных разными методами 13

Упражнение 1.1 14

Упражнение 1.2 16

Упражнение 1.3 19

2. Численные методы решения краевых задач 25

2.1. Метод стрельбы (пристрелки) 25

Упражнение 2.1 29

Упражнение 2.2 31

2.2. Метод прогонки 31

2.3. Метод, основанный на разложении решения в ряд Тейлора 34

3. Решение задач диффузии методом конечных разностей 41

3.1. Постановка задачи 41

3.2. Алгоритм решения задачи в одной из систем компьютерной математики 42

3.3. Векторно-матричная запись уравнения диффузии и его решение 47

Список литературы 49

Оглавление 50

Учебное издание

Титов Константин Викторович

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИФФУЗИИ

Редактор Е.К. Кошелева Корректор Г.С. Беляева

Компьютерная верстка С.А. Серебряковой

Подписано в печать 25.02.2009. Формат 60´84/16.

Усл. печ. л. 2,79. Изд. № 39. Тираж 500 экз. Заказ .

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5