diff_calc_econ_ua

1			x 3			2		1					x 3		1		ctg			x 3
						3															4
y		lnsin										cos														.
									x
	3		4							3			4 4						2			x 3
								sin		4							12 3 ln				sin
																						4

Приклад 11. y a e k2x2 .

Розв’язання. Для знаходження похідної застосовуємо послідовно формули (9а), (20а), (9а)

і (12). Тоді

2

2

2

2

2

2

x2

2

2

y a e k

x

a e k

x

k2x2

ak2

e k

x

2ak2x e k

x

.

x

Приклад 12. y 2

ln x

.

Розв’язання. Згідно з формулами (19а), (10), (12) і (21) маємо

x

x

x

y 2ln x ln2

x ln x x ln x

2lnx ln2

ln2 x

ln x

1

x

1 ln x x

x

ln x 1

x

2

ln x

ln2

2

ln x

ln2

.

ln2 x

ln2 x

Приклад 13. y 3sin2

x sin3 x.

Розв’язання. Диференцюючи почленно, одержимо

y 3sin

2

3

3sin

2

x sin

x 3 2sin x sin x

x sin x

3 2sin x cosx 3 sin2 x cosx 3sin x cosx 2 sin x

3

2 sin x sin 2x.

2

x

Приклад 14. y a tg

b .

k

Розв’язання. Використовуючи послідовно формули (9а), (17а), (8), (9а) і (12), знаходимо

y a

x

1

x

a

tg

b a

b

.

k

2

x

k

2

x

cos

b

kcos

b

k

k

Приклад 15. y e x2

ln x.

Розв’язання. Задана функція є добутком двох функцій, одна з яких є складною. Тому,

скориставшись формулами (9), (20а), (12) і (21), одержимо

x2

x2

x2

x2

1

x2

1

y e

ln x

e

ln x

e

2x ln x e

e

2xln

x

Приклад 16. y log3 x2

sin x .

x

Розв’язання. Маємо складну логарифмічку функцію з проміжним аргументом

Продиференціювавши її, одержимо

1

y x2 sin x ln3 2x cosx .

x .

x2 sin x.

21

Приклад 17. y 5tg x tg .

5		8
Розв’язання.
		x
y	5tg			tg
		5			8

	x			1					1		1
5 tg			0 5												.
					2 x				5			2 x
	5			cos							cos
						5							5

Приклад 18. y x3 arctgx3.

Розв’язання. Диференцюючи дану функцію як добуток і складну функцію, знаходимо

		arctgx3 x3					3x2	arctgx3
y x3					arctgx3
		1						x3
x3			3x2	3x2		arctgx3				.
		2							6
								1 x
1 x3

Приклад 19. y ln1 ex . ex

Розв’язання. Вираз, що стоїть під знаком логарифма, піддається логарифмуванню. Тому

доцільно спочатку виконати логарифмування, тобто записати функцію у вигляді y ln 1 ex lnex ln 1 ex x , а потім знайти її похідну. Тоді

1 ex

x

x

1

x

y

ln

ln 1 e

x

ln 1 e

x

1 e

1

x

x

e

1 e

1

0 ex 1

ex

1

ex ex 1

1

.

ex 1

1 ex

ex 1

ex 1

Отже, коли під знаком логарифмічної функції стоїть вираз, що піддається логариф-

муванню (добуток, частка, степінь, корінь), то спочатку слід виконати логарифмування, бо в такому випадку знаходження похідної спрощується.

Приклад 20. y ln	1	2x	.
1		2x

Розв’язання. Використовуючи формули логарифмування, підамо спочатку функцію у виг-

ляді

y 1 ln 1 2x ln 1 2x . 2

Тепер знайдемо похідну:
1			1		1			1		1	1 2x 1 2x				2
y				2		2										.
					1 2x					1 2x		1 4x	2		1 4x2
	2 1 2x							1 2x

Знаходження в розглянутому прикладі похідної безпосередньо за формулами диференціювання привело б до значно складніших перетворень. Пропонується впевнетись в цьому самостійно.

Питання для самоперевірки.

1.Яку функцію називають складною?

2.Згадайте правило диференціювання складної функції.

22

3. Напишіть таблицю похідних, враховуючи що y f x .

Знайти похідні даних функцій:

3

1.u t t2 t 2 2 .

2.y 3sin 3x 5 .

3.y cos3 4x.

4.y sin2 cos3x .

5.y arcsin 2 .

x

6.y arctg2 1 . x

7.y ln x .

8.y ln x2 4x .

9.y 102x 3 .

10.y sin ex2 3x 2 .

11.y x 10x .

12.y lg x cosx .

13.y 2sin2 x . cos2x

14.y ln xsin x1 x2 .

15.y earcsin 2x .

16.y 2x2 7 5 .

17.y sin4 x cos4 x.

1

18. y 1 sin x 3 .

19. y ctg3 x 3ctgx 3x.

Вправи

3

2t 1

Відповідь:

t2 t 2 .

2

Відповідь: 9cos 3x 5 .

Відповідь:

13cos2

4x sin 4x.

Відповідь:

3sin3x sin 2cos3x .

Відповідь:

2

.

x

x2 4

2arctg

1

Відповідь:

x

.

1 x2

Відповідь:

1

.

2x

ln x

Відповідь:

2x 4

.

x2 4x

Відповідь:

2 102x 3

ln10.

Відповідь:

cosex2 3x 2 ex2 3x 2 2x 3 .

x

Відповідь:

10

x

ln10

.

1

2

Відповідь:

1 sin x

.

x cosx ln10

Відповідь:

2sin 2x

.

cos2 2x

Відповідь:

1

ctgx

x

.

x

1 x2

2 earcsin 2x

Відповідь:

.

1 4x2

Відповідь:

20x 2x2

7 4 .

Відповідь:

sin 4x.

Відповідь:

6cos2x

.

1 sin x 4

Відповідь: 3ctg4 x.

23

20. y ln	a ex				bx2	2bx c
			.	Відповідь:				.
	bx2				bx2
		c					c

6.Диференціювання функцій, заданих неявно та параметрично.

Логарифмічне диференціювання

1.6.1.Диференціювання функцій, заданих неявно

Якщо функція задана рівнянням виду y f x , то кажуть, що функція задана в явному вигляді або є явною. Нагадаємо, що неявна функція y від аргументу x

задається рівнянням F x, y 0, не розв’язаним відносно залежної змінної y .

Щоб знайти похідну y від неявної функції, слід продиференціювати по x

обидві частини рівності F x, y 0, розглядаючи y як функцію від x, і потім розв’язати здобуте рівняння відносно y .

Розв’язання прикладів і задач

Приклад 1. Знайти похідну y dy від неявної функції 5x3 3y 2 0. dx

Розв’язання. 1. Маємо неявно задану функцію. Продиференцюємо обидві частини по x,

враховуючи при цьому, що y		є функцією від x:				15x2 3y 0 або				5x2 y 0. Розв’язу-
ючи здобуте рівняння відносно y , знаходимо y 5x2 .
2. Виражаючи із вихідного рівняння y				через x і диференціюючи y						як явну функцію,
одержимо
	2 5x	3		1
y			; y		2 5x3		1	15x2	5x2 .
				3
3						3

Приклад 2. y cos x y . Знайти y dy . dx

Розв’язання. Скориставшись правилом диференціювання неявної функції, матимемо

	y sin x y 1 y або				y y sin x y sin x y ,
	звідки				sin x y
	y
				1 sin x y .

Слід відзначити, що розв’язати рівняння y cos x y відносно y немождиво.

Приклад 3. x3 y3 3axy 0. Знайти y .

Розв’язання. Продиференціюємо обидві частини рівняння по x, враховуючи, що y є фун-

кцією від x. Одержимо

3x2 3y2 y 3a y xy 0.

24

Для знаходження y виконаємо такі перетворення

x2 y2 y a y xy 0, x2 y2 y ay axy 0,y2 ax y ay x2 ,

звідки

ay x2

y

y2

ax .

Приклад 4. Знайти y , якщо x4

y4

x2 y2 .

Розв’язання. Діючи як в попередньому прикладі, будемо мати:

4x3 4y3 y 2x y2 x2 2y y ;

2x3 2y3 y xy2 x2 y y ;

2y3 x2 y y xy2 2x3;

xy2

2x3

y

2y3

x2 y .

Приклад 5. 2yln y x. Знайти y .

Розв’язання. Диференціюючи обидві частини рівняння по x, одержимо

1

ln y y

y

2 y

1.

Після спрощення матимемо

y

1

1

y ln y y

;

y ln y 1

,

2

звідки

2

1

y

2 ln y 1 .

Приклад 6. Знайти y в точці M 1;1 , якщо 2y 1 xy3 .

Розв’язання. За правилом диференціювання складної функції маємо:

2y y3 3xy2 y .

При x 1 і y 1 одержимо: 2y

1 3y

. Звідси y

1;1 1.

Приклад 7. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої x2 2xy2 3y4

6 в точці

M 1; 1 .

Розв’язання. Підставляючи значення координат даної точки до рівняння, переконуємося,

що точка M 1; 1 належить кривій:

1 2 1 1 2 3 1 4 6 або 6 6.

Продиференціюємо рівняння кривої

2x 2 y2 2xyy 12y3 y 0.

Звідси

25

x y2

y

2xy 6y3 2x .

Обчислюємо значення y в точці M :

f x0 y0 y 1; 1

1 1 2

1

.

2 1 1 6 1 3

4

Тепер, згідно з рівняннями (4) і (5), дістанемо:

y 1

1

x 1

або

x 4y 5 0 - рівняння дотичної;

4

y 1 4 x 1

або

4x y 3 0 - рівняння нормалі.

1.6.2.Диференціювання функцій, заданих параметрично

Відомо, що коли функція y аргументу x задана параметричними рівняннями

x t , y t , то

	yx				yt			,
					xt
або в інших позначеннях						dy
	dy
						dt
	dx					dx
						dt

(27)

t

t .

	Розв’язання прикладів і задач
	x 1 t2,
Приклад 1. Знайти yx , якщо
	y t t3.
Розв’язання. Знаходимо					yt					1 3t2 . Підставляючи знайдені
	xt 1 t2 2t і						t t3
вирази для xt і yt до формули (27), дістанемо
	1 3t2							3t2 1
	yx								.
		2t
								2t
x acos3 ,			dy
Приклад 2.	Знайти похідну				.
y bsin3 .			dx

Розв’язання. Параметром функції є змінна . Тому формула для знаходження похідної запишеться так:

yx

y

.

x

a 3cos

2

sin

b 3sin

2

cos . Отже

Знаходимо x

і y

yx

b 3sin2 cos

b

tg .

a 3cos2 sin

a

26

Приклад 3. Знайти похідну

dy

, якщо

x ln 1 t2 ,

dx

y t arctgt.

Розв’язання. Маємо

1

2t

xt

2t

;

1 t2

1 t2

yt 1

1

1 t2 1

t2

.

1 t2

1 t2

1 t2

Підставляючи знайдені вирази для xt і yt

до формули (27), дістанемо

yx

t2

2t

t2 1 t2

t

:

1 t2 2t

.

1 t2

1 t2

2

Приклад 4. Знайти похідну yx

x et cost,

при t

функції

.

y et sint

4

Розв’язання. Фунції x і y мають такі похідні по t:

xt et

cost et

sint et cost sint ;

sint cost

yt et

sint et

cost et sint cost .

Тому yx

. При t

одержимо

cost sint

4

2

2

2

2

2

y

0

.

4

2

2

2

2

Отже, при t

похідна функції не існує.

4

Задача 5. Скласти рівняння дотичної і нормалі до астроїди

x

cos3 t,

2

проведених в точці, для якої t

.

x

2sin3 t,

4

Розв’язання. При t

маємо:

4

3

1

x

2cos

,

4

2

4

3

1

y

2sin

.

4

4

2

1

1

Отже, M

;

- точка, яка належить астроїді, дотичній і нормалі. За формулою (27)

2

2

yt

2 3sin2 t cost

yx

2sin3 t

tgt.

2

xt

2 3cos

t

sint

2cos3 t

При t

4

f x0 yx

tg

1.

4

4

Таким чином, згідно з (4) рівняння дотичної набуває вигляду

27

1			1			x y 1 0,
y		1 x			або
2			2

а згідно з (5) рівнянням нормалі буде

y	1	x	1	або x y 0.

22

1.6.3.Логарифмічне диференціювання

Знаходження похідних від функцій, які допускають операцію логарифмування

(добуток, частка, піднесення до степеня і добування кореня) знячно спрощується,

якщо ці функції попередньо прологарифмувати, а потім знайти похідні. Нагадаємо,

що вираз y ln y , який є похідною від натурального логарифму функції y f x , y

називається логарифмічною похідною, а її знаходження носить назву логарифмічного диференціювання.

Логарифмічну похідну будемо знаходити формально, маючи, однак, на увазі,

що формула має сенс лише при y 0.

Слід відзначити, що логарифмічне диференціювання застосовується для знаходження похідної степенево-показникової (показниково-степеневої) функції,

тобто функції виду y u x v x . Формула для знаходження похідної степенево-

показникової функції має вигляд

	v uv 1	u uv lnu v ,	(28)
uv
де u x і v x - диференційовні функції від x.
Не важко помітити, що права частина цієї формули є сумою похідних двох
функцій:
степеневої		nun 1u ,
	un
показникової		an lna u .
	an

Тут доречно нагадати формули логарифмування: ln ab lna lnb;

a

ln lna lnb;

b

ln an nlna;

lnna 1 lna. n

28

Розв’язання прикладів

Приклад 1. y x 1 3 4x 2 .

5 x 3 2

Розв’язання. Спочатку прологарифмуємозадану функцію по основі e

ln y 3ln x 1 1 ln x 2 2 ln x 3 . 4 5

Потім продиференціюємо обидві частини рівності, враховуючи, що y функція від x:

y

2

1

2

.

y

x 1

4 x 2

5 x 3

Знаходимо із одержаного рівняння y

і замінюємо y на його вираз через x:

x 1 3

4

2

1

2

y

x 2

.

5 x 3 2

4 x 2

x 1

5 x 3

Приклад 2. y

xsin x

1 ex .

Розв’язання. Діючи, як і в попередньому прикладі, одержимо:

1

1

x

ln y

ln x lnsin x

ln 1 e

;

2

2

y

1

1

1

1

1

x

cosx

e

;

2

2

1 ex

y

x

sin x

1

1

1

cosx

1

1

ex .

y

xsin x

1 ex

sin x

1 ex

2

x

2

Приклад 3. y x2 1sin x .

Розв’язання. Задана функція є степенево-показниковою,

бо і основа степеня x2

1 і

показник степеня sin x - функції від x. За формулою (28) маємо:

y sin x x2		1sin x 1
	2	sin x
x		1

2x x2				1sin x ln x2			1 cosx
2xsin x			cosx ln x		2
x	2	1				1 .

Пропонуємо розв’язати цей приклад, використовуючи правило логарифмічного диференціювання.

1		x .
Приклад 4. y x
Розв’язання. За формулою (28) знаходимо:
1			1	1	1				1			1	2		1	2		1	2	1 ln x .
y		xx			1 xx		ln x				xx			xx			ln x xx
	x
									x2

Приклад 5. y ln x sin xx .

Розв’язання. Маємо складну логарифмічну функцію з проміжним аргументом x sin xx .

За формулою (21а):

29

1

x

y

x sin x

.

x sin xx

Застосувавши послідовно формули (8), (12), (15а) і (28), одержимо

1 ln x .

y

x sin xx

1 cosx

x

x x

x 1

1 x

x

ln x 1

x sin xx

1 x

x

cosx

x

1

1

Зауважимо, що sin xx sin x x

sinx x.

Питання для самоперевірки

1.Яку функцію називають заданою неявно? Навести приклади.

2.У чому полягяє правило диференціювання функції, заданої неявно?

3.Яка функція називається заданою параметрично?

4.Пригадайте формулу для знаходження похідної від функції, заданої рараметрично.

5.Що називають логарифмічною похідною?

6.Сформулюйте правило логарифмічного диференціювання.

7.запишіть формулу для похідної степенево-показникової функції.

Вправи

Знайти похідні від даних функцій:

1.y3 3y 2ax 0.

2.cos xy x.

3.y 1 xey .

		t 1
	x
		t		.
	4.
	y	t 1

t

			2a
Відповідь:	31 y2 .
		1 ysin xy
Відповідь:						.
			xsin xy
		ey
Відповідь:				.

2 y

Відповідь: -1.

Вказівка: x	t 1	1	1	,	y	t 1	1	1	.
	t		t			t		t

	5.	x a sin						.			Відповідь:
		y a 1 cos
	Вказівка: 1 cos 2sin2									,	sin 2sin		cos		.
								2			2		2
		y 3		x x2 1
	6.				.						Відповідь:
				x2 1 2

ctg . 2

x4 6x2 1. 3x1 x4

Вказівка:

1

2x

4x

x4 1 2x4 2x2 4x4 4x2

x4 6x2 1

.

x x4 1

x x4 1

x

x2 1

x2 1

30