Задание 8. Определить область сходимости степенных рядов.

;

.

Решение варианта 0.

Пример 0.1. Находим радиус сходимости по формуле:

.

Интервалом сходимости данного ряда будет множество . Исследуем теперь поведение его в граничных точках. При, как и при, ряд будет расходиться, так как для него не выполняется необходимое условие сходимости:при ростеn. Поэтому в данном случае область сходимости совпадает с интервалом сходимости.

Пример 0.2. В данном случае удобнее другая формула:

.

Интервал сходимости определяется неравенством , то есть. В граничных точкахиряд будет расходиться в силу невыполнения необходимого условия стремления модуляn–го члена ряда к нулю:

.

Следовательно, область сходимости совпадает с интервалом сходимости ряда.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

§ 4. Дифференциальные уравнения Перечень вопросов по теме

1. Дифференциальные уравнения и их решение.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Общее и частное решения. Начальные условия.

3. Уравнения с разделяющимися переменными.

4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка .

5. Линейные дифференциальные уравнения. Уравнения в полных дифференциалах.

6. Дифференциальные уравнения второго порядка. Простейшие типы дифференциальных уравнений второго порядка (y^”=f(x); y^”=f(y); y^”=f(y^’)), способы их решения. Случаи понижения порядка.

7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, метод решения.

8. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Задание 9. Решить следующие дифференциальные уравнения первого порядка. Если даны частные условия, найти частные решения.

, y(0) = 2;

(y^4 – 2x^3y)dx + (x^4 – 2xy^3)dy =0.

Решение варианта 0.

Пример 0.1. Предполагая, что y ≠ 0, разделим обе части уравнения на y и умножим на x. Получим: .Данное уравнение можно переписать так: . Это уже уравнение с разделенными переменными. Взяв интегралы от обеих частей, получим общее решение:

lny = 0,5sinx² + lnC.

(В последней записи произвольная постоянная обозначена не С, а lnC. Причина этого становится понятной при выполнении потенциирования последнего равенства). Далее находим:

y(x) = C.

Непосредственной подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что функция у =0 является его решением. Очевидно, что это решение получается из последнего равенства при С = 0. Таким образом, общее решение рассматриваемого уравнения имеет вид: y(x) = C.

Найдем указанное частное решение, для чего определим значение параметра С. Подставляя в последнее выражение x =0 и y = 2, получаем 2 = Сe⁰, откуда С = 2. Следовательно, искомое частное решение определяется формулой

y = 2.

Пример 0.2. Функции P(x,y) = y⁴ – 2x³y; Q(x,y) = x⁴ – 2xy³ являются однородными функциями четвертого порядка. Вводим новую переменную u по формуле y = ux, тогда dy = udx + xdu. Преобразуем исходное уравнение, подставив в него выражения для y и dy:

(u⁴ + u) dx – (1 – 2u³) xdu = 0, или

Проинтегрируем последнее уравнение: lnx = lnu – ln1+u³ + lnC, откуда x(1 + u³) = Cu. Поскольку u = y/x, то x³ + y³ – Cxy = 0 – общий интеграл данного уравнения.

(2x + 5)dy +ydx =0, y(2) = 0;

= y/x + e^y/x.

yx – =0, y(0) = 10;

(2x – y)dx + (x + y)dy =0.

= (2x + 2),y(0) = 1;

=.

(1 + x^2)dy –2xydx = 0, y(0) = 1;

(x + y)dx + x dy =0.

= y^2cosx, y(0) = 2;

(x^2– y^2)dy – 2xydx = 0.

x(1 + y^2)dx= y(1 + x^2)dy, y(1)=0;

(x^2 + y^2)dx – 2xydy = 0.

(1 + y) dx = (1 – x)dy, y(–2) = 3;

(x^2 + y^2)dx – 2x^2dy = 0.

x(1 + y^2)dx =ydy, y(0) = 1;

(2–x)dy + ydx = 0.

= , y(1) = 2;

xy^2dy = (x^3 + y^3)dx.

(x + xy^2)dx = (x^2y – y)dy, y(0)=1;

(x^2– y^2)dx + xydy = 0.

(4 – x^2) – 4y = 0, y(0) = 5;

(y^2–xy)dx = (2xy– x^2)dy.

–2xy – y = 0, y(0) = ;

x = yln().

dy – ydx = 0, y(1,5) = 1;

x = y + .

2dy –(1 + 4y^2)dx = 0, y() = 1;

2x^2 = 3x^2 + 6xy + y^2.

x=e^–^x, y(0) = 0;

x^2dy = (x^2 +xy + y^2)dx.

dy = (1 + 2y)dx, y(ln2) = 2,5;

x^2= xy + y^2.

tgx = 1 + 2y, y() = 0,5;

(y + )dx = xdy.

dy – ydx = dx, y(0) = 0;

x^3dy = (x^2– y^2) ydx.

x + = 0, y(1) = 0;

(y –2)dx = xdy.

2x^2ydy =(1 + x^2)dx, y(1) = 2;

(x + y)^2dx = xydy – y^2dx.

(2xy + 3y) = 1 – y^2, y(0) = 2;

(x^2 + y^2) = 2xy.

x + y = y^2, y(1) = 0,5;

(x – y)dx + (x + y)dy =0.

(x^2 – 1) +2xy^2 = 0, y(0) = 1;

(y +)dx = xdy.

dx=xdy, y(1) = 0,5;

x = y(1 + ln()).

(1 + e^x) y = e^x, y(0) = 1;

= – .