39	И.С. Сягло Теоретическая механика

Глава 4

Задача двух тел и классическая теория рассеяния

4.1.Приведенная масса

Рассмотрим задачу о движении двух взаимодействующих только между собой материальных точек. Вследствие однородности и изотропности пространства потенциальная энергия взаимодействия может зависеть только от расстояния между точками. Функция Лагранжа для данной задачи запишется в форме

	1		1			(4.1)
L =		m1v12 +		m2v22 U(j~r2	~r1j):
	2		2

Рассматриваемая система материальных точек замкнута. Поэтому ее импульс сохраняется, и система отсчета центра инерции является инерциальной системой отсчета. Задачу будем решать в системе отсчета центра инерции. Начало координат поместим в центр инерции, что дает

	~	m1~r1	+ m2~r2		(4.2)
	Rц.и =			= 0:
		m1	+ m2

Введем радиус-вектор ~r, направленный от первой материальной точки ко второй:

~r = ~r2 ~r1:

(4.3)

С помощью формул (4.2) и (4.3) выразим векторы ~r1 и ~r2 через вектор ~r:

~r1 =	m2~r	;	~r2 =	m1~r	:	(4.4)
	m1 + m2			m1 + m2

Потенциальная энергия теперь зависит только от величины вектора ~r. Выражая с помощью формул (4.4) скорости ~v1 и ~v2 через вектор ~v = ~r_, кинетическую энергию системы двух материальных точек можно записать как кинетическую энергию одной материальной точки с массой

m =	m1m2	:	(4.5)
	m1 + m2

Выраженная через радиус-вектор ~r функция Лагранжа (4.1) запишется в форме

	1	(4.6)
L =	2mv2 U(r):

40 И.С. Сягло Теоретическая механика

Функция Лагранжа (4.6) это функция Лагранжа одной материальной точки массы m, движущейся в потенциальном поле, зависящем только от расстояния до начала координат. Такое потенциальное поле называется центральным полем. Сила, действующая в центральном поле на материальную точку, направлена по

прямой, соединяющей материальную точку с центром поля:
~	dU ~r
f = gradU =					:	(4.7)
		dr		r

Масса m, определенная согласно (4.5), называется приведенной массой. Следовательно, решение задачи двух тел эквивалентно решению задачи о движении в центральном поле материальной точки с массой, равной приведенной массе. После решения задачи о движении материальной точки в центральном поле координаты двух тел можно получить при помощи формул (4.4).

Если масса одной материальной точки, например m1, много больше массы другой материальной точки, то из формул (4.4) и (4.5) получим, что приближенно r~1 = 0, r~2 = ~r, m = m2, то есть центр инерции системы двух тел совпадает с более массивным телом, а приведенная масса равна массе менее массивного тела. В этом случае задача двух тел сводится к задаче о движении одного тела в потенциальном поле, создаваемом другим телом.

Поскольку масса Солнца намного больше массы каждой из планет Солнечной системы, то в первом приближении можно пренебречь взаимодействием планет между собой и движением Солнца вокруг центра инерции Солнечной системы. В этом приближении движение отдельной планеты рассматривается как движение материальной точки в поле тяготения Солнца. Учет взаимодействия планет между собой приводит к задаче многих тел, взаимодействующих между собой. Эта задача не может быть сведена к квадратурам и решается приближенными методами.

4.2.Движение в центральном поле

Вследствие сферической симметрии поля сохраняется вектор момента импуль-

~		~
са M, определенный относительно центра поля. Так как M = m [~r ~v], то векто-
ры ~r и ~v	~	и, следовательно, всегда ле-
	перпендикулярны постоянному вектору M

жат в плоскости, перпендикулярной ему. Поэтому вся траектория лежит в этой

плоскости и является плоской кривой. Направим ось OZ			~
			по вектору M. Тогда
траектория будет лежать в плоскости XOY . Выберем в этой плоскости полярную
систему координат и функцию Лагранжа запишем в форме
	m		(4.8)
L =		(r2 + r2'2) U(r):
	2

Координата ' является циклической. Сопряженный ей обобщенный импульс сохраняется:

p' = mr2' = M = const:

(4.9)

41 И.С. Сягло Теоретическая механика

Uef (r)

>

~r(t + dt)

r1

r2

:

i d'

r

~r(t)

E

Рис. 4.1

Рис. 4.2

Согласно формуле (3.34) этот обобщенный импульс равен проекции момента импульса материальной точки на ось 0Z. Будем считать, что постоянная положительна, что соответствует выбору положительного направления оси 0Z по положительному направлению вектора момента импульса. В этом случае всегда ' > 0 и, следовательно, материальная точка в центральном поле движется так, что угол ' монотонно растет.

Закон сохранения (4.9) часто формулируется как закон площадей. Рассмотрим два положения материальной точки на траектории в два бесконечно близких момента времени, как показано на рис. 4.1. Из рисунка видно, что площадь бесконечно малого сектора, ограниченного двумя положениями радиуса-вектора и участком траектории, равна

	1		1		(4.10)
dS		r(t)r(t + dt)d'		r2d':
	2		2

Из формул (4.9) и (4.10) находим скорость изменения площади с течением времени. Эта величина называется секторной скоростью и в центральном поле равна:

dS	=	1	r2	' =	M	:	(4.11)
dt					2m
		2

За равные промежутки времени радиус-вектор материальной точки заметает одинаковые площади. Это утверждение, известное как закон площадей, является другой формулировкой закона сохранения момента импульса. Закон площадей выполняется для любого центрального поля.

Так как функция Лагранжа материальной точки в центральном поле не зависит явно от времени, то сохраняется энергия материальной точки. В полярных

координатах выражение для энергии записывается в форме
E =	m	(r2	+ r2'2) + U(r):	(4.12)
2

Из выражения (4.9) найдем производную ' и подставим ее в формулу (4.12). В результате получим

	mr2		M2		mr2		(4.13)
E =		+		+ U(r) =		+ Uef (r);
					2
2		2mr2

	42		И.С. Сягло Теоретическая механика
	где введено понятие эффективной потенциальной энергии Uef (r), равной
	Uef (r) =	M2	+ U(r):	(4.14)
		2mr2

Формула (4.13) для энергии совпадает с формулой для энергии материальной точки, движущейся по радиусу и находящейся в потенциальном поле с эффективной потенциальной энергией Uef (r).

Из соотношения (4.13) находим, что

s

r =

dr

=

2

(E

Uef (r)):

(4.15)

dt

m

Разделяя в выражении (4.15) переменные и интегрируя его, получим неявную зависимость r(t):

t = Z				dr	+ C:	(4.16)
			2	(E Uef (r))
	qm

Выражение (4.15) и интеграл (4.16) имеют смысл только тогда, когда подкоренное выражение не отрицательно, то есть когда выполняется неравенство E Uef (r). Исследование этого неравенства позволяет, не вычисляя интеграла, определить области пространства, в которых возможно движение материальной точки при заданных энергии E и моменте импульса M. Качественно такое исследование можно провести графическим путем, если построить график зависимости Uef (r) и на том же графике провести прямую E = const. Пример такого построения приведен на рис. 4.2. На этом графике условия неравенства E Uef (r) выполняются для значений радиуса в пределах r1 r r2. Следовательно, при обращении вокруг центра поля материальная точка будет то приближаться к центру на расстояние r1, то удаляться от него на расстояние r2.

Найдем теперь уравнение траектории. Так как производные r и ' известны, то исключим время путем деления одной производной на другую. В результате

получим
	d'		=	'	=		M		:	(4.17)
	dr			r		r2q
							2m(E Uef (r))

Интегрируя выражение (4.17), находим уравнение траектории в полярных коор-

динатах:
' = Z		M dr			+ C:	(4.18)
	r2	2m(E		Uef (r))
	q

Интеграл можно вычислить только после задания потенциальной энергии U(r). Однако некоторые выводы о форме траектории можно сделать, не вычисляя интеграла. Если положить равным нулю, то изменение знака ' происходит одновременно с изменением знака r. Знак r меняется в точке, где r = 0 и где, следовательно, материальная точка находится на минимальном или максимальном удалении