- •Содержание
- •Понятие комбинаторной задачи
- •История возникновения и развития комбинаторики
- •Конечные множества
- •Операции над множествами
- •Декартово произведение множеств а и в
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Нахождение числа всех подмножеств данного множества
- •Понятие факториала
- •Задания для самостоятельного решения
- •Правила суммы и произведения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для самопроверки
- •Виды соединений без повторений
- •Перестановки без повторений
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Размещения без повторений
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Сочетания без повторений
- •Свойства чисел c
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для самопроверки
- •Виды соединений с повторениями Сочетания и размещения с повторениями
- •Перестановки с повторениями
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Бином Ньютона
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для самопроверки
- •Контрольные вопросы
- •Примеры решения некоторых комбинаторных задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Примеры решения некоторых комбинаторных задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Примеры решения некоторых комбинаторных задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Примеры решения некоторых комбинаторных задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Формула включений и исключений
- •Примеры решения некоторых комбинаторных задач
- •Задачи для самостоятельного решения по курсу «Комбинаторика»
Нахождение числа всех подмножеств данного множества
Если задано некоторое множество А, то можно рассматривать новое множество М (А) – множество всех его подмножеств.
Пример 1. Сколько подмножеств имеет множество А={}?
По свойствам отношения включения, имеем ÆА и А.
Таким образом, одноэлементное множество А={} имеет 2 подмножества.
Пример 2. Сколько всего подмножеств имеет двухэлементное множество А={а, в}?
По свойствам отношения включения, имеем ÆА и А.
Одноэлементные подмножества: {а}, {в}.
Таким образом, двухэлементное множество А={а, в} всего имеет 4 подмножества.
Пример 3. Сколько всего подмножеств имеет трехэлементное множество А = {, ○, ◊}?
По свойствам отношения включения, имеем ÆА и А.
Одноэлементные подмножества: {}, {○}, {◊}.
Двухэлементные подмножества: {, ○}, {, ◊}, {○, ◊}.
Таким образом, трехэлементное множество А = {, ○, ◊} всего имеет 8 подмножеств.
Пример 4. Сколько всего подмножеств имеет четырехэлементное множество А = {а, в, с, d}?
По свойствам отношения включения, имеем ÆА и А.
Одноэлементные подмножества: {а}, {в}, {с}, {d}. Двухэлементные подмножества: {а, в}, {а, с}, {a, d}, {в, с}, {в, d}, {с, d}. Трехэлементные подмножества: {а, в, с}, {a, в, d}, {а, с, d}, {в, с, d}.
Таким образом, четырехэлементное множество всего имеет 16 подмножеств.
Нетрудно заметить, что с увеличением количества элементов множества А, число всех его подмножеств значительно увеличивается. Возникает вопрос: сколько подмножеств имеет множество из n – элементов?
Ответ на поставленный вопрос дает следующее утверждение.
Теорема 5. Конечное множество, содержащее n элементов, имеет 2п подмножеств, то есть если Ап = {а1, а2, ... , aп }, то п(М(Ап))=2п.
Доказательство проведем, используя метод математической индукции.
1) Путь п = 1, то есть А1 = { а1}. Значит, М(А1)= {Æ, { а1}}.
В этом случае п(М(А1)) = 21 = 2 что и доказывает справедливость теоремы при п = 1.
2) Пусть п = к, то есть Aк = { а1, а2, ..., aк }.
Предположим, что п(М(Aк)) = 2, то есть множество Aк имеет 2 подмножеств.
3) Докажем, что тогда множество Aк+1, имеет 2 подмножеств. В самом деле, если к элементам множества Aк, содержащего к элементов, добавить еще один элемент aк+1, то к имеющимся 2 подмножествам добавятся еще 2 новых подмножества, и, следовательно, множество Aк+1, содержащее к + 1 элементов, будет иметь 2 + 2 = 2 2 = 2 подмножеств.
Таким образом, п(М(Aк+1)) = 2.
На основании метода математической индукции можно сделать вывод, что Теорема. 5 справедлива для любого натурального числа п. Теорема доказана.
Понятие факториала
Название «факториал» происходит от слова «factor» − «множитель». Термин «factorielle» ввёл французский математик Луи Арбогаст (1759–1803) в 1800 году.13
Факториал – это функция, определённая на множестве целых неотрицательных чисел , значение которой равно произведению целых неотрицательных чисел от 1 до данного числаn, то есть 1∙2∙3∙ …∙n; Обозначают символом n!.
По определению 0! = 1, 1! = 1.
Обозначение n! впервые использовал французский математик Христиан Крамп (1760 – 1826 гг.) в 1808 году.
По определению факториала имеем: ,.
Пример 1. Вычислим:
Пример 2. Упростим выражение:
Пример 3. Докажем формулу .
Воспользуемся методом математической индукции.
При п=1 имеем, откуда 1=1, значит дляп=1 формула верна.
Предположим, что формула верна, для п=к, то есть .
Докажем, что формула верна, для п=к+1, то есть
.
Действительно,
=, что и требовалось доказать.
На основании метода математической индукции заключаем, что формула верна для любого натурального числа п.
Пример 4. Найти сумму
Решение. Заменим каждое слагаемое разностью по формуле
.
Имеем,
=так как все слагаемые в левой части равенства, за исключением второго и предпоследнего взаимно уничтожаются.
Следовательно, =