4. Решение типового варианта

Отметим, что хотя каждому значению соответствует одна вполне определенная точка кривой, одной и той же точке кривой могут соответствовать разные значения параметра.

Так как для двух значений иабсциссаи ординатав точке самопересечения должны быть одними и теми же, то из уравнения кривой следуют два условия дляи

, причем

Поскольку из первого уравнения следует. Подставляя это значение во второе уравнение, получимЕсли, тои значенияисовпадают, что невозможно. Остается только одна возможностьи.

Этим значениям соответствует одна и та же точка с координатами (0;3), но угловые коэффициенты касательных различны

; .

Через точку (0;3) кривая проходит дважды (точка самопересечения).

81